Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[403] Cckek2006-10-16 14:56:14

A következő egyszerünek tűnő problémához kéne egy kis segítség: Határozzuk meg 2n számjegyeinek a számát. Persze ezt lehet általánosítani de már ebben a formában is nagyon nehéznek tűnik.

[402] Lóczi Lajos2006-10-15 22:02:06

De írhatok betűt is x helyére, pl. lehet x=\frac{b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b+b}{b+b+b+b+b+b+b} is.

Előzmény: [401] Lóczi Lajos, 2006-10-15 21:58:20
[401] Lóczi Lajos2006-10-15 21:58:20

Ha nem, akkor nincs ilyen x.

Ha igen, akkor nyilván a=b4/3 lehet csak, ezt beírva (ab)x=b7x/3, ez csak akkor lesz b4, ha x=\frac{12}{7}.

Előzmény: [399] Lóczi Lajos, 2006-10-15 21:50:30
[400] qkac2006-10-15 21:56:22

Így van megadva a feladat:

Milyen számot(betűt) írjunk az x helyébe, hogy az alábbi egyenlőségláncolatok igazak legyenek? (A hatványalapok mindegyike 1-től különböző pozitív valós szám) a) a3=b4=(ab)x b) p2=q3=(pq)2x

Előzmény: [399] Lóczi Lajos, 2006-10-15 21:50:30
[399] Lóczi Lajos2006-10-15 21:50:30

De a és b úgy van megadva, hogy a3=b4 eleve igaz?

Előzmény: [398] qkac, 2006-10-15 21:47:27
[398] qkac2006-10-15 21:47:27

a hatványalapok mindegyike 1-től különböző pozitív valós szám.

Előzmény: [397] Lóczi Lajos, 2006-10-15 20:52:30
[397] Lóczi Lajos2006-10-15 20:52:30

Legyen pl. a=b=p=q=0, és akkor x>0 tetszőleges lehet.

Előzmény: [396] qkac, 2006-10-15 20:09:55
[396] qkac2006-10-15 20:09:55

Valaki nem tudja levezetni ezt a két példát? a) a3=b4=(ab)x b) p2=q3=(pq)2x Milyen számot(betűt) írjunk az x helyébe, hogy az alábbi egyenlőségláncolatok igazak legyenek?

[395] rizsesz2006-10-04 22:08:16

tudom, de konkrétan azt a problémát nem találtam meg.

Előzmény: [394] Hajba Károly, 2006-10-04 11:44:34
[394] Hajba Károly2006-10-04 11:44:34

Tom és Jerry

Előzmény: [393] Hajba Károly, 2006-10-04 11:41:11
[393] Hajba Károly2006-10-04 11:41:11

Szépen le van vezetve a 'Tom és Jerry' topikban.

Előzmény: [391] rizsesz, 2006-10-03 23:43:58
[392] Sirpi2006-10-04 09:16:59

a) igen b) nem

Amúgy szerintem ha 1,4-szeresnek adod meg a sebességet, azzal túl sokat árulsz el, úgy nem annyira feltűnő, hogy min múlik a dolog, ha azt mondod, hogy Jerry 5m/s sebességgel tud úszni, a macskák pedig 7m/s sebességgel tudnak futni.

Mondjuk ekkor vagy Jerry úszik rekordsebességgel, vagy a macskák vannak nagyon ellustulva :-) Én amúgy úgy ismertem, hogy négyzet alakú karám, középen egy bárány, a 4 sarokban farkasok, és körben kerítés, de a bárány át tud bújni alatta, viszont a farkasok nem. Tudom, semmit nem változtat, csak gondoltam leírom :-)

Megoldást pedig egyelőre nem szeretnék közzétenni, remélem nem baj.

Előzmény: [391] rizsesz, 2006-10-03 23:43:58
[391] rizsesz2006-10-03 23:43:58

Kedves Sirpi, még egyszer köszönöm. Tudom, nem ez a típus, de hátha: :)

Négyzet alakú medencében úszkál Jerry. Megjelenik 4 Tom :) a medence 4 sarkánál, akik macskák, így nem mennek a vízbe. A macskák 1,4 szer olyan gyorsan haladnak kint, mint Jerry a vízben. El tudja-e érni Jerry úgy a partot, hogy abban a pillanatban, amikor kiért, ott ne legyen macska? A macskák persze rendkívül intelligensek, semmi olyat nem tesznek, amit Jerry a maga javára tudna fordítani, képesek az egér mozgásától függő összehangolt stratégiát követni. Mindenki pontszerű. Állítás: Jerry kijuthat, kérdés, hogy hogyan? b., rész: A macskák 1,5-szor gyorsabbak. Kijuthat ilyenkor Jerry?

Előzmény: [378] Sirpi, 2006-09-29 13:37:12
[390] Cckek2006-10-03 21:22:26

Dehogynem. Persze nem akarlak én kioktatni, de minél többet foglalkozol a matematikával, annál egyszerűbbnek fog tűnni. Úgyanakkor bonyólodik is, hisz egyre több kérdést teszel fel. De pont ez a szép benne...:)

Előzmény: [388] Vini, 2006-10-03 21:08:00
[389] Vini2006-10-03 21:17:03

Valóban benne van a sárga csíkos könyvben. Megtaláltam Kösz

Előzmény: [387] Lóczi Lajos, 2006-10-03 20:41:05
[388] Vini2006-10-03 21:08:00

Köszönöm, nekem ez soha nem jutott volna eszembe.

Előzmény: [386] Cckek, 2006-10-03 20:22:41
[387] Lóczi Lajos2006-10-03 20:41:05

Ha visszábblapozol a "sárga" feladatgyűjteményben, akkor megtalálod az idézett [386]-os azonosságot is.

Előzmény: [385] Vini, 2006-10-03 18:33:52
[386] Cckek2006-10-03 20:22:41

Felhasználva azt, hogy

\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

kapjuk, hogy a kifejezés értéke 1

Előzmény: [385] Vini, 2006-10-03 18:33:52
[385] Vini2006-10-03 18:33:52

Sziasztok. Az alábbi feladattal akadtam el. Köszi előre is a segítséget.

Határozzuk meg a kifejezés értékét, ha a=\frac{\sqrt3}4

\frac{1+2a}{1+\sqrt{1+2a}}+\frac{1-2a}{1-\sqrt{1-2a}}

[384] Sirpi2006-10-02 23:06:11

Tegyük fel, hogy c\geq2, d\geq2. Ekkor (c-1)(d-1)\geq1, vagyis cd\geqc+d. Viszont a+b=cd\geqc+d=ab, vagyis (a-1)(b-1)\leq1, innen pedig következik, hogy a=1 vagy b=1, vagy mindkettő 2. Ha mindkettő 2-es, a másik kettő is az, ezt könnyű látni, tehát egy megoldás már van: a=b=c=d=2

Innentől feltehető, hogy van a számok közt legalább egy 1-es. Legyen ez a. Ekkor viszont b+1=cd, b=c+d, ezekből cd-c-d=1, vagyis (c-1)(d-1)=2 Innen c és d értéke 2 és 3, vagyis megkaptuk a másik megoldást is: a=1, b=5, c=2, d=3.

Előzmény: [382] rizsesz, 2006-10-02 22:35:53
[383] rizsesz2006-10-02 22:38:11

Ja az egyetlen megoldás, ami eddig szembe jött velem az (a;b)=(1;5), (c;d)=(2;3).

[382] rizsesz2006-10-02 22:35:53

Sziasztok! Van egy remek feladatom, amelyről nem tudom, hogy vannak-e már gondolkodások, de a google nem segített rajtam :( ez a következő egyenletrendszer lenne a pozitív egészek körében: a+b=c*d (1) a*b=c+d (2)

Ha bárkinek valami konstruktív ötlete támad, azt nagyon szívesen venném.

[381] Vini2006-10-02 14:14:40

Kösz szépen. A feladat a könyvbe volt így, de valószinű tényleg elírhatták.

Előzmény: [380] nadorp, 2006-10-02 11:43:22
[380] nadorp2006-10-02 11:43:22

Szerintem a példa helyesen így van, a második tagot elírtad.

\sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}.

Kezdjük el a végén a harmadik és negyedik taggal, és használjuk fel az (a-b)(a+b)=a2-b2 azonosságot.

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}=\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\right)^2}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}

Most vegyük a második tagot és a fent kapott eredményt

\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt3}}=\sqrt{2^2-\left(\sqrt{2+\sqrt3}\right)^2}=\sqrt{2-\sqrt3}

Végül az első tagot és fenti utolsó eredményt véve

\sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{2^2-\left(\sqrt3\right)^2}=\sqrt1=1

Előzmény: [379] Vini, 2006-10-02 10:00:32
[379] Vini2006-10-02 10:00:32

Sziasztok. Tudna nekem segíteni valaki az alábbi feladat megoldásába? Előre is kösz. Számítsa ki a köv. kif. értékét:

\sqrt{2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2+\sqrt2+\sqrt3}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}\cdot\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]