Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[528] Cckek2007-05-23 19:57:22

Van-e olyan függvény, hogy f\inL1 de f\notinLp,p>1? Bizonyára. De konkrétan kapni ilyet? Hmm:)

Előzmény: [527] Lóczi Lajos, 2007-05-23 17:22:57
[527] Lóczi Lajos2007-05-23 17:22:57

Adjunk példát olyan f\ge0 függvényre (ha egyáltalán van), hogy


\int_0^1 f^p(x) dx

minden p>1 szám esetén végtelen, de p=1 esetén véges.

[526] Doom2007-05-19 14:46:32
x+2y+3z=32(1)
2x+y+3z=31(2)
3x+2y+z=28(3)

Ekkor (1)-ből kifejezve x-et:

x=32-2y-37(4)

és ezt behelyettesítve (2)-be kapjuk, hogy

64-4y-6z+y+3z=31

33=3y+3z

11=y+z

z=11-y(5)

Ezt visszahelyettesítve (4)-be:

x=32-2y-33+3y

x=y-1(6)

(5)-öt és (6)-ot beírva (3)-ba:

3y-3+2y+11-y=28

4y=20

y=5

Így visszahelyettesítve kapjuk, hogy x=4, y=5 és z=6.

Megjegyzés: ez mindenféle meggondolás nélkül, "favágó" módszerrel csináltuk és minden lineáris egyenletrendszer esetében működik.

Előzmény: [525] Csill, 2007-05-19 12:24:25
[525] Csill2007-05-19 12:24:25

Nagy bajban vagyok. Szeretném megtudni, hogy hogyan lehet megoldani ezt a feledatot, hogy az eredmény (x, y, z):(4, 5, 6)legyen? A feladat: x+2y+3z = 32 (és) 2x+y+3z = 31 (és) 3x+2y+z = 28. Segítség!!!!!

[524] Lóczi Lajos2007-04-08 00:33:18

Valaki a Lagrange-féle multiplikátor módszerrel kereste meg az x-y4-z4 függvény szélsőértékeit az x3+y2+z2=0 feltétel mellett. Mit tapasztalt és mi ennek az oka?

[523] Lóczi Lajos2007-04-07 21:46:32

Azért egy harmadfokú egyenlet gyökei elég jópofa számoknak számítanak, nem? Nehezen tudok egyszerűbbet elképzelni, leszámítva a másodfokú egyenletek gyökeit :)

Előzmény: [522] epsilon, 2007-04-07 20:24:15
[522] epsilon2007-04-07 20:24:15

Helló! Köszi a gyors véleményeket, javaslatokat! Én azért hagytam benne a kötést is, mert akkor az L(x,y,z)=x(exp2)+axy+by(exp2)+z(exp2)+K(xyz-36) esetén a deriváltak nem olyan kellemetlenek mint a 2 változósra visszavezetett esetén, de nekem itt a 3 parciális derivátnál az adódott, hogy egyidőben nem lehet x,y,z mind pozitív :-( pedig ez kellene, mert aztán a kötésbe vissza kellene írnom. Megnézem még a 2 változós esetet is, de azért elemi megoldásra is gondolnék, az a=b=4 setben, bosszantóan egszerűnek látszik az az eset, de nekem is 3-ik és négyzetgyökök jöttek ki :-( gondoltam, hogy valami jópofább számokra találok. Üdv: epsilon

[521] Lóczi Lajos2007-04-07 20:08:20

Persze az egészhez nem is kell multiplikátor-módszer, hiszen a feltételi egyenletből z kifejezhető x-szel, y-nal és c-vel: egy feltétel nélküli kétváltozós probléma marad a pozitív síknegyedben, minimalizálandó az x^2 + \frac{c^2}{x^2 y^2} + a x y + b y^2 függvény. (A megfelelő parciális deriváltakból álló egyenletrendszer megoldása természetesen így sem lesz könnyebb és ugyanarra az eredményre vezet.) Ebből az alakból viszont látszik, hogy pontosan egy globális minimum lesz.

Előzmény: [520] Lóczi Lajos, 2007-04-07 19:57:34
[520] Lóczi Lajos2007-04-07 19:57:34

A Lagrange-függvény stacionárius pontja (=ahol a deriváltjának minden komponense nulla) nem fejezhető ki szép képlettel: egy olyan harmadfokú egyenlet szerepel benne, amelynek együtthatói egy másodfokú egyenlet gyökeinek hatodik gyöke, mindenesetre ebből egyetlen lehetséges szélsőértékhely adódik.

Egy konkrét példát kiragadva: az a=1, b=2, c=4 esetben a lehetséges szélsőértékhely:

x=2{\left( \frac{4 - {\sqrt{2}}}{7} \right) }^{\frac{1}{6}}, y={\sqrt{2}}{\left( \frac{4 - {\sqrt{2}}}{7} \right) }^{\frac{1}{6}}, z={\sqrt{2}}{\left( \frac{7}{4 - {\sqrt{2}}} \right) }^{\frac{1}{3}}.

Erről egyébként a másodikderivált-kritériummal be lehet látni, hogy feltételes minimum.

Előzmény: [517] epsilon, 2007-04-07 10:23:44
[519] Lóczi Lajos2007-04-07 18:53:24

De nem maximumot, hanem minimumot keresünk.

Előzmény: [518] nadorp, 2007-04-07 16:31:04
[518] nadorp2007-04-07 16:31:04

Ugye ez a feladat: x2+axy+by2+z2 minimuma az xyz=c feltétel mellett? Ha igen, akkor ne keress minimumot. Legyen x=y=n pozitív egész és z=\frac{c}{n^2}. Ekkor F(x,y,z)=(1+a+b)n2+z2 és ez tetszőleges nagy lehet.

Előzmény: [517] epsilon, 2007-04-07 10:23:44
[517] epsilon2007-04-07 10:23:44

Helló! Adott a következő négyzetes alak: F(x,y,z)=x(exp2)+axy+by(exp2)+z(exp2) és a kötés xyz=c ahol a,b,c,x,y,z>0. Kerestetik a minF=? Próbáltam a Lagrange módszerrel, ott nem találtam minimumhelyet. Tévedtem? Nincsen? Van egyszerűbb megoldás? Előre is kösz, üdv: epsilon

[516] szbela2007-02-22 22:19:35

nos átgondoltam mégegyszer, tényleg igazad van:) túl szépnek tűnt az ötletem...:) hogy elégtételt vegyek, feladok egy nagyon szép feladatot, Komáromban hallottam egy diáktalálkozón, már nem emlékszem, hogy kitől származik, íme: adott A=2x+y+2x+z+2y+z ahol x,y,z>0 valós számok. a megoldandó példa:

8(\sqrt{A+4^{x}}-2^{x})(\sqrt{A+4^{y}}-2^{y})(\sqrt{A+4^{z}}-2^{z})=\sqrt{(A+4^{x})(A+4^{y})(A+4^{z})} x=? y=? z=?

jó éjszakát!

[515] jenei.attila2007-02-22 20:12:15

Az OK, hogy y2x+x2z+z2y+xyz\ge4xyz. De amit írtál: "Tehát ahol 4xyz-nek maximuma van, ott van y2x+x2z+z2y+xyz -nek a minimuma", nos ezt nem értem, és pont ezt kifogásoltam az előző hozzászolásomban.De az általad felírt egyenlőtlenségekből: (x+y)(x+z)(y+z)<=8/27 és y2x+x2z+z2y+xyz\ge4xyz csak az következik, hogy x^2y+y^2z+z^2x+xyz\le \frac{8}{27}-4xyz, ebből pedig, ahogy írtam, csak akkor következik az eredeti egyenlőtlenség, ha xyz\ge \frac{1}{27}, ez pedig éppen fordítva áll. Egyébként nem állítottam, hogy a 8/27-4xyz maximumát kerested.

Előzmény: [513] szbela, 2007-02-22 18:51:58
[514] jenei.attila2007-02-22 19:45:07

Ez szép. Nagyon ügyes megoldás.

Előzmény: [512] PPP, 2007-02-22 18:27:55
[513] szbela2007-02-22 18:51:58

nekem ez jónak tűnik... átgondoltam még egyszer, és számomra még mindig úgy tűnik, hogy igazam van, mégpedig azért, mert amit mondasz jó, de nem 8/27-4xyz maximumát, hanem a y2x+x2z+z2y+xyz kifejezésnek a minimumát keresem, és ez a kifejezés mindig nagyobb, mint 4xyz. Tehát ahol 4xyz-nek maximuma van, ott van y2x+x2z+z2y+xyz -nek a minimuma, és minél kisebb ez, annál nagyobb az (x+y)(x+z)(y+z)-(y2x+x2z+z2y+xyz), vagyis az eredeti baloldal.

[512] PPP2007-02-22 18:27:55

Én is teszek egy kísérletet :-)

Ha xyz=0, akkor pl. z=0 esetén számtani-mértanival x^2y=4\cdot \frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\cdot y\le 4\cdot \left(\frac{\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y}{3}\right)^3=\frac{4}{27}

Egyenlőség akkor van, ha \frac{x}{2}=y, azaz ha x=2/3, y=1/3.

Tegyük fel most, hogy xyz\neq0. Legyen x, y és z közül nagyságrendben a középső mondjuk y. (x,y,z) hármas helyett (x+z,y,0) hármasra áttérve a kifejezés értéke (x+z)2y-x2y-y2z-z2x-xyz=z2y+xyz-y2z-z2x=z(y-x)(z-y)\ge0-val nő. A kifejezés értéke eredetileg 4/27-nél kisebb volt, ha ez pozitív, vagy ha (x+z,y,0)-ra nem áll egyenlőség. Ha (x+z,y,0)-ra a kifejezés értéke pont 4/27, akkor x+z=2/3, y=1/3. z(y-x)(z-y)=0, ezért - mivel z nemnulla - x=y vagy z=y. Mindkét esetben az x=y=z=1/3 megoldást kapjuk.

Előzmény: [505] Sümegi Károly, 2007-02-21 18:00:44
[511] szbela2007-02-22 18:25:00

helló Attila! igazad van, köszi szépen. ez esetben gondolkodom még rajta...:)

[510] jenei.attila2007-02-22 17:16:12

Sajnos ugyanazt a hibát követed el, mint sakkmath. Bebizonyítottad, hogy a baloldal \le \frac{8}{27}-4xyz. Ebből azonban akkor következne az eredeti állítás, ha frac127\lexyz lenne, ami éppen fordítva áll fenn. Mindkettőtöknél az a hiba, hogy egy egyenlőtelnségben (ahol a baloldal <= mint a jobboldal), nem biztos, hogy akkor lesz a baloldal maximális, ha a jobboldal minimális (mégha ilyenkor egyenlők is).

Előzmény: [509] szbela, 2007-02-22 16:54:46
[509] szbela2007-02-22 16:54:46

sziasztok! nekem is hasonló megoldásom lenne, íme: írjuk fel a baloldalt a következőképp: (x+y)(x+z)(y+z)-(y2x+x2z+z2y+xyz) innen a geometriai és a számtani közép között fennálló összefüggésből megtudjuk határozni (x+y)(x+z)(y+z) maximumát, ami (2/3)3, azaz 8/27. Ez x=y=z esetében áll fenn. Most határozzuk meg y2x+x2z+z2y+xyz kifejezés minimumát a számtani közép és a geometriai közép segítségével, ami 4xyz, és akkor áll fenn, ha x=y=z. És ehhez kell, hogy meghatározzuk xyz maximumát, amit szintén a már sokszor használt számtani és mértani középpel tudunk megtenni. így 4xyz értéke (1/3)3*4, azaz 4/27. Kifejezésünk maximuma tehát nem más, mint 8/27-4/27, azaz 4/27, ami az előzőekből következve x=y=z=1/3 esetben áll fenn. Utólagos elnézést a sok szöveghez, most először használtam a TeX-et.

[508] jenei.attila2007-02-22 16:42:45

Sőt! Sajnos nem jó a bizonyításod, mert amit én írtam egyenlőtlenséget, az éppen fordítva áll fenn. Tehát hiába bizonyítottad, hogy a baloldal \le x^3+y^3+z^3+\frac{1}{27}, ebből nem következik az eredeti állítás.

Előzmény: [507] jenei.attila, 2007-02-22 16:29:52
[507] jenei.attila2007-02-22 16:29:52

Szerintem még annyi hiányzik, hogy x^3+y^3+z^3\le\frac{3}{27}, ha x+y+z=1. Különben jó.

Előzmény: [506] sakkmath, 2007-02-22 14:44:09
[506] sakkmath2007-02-22 14:44:09

A megoldásom:

Előzmény: [499] Sümegi Károly, 2007-02-19 14:35:14
[505] Sümegi Károly2007-02-21 18:00:44

Köszönöm a megoldást, a módszert ismertem. Nem tudom van-e elemibb megoldása. A feladat nehézségét az adja, hogy a megszokott egyenlőtlenségekkel nehezen bizonyítható, mert több helyen is felveszi a szélsőértékét. Egy hétig próbálkoztam vele, de nem sikerült. Ha valaki megoldaná deriválás nélkül, az érdekelne. A feladat felsőbb matematikával történő megoldása eléggé jól működik.

Előzmény: [504] Lóczi Lajos, 2007-02-20 14:28:40
[504] Lóczi Lajos2007-02-20 14:28:40

Aki szereti az ilyen tipusu feladatokat, azoknak ajanlom figyelmebe a www.artofproblemsolving.com oldal forumanak tanulmanyozasat: naponta tobb tucat ilyen feladatot tuznek ki.

A mostani feladat megintcsak nem lesz nehez, ha tudunk derivalni. Legyen f(x,y) az egyenlotlenseg bal oldala a z=1-x-y helyettesites utan. Megmutatjuk, hogy f abszolut maximuma 4/27 az x=0, y=0, x+y=1 egyenesek altal hatarolt haromszoglapon, amibol a feladat mar kovetkezik.

A parcialis derivaltakat 0-val egyenlove teve a haromszog belsejeben 4 lehetseges szelsoertekhely adodik: (1/3,1/3), illetve egy harmadfoku egyenlet harom gyokenel, amit most nem masolok ide. Itt f(1/3,1/3)=4/27, a maradek harom pontban pedig f erteke 1/7, ami kisebb 4/27-nel.

Hatra van a perem vizsgalata. Kulon nezve az f(0,y), f(x,0) es f(x,1-x) egyvaltozos fuggvenyeket megallapitjuk, hogy ezek legfeljebb 4/27-et vesznek fel, megpedig csak az alabbi helyeken: (0,2/3), (1/3,0), (2/3,1/3), amivel befejezodik az erveles.

Előzmény: [499] Sümegi Károly, 2007-02-19 14:35:14

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]