Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[680] Maga Péter2013-04-12 18:06:20

Először röviden vázolom, hogy bizonyítja be az ember, hogy a szabályos 11-szög nem szerkeszthető. Miből áll a szerkesztés egy lépése? Általában véve sokféle lehet, de pontot csak háromféleképp kaphatsz: veheted már meglévő két egyenes, két kör vagy egy egyenes és egy kör metszéspontját (már meglévő egyenes: két pontja ismert, már meglévő kör: középpontja és egy kerületi pontja ismert). Most pakoljunk be mindent koordináta rendszerbe, kezdetben adottak mondjuk a (0,0) és (1,0) pontok. Ezek után mindig, amikor új pontot kapunk, annak mindkét koordinátája kifejezhető racionális számokból az alapműveletek és négyzetgyökvonás segítségével. Ezt indukcióval könnyű bebizonyítani: ilyen pontokra illeszkedő egyenesek metszéspontja ilyen stb.

Valójában áttérhetünk pontok szerkesztéséről számok szerkesztésére. Egy szabályos 11-szög szerkesztése ekvivalens a cos (2k\pi/11) (vagy sin (2k/\pi/11) számok) szerkesztésével k=1,...,10-re. Ezek a számok viszont nem kaphatók meg a racionális számokból pusztán alapműveletekkel és négyzetgyökvonással.

Van az algebrában egy olyan fogalom, hogy test. Ez egy olyan halmaz, amin összeadást, kivonást, szorzást, osztást tudsz végezni a szokásos műveleti tulajdonságokkal (tagok felcserélhetősége, csoportosíthatósága, zárójelfelbontás). A racionális számok például testet alkotnak. Hasonló módon testet alkotnak az a+b\sqrt{2} alakú (a,b racionálisok) számok is, ez a test tartalmazza Q-t. Ehhez hasonló esetekben lehet arról beszélni, hogy egy test egy másik felett hányadfokú. Ez lényegében az, hogy veszel egy olyan \alpha elemet, amit a kisebb F1-hez hozzá kell venni, hogy a nagyobb F2-t kapd (a konkrét példában a \sqrt{2} ilyen: ha hozzáveszed Q-hoz, utána már minden más előáll az alapműveletekkel), és kiszámolod, legalább hányadfokú F1-beli együtthatós polinomnak a gyöke \alpha. A konkrét példában: \sqrt{2} nem gyöke egyetlen Q együtthatós elsőfokú polinomnak sem (hiszen irracionális), de másodfokúnak már igen: x2-2 (az ilyen legkisebb fokú polinomot hívjuk minimálpolinomnak). Tehát a konkrét példában ez a fok 2. A szerkesztendő számok nyelvén mindig ilyen történik: ha az eddig megszerkesztett számok benne vannak egy F1 testben, akkor a következő megszerkesztett szám benne lesz egy olyan F2 testben, ami vagy maga F1 (nincs bővítés), vagy pedig F1 egy másodfokú bővítése. Bővítés bővítése esetén a fokszámok összeszorzódnak. Így ha sokszor bővítünk, akkor is mindig olyan számaink lesznek csak, amiknek a Q feletti minimálpolinomjának foka 2-hatvány. Viszont cos (2\pi/11)+isin (2\pi/11) minimálpolinomja x10+x9+...+x+1, ami tizedfokú.

Általában is ez a procedúra. A szabályos n-szög szerkeszthetősége visszamegy az n. körosztási polinomra: ez az xn-1 egyik tényezője, a cos (2\pi/n)+isin (2\pi/n) minimálpolinomja. Ennek foka pedig \varphi(n), az n-hez relatív prím maradékosztályok száma, és ez pontosan azokban az esetekben 2-hatvány, amit Csimby írt. És ez itt szerkeszthetőséget is jelent: a fent leírt dolgoknak a konkrét esetben van egy 'akkor és csak akkor' természete, de ezzel óvatosan! Általában nem igaz, hogy aminek a minimálpolinomja 2-hatvány fokú, az szerkeszthető; az xn-1 gyökeinek van még egy tulajdonsága, amit itt suba alatt használunk.

Ezek mély dolgok. Majd tanulod:).

(Ez csak egy sebtében írt vázlat, de ha valamit elírtam, majd valaki kijavít.)

Előzmény: [678] w, 2013-04-12 17:03:12
[679] Csimby2013-04-12 18:00:44

Gonosz válasz: Írj egy mailt és küldök egy könyvet :)

Előzmény: [678] w, 2013-04-12 17:03:12
[678] w2013-04-12 17:03:12

Kicsit gonosz kérdés következik: ez miért így van.

Előzmény: [677] Csimby, 2013-04-12 15:47:25
[677] Csimby2013-04-12 15:47:25

Szia, szabályos n-szög szerkesztésére (körzővel és vonalzóval) nem ez a feltétel, hanem hogy \varphi(n) (\varphi a szokásos Euler függvény) kettőhatvány legyen. Ez ekvivalens azzal, hogy n=2mp1p2...pk, ahol m\geq0 és pi-k páronként különböző Fermat-prímek, tehát olyan alakú prímek, mint amit te is írtál: 22r+1.

Előzmény: [676] w, 2013-04-12 13:46:33
[676] w2013-04-12 13:46:33

Én úgy hallottam, hogy csak szabályos 3, 4 és 22n+1-szög (n=1,2,...) szerkeszthető.

Előzmény: [675] marcius8, 2013-04-12 12:52:40
[675] marcius82013-04-12 12:52:40

Nagyon hálás lennék annak, aki a következő összefüggések bármelyikét bizonyítani tudja. Ezeket az összefüggéseket én csak megsejtettem, ugyanis mindenképpen egy szabályos 11 oldalú (!) sokszöget akartam szerkeszteni.

[674] w2013-04-08 16:38:02

Na szóval,

1. Mennyi a négyzetszámok lehetséges maradéka 3-mal osztva (kérlek, használd fel, amit írtam korábban, és írd le a megoldást ide)?

2. Miért nincs négyzetszám a következő számok között: 11, 101, 1001, ... ? (Segítség: vajon mennyi lesz a 3-as maradékuk?).

Előzmény: [673] nyerek01, 2013-04-08 02:04:18
[673] nyerek012013-04-08 02:04:18

Szerintem nincs négyzetszám köztük, mivel egyesre végződő négyzetszám csak egyessel vagy kilencessel végződő számból származhat.

Előzmény: [671] w, 2013-04-06 20:11:54
[672] w2013-04-06 20:31:46

Kis lökés rajta: először keressük meg a legfeljebb n-edfokúakat. Igazoljuk, hogy pontosan egy van. Konstruáljuk is meg azt. Az általános eset ennél nehezebb, azt még nem oldottam meg.

(Ez ismert feladat. A hozzáértők kérem, ne lőjék le.)

Előzmény: [669] w, 2013-04-01 20:26:25
[671] w2013-04-06 20:11:54

Ez nem nehéz feladat. Osszuk el az n számot maradékosan 3-mal: n=3k+r (n, k egész szám; r lehet 0, 1 vagy 2). Ekkor mennyi lesz n2? Ebből megállapítható n2 3-as maradéka. Meglepő eredmény.

Próbáld megoldani akkor a következő feladatot. Hány négyzetszám van a következő számok között: 1, 11, 101, 1001, 10001, ...?

Előzmény: [670] nyerek01, 2013-04-06 17:09:12
[670] nyerek012013-04-06 17:09:12

Bizonyítsa hogy: nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul (bocs ha rossz helyre írtam, mert kevés az itteni szinthez)

[669] w2013-04-01 20:26:25

Adottak a páronként különböző x1, x2, ..., xn, illetve a1, a2, ..., an számok. Keressük meg az összes olyan P polinomot, melyre P(xi)=ai (\foralli).

[668] Hajba Károly2013-02-02 23:26:11

Én úgy érzem, ahhoz, hogy érdekessé kezdjen válni, az egyik n-t m-mé kell átírni és elhagyni az egyenlő szárú kitételt. Az egybevágóság meg kötelező kell, hogy legyen, mivel enélkül nincs 'megkötés'.

Ez egyébként a diszkrét matematika parkettázás vagy csempézés részéhez tartozik. Ha kicsit finoman módosítunk a feltételeken, akkor Pakomániába érkezünk.

Előzmény: [667] w, 2013-02-02 15:29:34
[667] w2013-02-02 15:29:34

Adok okot is arra, hogy felhozzuk. :P. Kiötlöttem egy feladatot, amit tényleg nehéznek találok, és nagyon más témába nem illett bele.

Hányféleképpen darabolható fel egy szabályos n-szög n db egybevágó egyenlő szárú háromszögre? Mi a helyzet, ha valamelyik feltételt elhagyjuk?

Előzmény: [666] Bütyök, 2011-09-18 18:43:43
[666] Bütyök2011-09-18 18:43:43

Ez egy jó topik. Felhozom:)

[665] gubanc2009-09-02 16:16:08

Kipróbáltam a módszered, de sajnos elakadtam :(

Neked sikerült a megoldás? Ha igen, örülnék, ha föltennéd.

Előzmény: [653] 2501, 2009-06-25 23:42:28
[664] leni5362009-07-11 23:43:51

Ezek szerint nincs se kezdeti sebesség, sem pedig kezdeti hossz. Valami akkor az összeneregiával nem stimmel, mert ha állandó a gyorsulás, akkor a helyzeti energia az idő negyedik hatványával csökken, a mozgási energia viszont az idő második hatványával növekszik, úgyhogy egy kezdeti szakaszon biztos, hogy nem fedezi a mozgási energiát a helyzeti energia változása.

Előzmény: [663] Timár Máté, 2009-07-11 22:57:33
[663] Timár Máté2009-07-11 22:57:33

nos köszönöm szépen kedves nadorp és Lóczi Lajos! Egyébként a differenciálegyenlet egy Eötvös-versenyfeladatból származik (1997,2.feladat...dióhéjban:egy asztal tetejéről egy L hosszúságú lánc csorog le egy lyukon keresztül,kérdés hogy mennyi idő alatt ér le ennek az eleje és a vége az ugyancsak L-mélyen levő talajra). A megoldókulcsban nem szerepelt megoldás,amolyan "vegyük észre hogy..." módszerrel oldódott meg a feladat .A kötél asztalról lelógó hossza legyen x, sebessége v,gyorsulása a,ekkor:

[662] nadorp2009-07-07 08:36:24

Én is így gondoltam, csak rövidítettem :-) Egyébként helyettesítés után a \root3\of{sh} függvényt kéne integrálni.

Előzmény: [661] Lóczi Lajos, 2009-07-06 23:45:18
[661] Lóczi Lajos2009-07-06 23:45:18

Mármint "az elemi függvények körében nem integrálható", az általános esetben. De a C=0 esetben valóban van elemi függvénnyel kifejezhető megoldás, ahogyan írtad.

Előzmény: [660] nadorp, 2009-07-06 19:17:54
[660] nadorp2009-07-06 19:17:54

Elnézést, az elsőrendűt elszámoltam. Tehát

z(y)=y'=\sqrt{\frac{C}{y^2}+\frac23ay}

Ez pedig valószínűleg C\neq0 esetén nem integrálható.

Előzmény: [659] nadorp, 2009-07-06 16:14:21
[659] nadorp2009-07-06 16:14:21

Csak hogy ne legyen nyúl a kalapból.

Legyen z(y)=y' Ekkor

y"=\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}=z\frac{dz}{dy}, tehát az egyenlet

z\frac{dz}{dy}+\frac{z^2}y=a

Ez egy elsőrendű,inhomogén differenciál egyenlet z(y)-ra. Innen

z(y)=y'=\frac Cy+\sqrt{\frac{2a}3y}

\frac{ydy}{C+y\sqrt{\frac{2ay}3}}=dx

Ez pedig az y=t2 helyettesítéssel kiintegrálható.

Az előző hozzászólás a C=0 eset volt.

Előzmény: [658] nadorp, 2009-07-06 11:24:27
[658] nadorp2009-07-06 11:24:27

A legelemibb megoldás -- ennél van rondább is:-)

f(x)=\left(\sqrt{\frac a6}x+C\right)^2

Előzmény: [657] Lóczi Lajos, 2009-07-02 15:31:09
[657] Lóczi Lajos2009-07-02 15:31:09

Úgy tűnik, a megoldás elemi függvénnyel nem fejezhető ki.

Előzmény: [656] Timár Máté, 2009-06-30 22:02:39
[656] Timár Máté2009-06-30 22:02:39

Sziasztok! Valaki segítene az alábbi differenciálegyenlet megoldásában?

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]