Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[503] nadorp2007-02-20 08:44:55

Egy előjelet elnéztél, mert \int_t^1\frac1ydy=-\log{t}. Hasonlóan jön ki az általam kapott eredmény is. A Tiedet folytatva. Legyen

g(p)=-\int_0^1t^{p-1}(1-t)^ndt. Ismert, hogy ez az integrál a Béta függvény ( de kijön n darab parciális integrálás után is), azaz g(p)=-\frac{\Gamma(p)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+p+1)}=-\frac{n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}. Másrészt az integrált a p paraméter szerint deriválva ( ezt most szabad) g^{'}(p)=)=-\int_0^1t^{p-1}(1-t)^n\log{t}dt. Tehát

-\int_0^1t^{p-1}(1-t)^n\log{t}dt=\frac{n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}\sum_{k=0}^n\frac1{p+k}

Előzmény: [502] jonas, 2007-02-19 20:37:00
[502] jonas2007-02-19 20:37:00

Én így kezdeném el:

Vezessük be az f(t)=tp-1(1-t)n jelölést. Ezzel az integrált így írhatjuk.

 \int_0^1 \int_0^1 f(t) dxdy = \int_0^1 \int_0^y f(t)/y dtdy =

 = \int_0^1 \int_t^1 f(t)/y dydt = \int_0^1 f(t) \int_t^1 1/y dy dt = \int_0^1 f(t) \log t dt =

 = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^n\log t dt

(Ha p\ge1, akkor esetleg lehetnek gondok az integrál felcserélésével.)

Innen viszont nem tudom, hogy mennék tovább.

Előzmény: [496] Cckek, 2007-02-18 19:29:46
[501] nadorp2007-02-19 14:53:22

... és a kígyó a saját farkába harap -:). Olyan "nagyon szép" alakot szerintem azért ne nagyon várjál, mert az integrálban a Gamma-függvény van elrejtve.

Előzmény: [500] Cckek, 2007-02-19 14:43:27
[500] Cckek2007-02-19 14:43:27

Pontosan ennek az összegnek a kiszámításához kellett volna ez az integrál:))

Előzmény: [497] Lóczi Lajos, 2007-02-19 11:10:01
[499] Sümegi Károly2007-02-19 14:35:14

Van egy nehéz feladatom:

x,y,z nemnegatív számokra x+y+z=1.

Bizonyítsuk be, hogy x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le\frac{4}{27}

[498] nadorp2007-02-19 11:26:09

Így van, nekem is ez jött ki a binomiális tételből. De találtam egy "szebb" ( bár ez hozzáállás kérdése -:) alakot. Tehát

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(p+k)^2}=-n!\left[\frac1{p(p+1)(p+2)...(p+n)}\right]^' ( természetesen p-szerinti deriváltról van szó)

Előzmény: [497] Lóczi Lajos, 2007-02-19 11:10:01
[497] Lóczi Lajos2007-02-19 11:10:01

A szamitogep ezt mondta: ha p>0 es n pozitiv egesz, akkor

\int_0^1 \int_0^1 (x y)^{p-1} (1-x y)^n dx dy =

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(p+k)^2}.

Előzmény: [496] Cckek, 2007-02-18 19:29:46
[496] Cckek2007-02-18 19:29:46

A következő integrált kéne kiszámítani:

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{(xy)^{p-1}(1-xy)^{n}}dxdy, ahol p\inR,n\inN

[495] Cckek2007-02-09 16:53:05

Akkor legyen f olyan bijektiv függvény amelyiknek ki tudjuk számítani az inverzét.

Előzmény: [492] Cckek, 2007-02-07 10:22:42
[494] jonas2007-02-07 13:19:55

Miféle trigonometrikus függvényre gondolsz?

Ha mondjuk f(x)=sin x, akkor  \sqrt{(f(x))^2 + (f'(x))^2} ={}  \sqrt {\sin^2 x + \cos^2 x} = 1 .

Előzmény: [492] Cckek, 2007-02-07 10:22:42
[493] Lóczi Lajos2007-02-07 12:26:39

Amit ki lehet egyáltalán számolni, arra nézve lásd http://integrals.wolfram.com/

(Gyakran segít, ha paraméterek helyett konkrét számokkal dolgozol -- a paramétereket komplex számokként kezeli alaphelyzetben, melyek néha bonyolult esetszétválasztásokat eredményeznek.)

Előzmény: [492] Cckek, 2007-02-07 10:22:42
[492] Cckek2007-02-07 10:22:42

A következő tipusú integrálokat kéne kiszámítani:

\int{\frac{af(x)+b}{cf(x)+d}\sqrt{(f(x))^2+(f'(x))^2}}dx.

Ahol f(x) valamilyen trigonometrikus függvény a,b,c,d valós számok.

[491] Gyöngyő2007-01-29 18:08:31

Sziasztok!

Tudnátok segíteni az A.414 feladat megoldásában,mert elrontottam a végégt de nem tudom kijavítani.

Üdv.: Zsolt

[490] nadorp2007-01-29 15:45:27

Bocs,a végeredmény pontatlan: akkor =1, n páratlan sok prím szorzata.

Előzmény: [489] nadorp, 2007-01-29 14:38:59
[489] nadorp2007-01-29 14:38:59

Az 1.feladat vázlatosan.

Legyen f(n)=\sum_{(k,n)=1,0<k<n}e^{i\frac{2\pi}nk}, ha n>1 és f(1)=1

g(n)=\sum_{(k,n)=1,0<k<n}e^{i\frac{2\pi}n2k}, ha n>1 és g(1)=1

Nyilván f(n) az n-dik primítiv egységgyökök összege, g(n) pedig a négyzetösszege,ezért a kettős szorzatok összege \frac{f^2-g}2. Először bizonyítsuk be, hogy f és g multiplikatívok. Ha ez megvan, akkor kiszámolható, hogy

f(p^\alpha)=-1, ha \alpha=1 és 0 egyébként, azaz f(n)=\mu(n) a Möbius-féle függvény. Hasonlóan kapjuk, hogy g(n)=\mu(n), tehát a keresett összeg \frac{\mu^2-\mu}2, ami 1, ha n prím és 0 különben.

Előzmény: [473] thukaert, 2007-01-27 15:40:42
[488] thukaert2007-01-27 22:31:53

A,B legyen két egész elemű mátrix, és legyenek ezek relációban pontosan akkor ha létezik olyan U egész elemű unimoduláris mátrix amellyel A-t balról megszorozva B-t kapjuk.

1) Bizonyítsuk be hogy ekvivalenciarelációt kapunk! 2) Határozzuk meg a k determinánsú n-edrendű mátrixok ekvivalencia-osztályainak a számát!

[487] Csimby2007-01-27 18:49:04

Én ezt úgy ismerem, hogy egy amőba roszat álmodik és ösze-visza forgolódik/nyúlik stb álmában, de eközben sosem lóg le az ágyáról ami mondjuk kör vagy négyzet alakú. Bizonyítsuk be hogy lesz olyan pontja ami ugyanott ébred fel mint ahol lefeküdt.

Könnyebb a következő: Egy kígyó roszat álmodik és öszevisza tekeredik az alvócsövében, de nem lóg ki belőle. Biz be, hogy lesz olyan pontja ami ugyanott ébred mint ahol lefeküdt.

Előzmény: [482] thukaert, 2007-01-27 18:00:16
[486] Lóczi Lajos2007-01-27 18:43:15

Eltévesztettem, nem jóra gondoltam.

Ha magát Brouwert nem használhatjuk, akkor meg kell ismételni a bizonyítást :) Egy elemi fogalmakat használó van leírva pl. itt.

Előzmény: [485] thukaert, 2007-01-27 18:13:32
[485] thukaert2007-01-27 18:13:32

Ha jól tudom a Bolzano tétel intervallumokra fogalmaz meg tételt, nem egységnégyzetre.Vagy melyik Bolzano tételre gondolsz?

Előzmény: [483] Lóczi Lajos, 2007-01-27 18:06:11
[484] thukaert2007-01-27 18:07:31

Így gondolkoztam Lajos

Legyen a három gyök 1,x,y!Tegyük fel hogy a polinom normált!

Ekkor a másodfokú tag együtthatója:

-1-x-y

az első fokú tag együtthatója

x+y+xy

a konstans tag:

-xy

ha ezeket összeadod az -1 és nem gondoltunk a főegyütthatóra ami 1. -1+1=0

Előzmény: [481] Lóczi Lajos, 2007-01-27 17:55:31
[483] Lóczi Lajos2007-01-27 18:06:11

Akkor használjuk a Bolzano-tételt az f(x)-x függvényre.

Előzmény: [482] thukaert, 2007-01-27 18:00:16
[482] thukaert2007-01-27 18:00:16

Íme egy aranyos feladat:

D:=[0,1]x[0,1]

f : D--->D folytonos

Mutassuk meg hogy f-nek van fixpontja!

Ja és Brouwer fixponttételét nem illik felhasználni!

[481] Lóczi Lajos2007-01-27 17:55:31

Az összegben a megfelelő előjelekről ne feledkezz meg.

Előzmény: [480] thukaert, 2007-01-27 17:43:35
[480] thukaert2007-01-27 17:43:35

Pontosabban 0 ha a főegyütthatót is figyelembe vesszük, tehát a megoldás elvileg az hogy az együtthatók összege 0.

Előzmény: [479] thukaert, 2007-01-27 17:41:26
[479] thukaert2007-01-27 17:41:26

Valóban igazad van, egy kicsit jobban meg kellett volna néznem, ha egy harmadfokú normált polinomnak az egyik gyöke 1, akkor az együtthatók összege -1.

Előzmény: [478] Lóczi Lajos, 2007-01-27 17:19:07

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]