Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?
A régi honlapot akarom!!! :-)

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[719] izsák2013-10-07 09:46:14

Érdekes, hogy két "amatőr" beszélget szimpla matek problémáról, a matematikusok hallgatnak, vagy (ha az eddig válaszolók azok,) akkor hamis válaszokat adnak. Senki nem tudja a választ?

Előzmény: [718] Zilberbach, 2013-10-03 13:32:27
[718] Zilberbach2013-10-03 13:32:27

Igen, a maximuma x=1 -nél van, akkor a kitöltési tényező = 100

X=1 -től x=1,999... -ig monoton csökken.

x=2 -nél a kitöltési tényező értéke hirtelen fölugrik, majd ismét monoton csökken egészen 3 -ig, ahol megint hirtelen megnő, majd ismét monoton csökken 4 -ig.

A függvény azután is ugrál: egy ideig monoton csökken, azután hirtelen megugrik, majd megint monoton csökken, de már nem csak egész számonként, hanem egyre gyakrabban.

Előzmény: [717] izsák, 2013-10-03 08:32:28
[717] izsák2013-10-03 08:32:28

Igaz! Ott minimuma van a függvénynek. A maximuma milyen x értéknél lehet? X=1 ? A kettő között és x>2 esetén hogyan alakulhat? Milyen lehet a függvény alakja?

Előzmény: [716] Zilberbach, 2013-10-02 20:24:42
[716] Zilberbach2013-10-02 20:24:42

Hátha mégis érdekel valakit a válasz (habár így már nyilvánvaló, hogy ez nem nehéz matematikai probléma):

x = 1,9999... értéknél kapjuk a legalacsonyabb kitöltési tényezőt.

Előzmény: [715] Zilberbach, 2013-10-02 11:32:06
[715] Zilberbach2013-10-02 11:32:06

Ehhez kapcsolódva lenne nekem is egy kérdésem.

Ha a kitöltendő nagy gömb sugara = r, és a kitöltéshez használt kisebb gömbök sugara = r/x, akkor milyen x értéknél kapjuk a legalacsonyabb kitöltési tényezőt?

Előzmény: [705] izsák, 2013-09-25 08:05:38
[714] Erben Péter2013-10-01 11:55:11

Itt van egy elég alapos történeti áttekintés: http://bib.irb.hr/datoteka/402976.main1.pdf

Ha jól értem, az 1828-as Möbius cikk olyan - elég magas fokszámú - polinomot ad meg, amely kapcsolatot termet az oldalak hossza, a köréírt kör sugara, és a sokszög területe között. (Általában n-oldalú húrsokszögekkel foglalkozott.)

A Robbins-cikket még nem találtam meg, így azt nem tudtam megnézni, hogy adott-e explicit formulát n=5 esetén.

Előzmény: [713] marcius8, 2013-10-01 10:49:59
[713] marcius82013-10-01 10:49:59

Köszönöm, hogy foglalkoztál az általam felvetett kérdéssel. Az az igazság, hogy akármit is csináltam, mindig az lett a vége, hogy egy ötödfokú egyenletet kell megoldani. Valószínűleg az általad felírt egyenlet is ötödfokúra vezethető vissza. Tisztelettel: Bertalan Zoltán

Előzmény: [712] w, 2013-09-30 20:11:49
[712] w2013-09-30 20:11:49

Leírom, hogy szerintem meddig jutottál. :-) Ha egy oldal az r sugarú kör középpontjából \alpha szögben látszódik, akkor hossza r\frac{\sin\alpha}{\sin\frac{\pi-\alpha}2}=r\frac{2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}{\cos\frac\alpha2}=2r\sin\frac\alpha2 lesz a szinusz-tétel szerint, vagyis arra van szükség, hogy az a, b, c, d, e oldalakhoz r olyan legyen, hogy

\sin^{-1}(\frac a{2r})+\sin^{-1}(\frac b{2r})+\sin^{-1}(\frac c{2r})+\sin^{-1}(\frac d{2r})+\sin^{-1}(\frac e{2r})=\pi fennálljon.

Ez csúnya trigonometriai egyenlet, majd ezt valamelyik algebrista részletezi.

Előzmény: [710] marcius8, 2013-09-30 14:11:41
[711] marcius82013-09-30 14:22:12

Ha valaki tud, akkor segítsen a következő feladat megoldásában: Tegyük fel, hogy Európában az UEFA-nak 54 tagállama van (ez majdnem igaz is). Az UEFA a tagállamokat az esedékes labdarugó európa-bajnokság miatt 9 darab selejtező csoportba sorolja, mindegyik csoportban 6 tagállam szerepel. (A csoportokon belül minden tagállam válogatottja játszik minden tagállam válogatottjával otthon is és idegenben is, és csoportokon belül elért eredmények alapján vehetnek részt vagy nem vehetnek részt az európa-bajnokságon.) A következő esedékes labdarugó európa-bajnokság miatt az UEFA a tagállamokat újra 9 darab selejtező csoportba sorolja, mindegyik csoportban továbbra is 6 tagállam szerepel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nincs két olyan tagállam, amely mind a két selejtezősorozatban egymás ellen játszik?

[710] marcius82013-09-30 14:11:41

Ha valaki tud, akkor segítsen a következő feladat megoldásában: Ismertek egy húrötszög oldalai, mekkora a húrötszög köré írható kör sugara? Előre is köszönöm bárkinek is a segítségét!

[709] marcius82013-09-30 14:09:18

Ha valaki tud, segítsen a következő feladatot megoldani: Egy nxnxnx kockarács (a rácspontok egymástól egység távol vannak) bal-felső-első csúcsából jobb-alsó-hátsó csúcsába akar egy pók eljutni. A póknak célirányosan kell közlekednie, továbbá egy csúcsból a másik csúcsba akkor jut el, ha a két csúcs távolsága 2-nél kisebb (azaz ha a két csúcs távolsága 1, vagy gyök(2), vagy gyök(3)). Hányféleképpen tud a pók eljutni a kockarács bal-felső-első csúcsából jobb-alsó-hátsó csúcsába? Mi a válasz akkor, ha a pók egymás után maximum 2-szer léphet ugyanabba az irányba?

[708] jonas2013-09-26 10:58:02

74 százalék.

Előzmény: [707] izsák, 2013-09-26 10:00:05
[707] izsák2013-09-26 10:00:05

Az pontosan mennyi százalék?

Előzmény: [706] HoA, 2013-09-25 13:27:38
[706] HoA2013-09-25 13:27:38

Ha tetszőlegesen kis gömböket megengedünk, szerintem a válasz megegyezik az egész tér egyforma gömbökkel történő legjobb kitöltésének kitöltési tényezőjével.

Előzmény: [705] izsák, 2013-09-25 08:05:38
[705] izsák2013-09-25 08:05:38

Egy gömböt kisebb egyforma gömbökkel kitöltve mekkora kitöltési tényezőre számíthatunk?

[704] Sinobi2013-09-21 18:43:58

Bizonyítsd be, hogy három körhöz 0,1,2,3,végtelen darab olyan egyenes létezhet, melyek átmennek minden körön, és melyekből a körök ugyanakkora szakaszokat vágnak le, ha 4 létezik, akkor a három kör ugyanakkora és egy egyenesbe esik!

Bizonyítsd be, hogy három ellipszishez létezhet 4 ilyen egyenes is!

Keresd meg három ellipszisre a korlátot, és lásd be! (ezt én nem tudom)

[703] w2013-08-18 10:20:01

Ja.

Előzmény: [702] Róbert Gida, 2013-08-17 23:09:48
[702] Róbert Gida2013-08-17 23:09:48

Legyen c=2013, ekkor, ha c az n pozitiv szám összege, akkor, a szorzatuk legfeljebb \bigg(\frac cn\bigg)^n (számtani-mértani), és ez el is érhető (ha a számok egyenlőek). De f(n)=\bigg(\frac cn\bigg)^n egy ideig monton nő majd csökken, ugyanis monoton nő, amíg: \bigg(\frac cn\bigg)^n\le \bigg(\frac {c}{n+1}\bigg)^{n+1}, ezt rendezve: (n+1)*\bigg(1+\frac 1n\bigg)^n\le c, itt az n fv-ben a bal oldal monoton nő, mert mindkét tag monoton nő (és pozitív). Így amíg ez az egyenlőtlenség teljesül addig monoton nő az f(n), majd monoton csökken. A maximumot pedig azon n-re veszi fel, amelyre n*exp(1)\approxc, azaz amelyre \frac cn\approx exp(1)

Előzmény: [701] w, 2013-08-17 21:25:24
[701] w2013-08-17 21:25:24

Ez hogyan jött ki? Miért van a hatványalap olyan közel e-hez?

Előzmény: [700] Róbert Gida, 2013-08-17 19:58:26
[700] Róbert Gida2013-08-17 19:58:26

\bigg(\frac{671}{247}\bigg)^{741}

Előzmény: [699] w, 2013-08-17 18:12:51
[699] w2013-08-17 18:12:51

Néhány pozitív valós szám összege 2013. Legfeljebb mennyi lehet a szorzatuk?

[698] w2013-07-27 20:13:42

Két amerikai feladat:

1. Legyen P(n) egész együtthatós polinom. Tudjuk, hogy a tér minden rácspontjához hozzárendelhető egy-egy egész szám úgy, hogy tetszőleges pozitív egész n esetén bármelyik térbeli n×n×n-es pontrácshoz rendelt számok összege P(n) többszöröse. Határozzuk meg az összes lehetséges P(n) polinomot.

2. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c pozitív egészekre:

\prod_{cyc}\left(\frac{(2P+\frac{1}{2a+b})(2P+\frac{1}{a+2b})}{(2P+\frac{1}{a+b+c})^2}\right)\ge\prod_{cyc}\left(\frac{(P+\frac{1}{4a+b+c})(P+\frac{1}{3b+3c})}{(P+\frac{1}{3a+2b+c})(P+\frac{1}{3a+b+2c})}\right),

ahol P=\root{2013}\of{\frac{3}{a^{2013}+b^{2013}+c^{2013}}}.

Aki tud, írjon megoldási ötletet/megoldást. Nem oldottam még meg a két feladatot, így megoldás létezését nem garantálhatom :-)

[697] marcius82013-05-06 15:32:01

Bizonyára mindenki ismeri a következő egyenlőtlenséget, ahol "a", "b", "c" az "ABC" háromszög oldalait jelentikés "A", "B", "C" a háromszög radiánban mért szögei a szokásos módon betűzve:

pi/3<=(a*A+b*B+c*C)/(a+b+c)<pi/2

Ezen minta alapján próbáljunk becslést adni a következő mennyiségre, ahol f(x,y,z) egy R3-->R függvény és G(X,Y,Z) egy R3-->R függvény:

p=(f(a,b,c)*G(A,B,C)+f(b,c,a)*G(B,C,A)+f(c,a,b)*G(C,A,B))/(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b))

Pl. ha f(x,y,z)=x*x és G(X,Y,Z)=X, akkor hegyesszögű háromszögek esetén pi/3<=p<pi/2 teljesül.

Nyilván tetszőleges f(x,y,z) és G(X,Y,Z) függvények esetén nem biztos, hogy sikerül "p" értékét két érték közbeszorítani, de keressünk olyan f(x,y,z) és G(X,Y,Z) függvényeket, amelyek esetén "p" értékét sikerül két érték közé szorítani. Még egy kis ráadás: Nem csak euklideszi geometriában (elliptikus, hiperbolikus) is lehet vizsgálódni.

Nekem van valamennyi eredményem euklideszi geometriában és nem euklideszi geometriában is, ha valaki valamilyen észrevételt tud tenni, azt előre is megköszönöm: Bertalan Zoltán.

[696] Lóczi Lajos2013-04-30 02:33:57

Elfelejtettem nevén nevezni az itt fellépő polinomot: \frac{T_{11}(x)}{x}, ahol Tn szokás szerint az n-edik elsőfajú Csebisev-polinomot jelöli.

Előzmény: [681] Lóczi Lajos, 2013-04-12 22:29:03
[695] w2013-04-29 22:24:09

Ez bennem is felvetődött. Népszerűsítő célból átírom a feladatot:

Oldjuk meg az

b2+c2=x2, c2+a2=y2, a2+b2=z2

diofantoszi egyenletrendszert.

Előzmény: [694] marcius8, 2013-04-23 14:51:57

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]