Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[517] epsilon2007-04-07 10:23:44

Helló! Adott a következő négyzetes alak: F(x,y,z)=x(exp2)+axy+by(exp2)+z(exp2) és a kötés xyz=c ahol a,b,c,x,y,z>0. Kerestetik a minF=? Próbáltam a Lagrange módszerrel, ott nem találtam minimumhelyet. Tévedtem? Nincsen? Van egyszerűbb megoldás? Előre is kösz, üdv: epsilon

[516] szbela2007-02-22 22:19:35

nos átgondoltam mégegyszer, tényleg igazad van:) túl szépnek tűnt az ötletem...:) hogy elégtételt vegyek, feladok egy nagyon szép feladatot, Komáromban hallottam egy diáktalálkozón, már nem emlékszem, hogy kitől származik, íme: adott A=2x+y+2x+z+2y+z ahol x,y,z>0 valós számok. a megoldandó példa:

8(\sqrt{A+4^{x}}-2^{x})(\sqrt{A+4^{y}}-2^{y})(\sqrt{A+4^{z}}-2^{z})=\sqrt{(A+4^{x})(A+4^{y})(A+4^{z})} x=? y=? z=?

jó éjszakát!

[515] jenei.attila2007-02-22 20:12:15

Az OK, hogy y2x+x2z+z2y+xyz\ge4xyz. De amit írtál: "Tehát ahol 4xyz-nek maximuma van, ott van y2x+x2z+z2y+xyz -nek a minimuma", nos ezt nem értem, és pont ezt kifogásoltam az előző hozzászolásomban.De az általad felírt egyenlőtlenségekből: (x+y)(x+z)(y+z)<=8/27 és y2x+x2z+z2y+xyz\ge4xyz csak az következik, hogy x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le \frac{8}{27}-4xyz, ebből pedig, ahogy írtam, csak akkor következik az eredeti egyenlőtlenség, ha xyz\ge \frac{1}{27}, ez pedig éppen fordítva áll. Egyébként nem állítottam, hogy a 8/27-4xyz maximumát kerested.

Előzmény: [513] szbela, 2007-02-22 18:51:58
[514] jenei.attila2007-02-22 19:45:07

Ez szép. Nagyon ügyes megoldás.

Előzmény: [512] PPP, 2007-02-22 18:27:55
[513] szbela2007-02-22 18:51:58

nekem ez jónak tűnik... átgondoltam még egyszer, és számomra még mindig úgy tűnik, hogy igazam van, mégpedig azért, mert amit mondasz jó, de nem 8/27-4xyz maximumát, hanem a y2x+x2z+z2y+xyz kifejezésnek a minimumát keresem, és ez a kifejezés mindig nagyobb, mint 4xyz. Tehát ahol 4xyz-nek maximuma van, ott van y2x+x2z+z2y+xyz -nek a minimuma, és minél kisebb ez, annál nagyobb az (x+y)(x+z)(y+z)-(y2x+x2z+z2y+xyz), vagyis az eredeti baloldal.

[512] PPP2007-02-22 18:27:55

Én is teszek egy kísérletet :-)

Ha xyz=0, akkor pl. z=0 esetén számtani-mértanival x^2y=4\cdot \frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot y\le 4\cdot \left(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y}{3}\right)^3=\frac{4}{27}

Egyenlőség akkor van, ha \frac{x}{2}=y, azaz ha x=2/3, y=1/3.

Tegyük fel most, hogy xyz\neq0. Legyen x, y és z közül nagyságrendben a középső mondjuk y. (x,y,z) hármas helyett (x+z,y,0) hármasra áttérve a kifejezés értéke (x+z)2y-x2y-y2z-z2x-xyz=z2y+xyz-y2z-z2x=z(y-x)(z-y)\ge0-val nő. A kifejezés értéke eredetileg 4/27-nél kisebb volt, ha ez pozitív, vagy ha (x+z,y,0)-ra nem áll egyenlőség. Ha (x+z,y,0)-ra a kifejezés értéke pont 4/27, akkor x+z=2/3, y=1/3. z(y-x)(z-y)=0, ezért - mivel z nemnulla - x=y vagy z=y. Mindkét esetben az x=y=z=1/3 megoldást kapjuk.

Előzmény: [505] Sümegi Károly, 2007-02-21 18:00:44
[511] szbela2007-02-22 18:25:00

helló Attila! igazad van, köszi szépen. ez esetben gondolkodom még rajta...:)

[510] jenei.attila2007-02-22 17:16:12

Sajnos ugyanazt a hibát követed el, mint sakkmath. Bebizonyítottad, hogy a baloldal \le \frac{8}{27}-4xyz. Ebből azonban akkor következne az eredeti állítás, ha frac127\lexyz lenne, ami éppen fordítva áll fenn. Mindkettőtöknél az a hiba, hogy egy egyenlőtelnségben (ahol a baloldal <= mint a jobboldal), nem biztos, hogy akkor lesz a baloldal maximális, ha a jobboldal minimális (mégha ilyenkor egyenlők is).

Előzmény: [509] szbela, 2007-02-22 16:54:46
[509] szbela2007-02-22 16:54:46

sziasztok! nekem is hasonló megoldásom lenne, íme: írjuk fel a baloldalt a következőképp: (x+y)(x+z)(y+z)-(y2x+x2z+z2y+xyz) innen a geometriai és a számtani közép között fennálló összefüggésből megtudjuk határozni (x+y)(x+z)(y+z) maximumát, ami (2/3)3, azaz 8/27. Ez x=y=z esetében áll fenn. Most határozzuk meg y2x+x2z+z2y+xyz kifejezés minimumát a számtani közép és a geometriai közép segítségével, ami 4xyz, és akkor áll fenn, ha x=y=z. És ehhez kell, hogy meghatározzuk xyz maximumát, amit szintén a már sokszor használt számtani és mértani középpel tudunk megtenni. így 4xyz értéke (1/3)3*4, azaz 4/27. Kifejezésünk maximuma tehát nem más, mint 8/27-4/27, azaz 4/27, ami az előzőekből következve x=y=z=1/3 esetben áll fenn. Utólagos elnézést a sok szöveghez, most először használtam a TeX-et.

[508] jenei.attila2007-02-22 16:42:45

Sőt! Sajnos nem jó a bizonyításod, mert amit én írtam egyenlőtlenséget, az éppen fordítva áll fenn. Tehát hiába bizonyítottad, hogy a baloldal \le x^3+y^3+z^3+\frac{1}{27}, ebből nem következik az eredeti állítás.

Előzmény: [507] jenei.attila, 2007-02-22 16:29:52
[507] jenei.attila2007-02-22 16:29:52

Szerintem még annyi hiányzik, hogy x^3+y^3+z^3\le\frac{3}{27}, ha x+y+z=1. Különben jó.

Előzmény: [506] sakkmath, 2007-02-22 14:44:09
[506] sakkmath2007-02-22 14:44:09

A megoldásom:

Előzmény: [499] Sümegi Károly, 2007-02-19 14:35:14
[505] Sümegi Károly2007-02-21 18:00:44

Köszönöm a megoldást, a módszert ismertem. Nem tudom van-e elemibb megoldása. A feladat nehézségét az adja, hogy a megszokott egyenlőtlenségekkel nehezen bizonyítható, mert több helyen is felveszi a szélsőértékét. Egy hétig próbálkoztam vele, de nem sikerült. Ha valaki megoldaná deriválás nélkül, az érdekelne. A feladat felsőbb matematikával történő megoldása eléggé jól működik.

Előzmény: [504] Lóczi Lajos, 2007-02-20 14:28:40
[504] Lóczi Lajos2007-02-20 14:28:40

Aki szereti az ilyen tipusu feladatokat, azoknak ajanlom figyelmebe a www.artofproblemsolving.com oldal forumanak tanulmanyozasat: naponta tobb tucat ilyen feladatot tuznek ki.

A mostani feladat megintcsak nem lesz nehez, ha tudunk derivalni. Legyen f(x,y) az egyenlotlenseg bal oldala a z=1-x-y helyettesites utan. Megmutatjuk, hogy f abszolut maximuma 4/27 az x=0, y=0, x+y=1 egyenesek altal hatarolt haromszoglapon, amibol a feladat mar kovetkezik.

A parcialis derivaltakat 0-val egyenlove teve a haromszog belsejeben 4 lehetseges szelsoertekhely adodik: (1/3,1/3), illetve egy harmadfoku egyenlet harom gyokenel, amit most nem masolok ide. Itt f(1/3,1/3)=4/27, a maradek harom pontban pedig f erteke 1/7, ami kisebb 4/27-nel.

Hatra van a perem vizsgalata. Kulon nezve az f(0,y), f(x,0) es f(x,1-x) egyvaltozos fuggvenyeket megallapitjuk, hogy ezek legfeljebb 4/27-et vesznek fel, megpedig csak az alabbi helyeken: (0,2/3), (1/3,0), (2/3,1/3), amivel befejezodik az erveles.

Előzmény: [499] Sümegi Károly, 2007-02-19 14:35:14
[503] nadorp2007-02-20 08:44:55

Egy előjelet elnéztél, mert \int_t^1\frac1ydy=-\log{t}. Hasonlóan jön ki az általam kapott eredmény is. A Tiedet folytatva. Legyen

g(p)=-\int_0^1t^{p-1}(1-t)^ndt. Ismert, hogy ez az integrál a Béta függvény ( de kijön n darab parciális integrálás után is), azaz g(p)=-\frac{\Gamma(p)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+p+1)}=-\frac{n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}. Másrészt az integrált a p paraméter szerint deriválva ( ezt most szabad) g^{'}(p)=)=-\int_0^1t^{p-1}(1-t)^n\log{t}dt. Tehát

-\int_0^1t^{p-1}(1-t)^n\log{t}dt=\frac{n!}{\prod_{k=0}^n(p+k)}\sum_{k=0}^n\frac1{p+k}

Előzmény: [502] jonas, 2007-02-19 20:37:00
[502] jonas2007-02-19 20:37:00

Én így kezdeném el:

Vezessük be az f(t)=tp-1(1-t)n jelölést. Ezzel az integrált így írhatjuk.

 \int_0^1 \int_0^1 f(t) dxdy = \int_0^1 \int_0^y f(t)/y dtdy =

 = \int_0^1 \int_t^1 f(t)/y dydt = \int_0^1 f(t) \int_t^1 1/y dy dt = \int_0^1 f(t) \log t dt =

 = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^n\log t dt

(Ha p\ge1, akkor esetleg lehetnek gondok az integrál felcserélésével.)

Innen viszont nem tudom, hogy mennék tovább.

Előzmény: [496] Cckek, 2007-02-18 19:29:46
[501] nadorp2007-02-19 14:53:22

... és a kígyó a saját farkába harap -:). Olyan "nagyon szép" alakot szerintem azért ne nagyon várjál, mert az integrálban a Gamma-függvény van elrejtve.

Előzmény: [500] Cckek, 2007-02-19 14:43:27
[500] Cckek2007-02-19 14:43:27

Pontosan ennek az összegnek a kiszámításához kellett volna ez az integrál:))

Előzmény: [497] Lóczi Lajos, 2007-02-19 11:10:01
[499] Sümegi Károly2007-02-19 14:35:14

Van egy nehéz feladatom:

x,y,z nemnegatív számokra x+y+z=1.

Bizonyítsuk be, hogy x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le\frac{4}{27}

[498] nadorp2007-02-19 11:26:09

Így van, nekem is ez jött ki a binomiális tételből. De találtam egy "szebb" ( bár ez hozzáállás kérdése -:) alakot. Tehát

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(p+k)^2}=-n!\left[\frac1{p(p+1)(p+2)...(p+n)}\right]^' ( természetesen p-szerinti deriváltról van szó)

Előzmény: [497] Lóczi Lajos, 2007-02-19 11:10:01
[497] Lóczi Lajos2007-02-19 11:10:01

A szamitogep ezt mondta: ha p>0 es n pozitiv egesz, akkor

\int_0^1 \int_0^1 (x y)^{p-1} (1-x y)^n dx dy =

\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{(-1)^k}{(p+k)^2}.

Előzmény: [496] Cckek, 2007-02-18 19:29:46
[496] Cckek2007-02-18 19:29:46

A következő integrált kéne kiszámítani:

\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}{(xy)^{p-1}(1-xy)^{n}}dxdy, ahol p\inR,n\inN

[495] Cckek2007-02-09 16:53:05

Akkor legyen f olyan bijektiv függvény amelyiknek ki tudjuk számítani az inverzét.

Előzmény: [492] Cckek, 2007-02-07 10:22:42
[494] jonas2007-02-07 13:19:55

Miféle trigonometrikus függvényre gondolsz?

Ha mondjuk f(x)=sin x, akkor  \sqrt{(f(x))^2 + (f'(x))^2} ={}  \sqrt {\sin^2 x + \cos^2 x} = 1 .

Előzmény: [492] Cckek, 2007-02-07 10:22:42
[493] Lóczi Lajos2007-02-07 12:26:39

Amit ki lehet egyáltalán számolni, arra nézve lásd http://integrals.wolfram.com/

(Gyakran segít, ha paraméterek helyett konkrét számokkal dolgozol -- a paramétereket komplex számokként kezeli alaphelyzetben, melyek néha bonyolult esetszétválasztásokat eredményeznek.)

Előzmény: [492] Cckek, 2007-02-07 10:22:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]