Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Nehezebb matematikai problémák

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[730] Sinobi2013-10-20 01:12:11

Mit tanultatok már határértékből? Szerintem valami ilyesmi kell legyen:

 \lim_{n\to\infty} \bigg( \frac{9n-2}{9n+5} \bigg) ^{2n-4}

kicsit alakítjuk a limesz mögött álló formulát:

  \bigg( \frac{9n-2}{9n+5} \bigg) =  \bigg( \frac{9n+5}{9n+5} - \frac{7}{9n+5} \bigg) =  \bigg( 1 - \frac{7}{9n+5} \bigg) =  \bigg( 1 - \frac{7 \cdot 2 / 9}{2n+5 \cdot 2/9} \bigg)

bevezetjük az m:=2n+10/9 \frac{}{} változót. Ekkor a képletünk:

 \lim_{m\to\infty} \bigg( 1 + \frac{-14/9}{m} \bigg) ^{m-46/9}

amit szétbontva két limesz szorzatára (majd megnézzük, hogy léteznek):

 \lim_{m\to\infty} \bigg( 1 + \frac{-14/9}{m} \bigg) ^{m-46/9} = \lim_{m\to\infty} \bigg( 1 + \frac{-14/9}{m} \bigg) ^{m} \cdot \lim_{m\to\infty} \bigg( 1 + \frac{-14/9}{m} \bigg) ^{-46/9}

A szorzat jobb oldala 1-hez tart, a bal oldala e^-14/9-hez, tehát az eredeti is e^-14/9-hez, ami tényleg kb 0.2110.

Előzmény: [729] wartburg, 2013-10-19 23:16:25
[729] wartburg2013-10-19 23:16:25

Kedves Topictársak, sehogy sem boldogulok az alábbi határérték feladattal: keressük az alábbi sorozat határértékét: [(9*n-2)/(9*n+5)]#(2*n-4) (a # jel hatvány jelet takarna, tehát a (2*n-4) a tört kitevője) Nem bírom a hatványt "levarázsolni" a kifejezésből, s a tört számlálóját és nevezőjét is leosztva n-nel én egyet kapnék határértéknek, ami viszont bármilyen kitevővel egy lenne. Ugyanakkor persze az Excel függvény ábrázolás szerint 0,22XXXX lenne valahol a határérték, de nekem nem jön ki ez "tudományosan". Előre is köszönöm a segítséget!

[728] nadorp2013-10-09 15:56:10

Arra gondoltam, hogy legyen "valódi" lineáris függvény:-)

Előzmény: [727] Lóczi Lajos, 2013-10-09 14:27:42
[727] Lóczi Lajos2013-10-09 14:27:42

Érdekes, hogy így megbonyolítottad, és nem szimplán azt írtad, hogy f(x):=0, ha x racionális.

Előzmény: [726] nadorp, 2013-10-09 12:42:30
[726] nadorp2013-10-09 12:42:30

Ettől persze az állítás nem igaz. Legyen f(x) a következő

f(x)=\left\{\matrix{x \cr 1}\right.\matrix{ha& x\in Q \cr ha& x \notin Q}

Ekkor f(x) a racionális számok között additív, viszont tetszőleges r irracionális számra

f(r+1)=1\neq2=f(r)+f(1)

Előzmény: [725] nadorp, 2013-10-09 09:26:56
[725] nadorp2013-10-09 09:26:56

A hivatkozott link azt bizonyítja szerintem, hogy létezik az egyenletnek nemlineáris megoldása.

Előzmény: [723] w, 2013-10-08 14:56:22
[724] Ménkűnagy Bundáskutya2013-10-09 08:45:17

2. (valós) Legyen A azon valós számok halmaza, melyeknek tizedestört alakja

*,*11...110s0a10a20a30a4...,

vagyis valahonnan kezdve minden második jegy 0, előtte pedig néhány (esetleg 0 darab) 1-es áll (ez üres feltétel, csak így világosabb lesz). A függvény legyen A-n kívül 0, egy A-beli elemre pedig vegyük az első olyan pontot, ahonnan ez fennáll: x=*,*0s0a10a2..., és s előtt három jeggyel nem 0 áll. A 0s előtt közvetlenül álló egyesek száma legyen N. Ekkor legyen f(x)=(-1)s.N,a1a2a3....

Legyen [a,b] tetszőleges nemelfajuló intervallum, y pedig tetszőleges valós szám. Kezdjünk felírni egy valós számot. Az első sok jegyét állítsuk be úgy, hogy azok garantálják, hogy [a,b]-be esik. Ezután tegyünk le száz darab 2-est, majd |y| egész része darab 1-est, ezután lőjük be az előjelet, majd írjuk be y tizedesjegyeit 0-kal összefésülve. Az így kapott szám f-értéke y.

(komplex) Legyen f egy jó valós-valós függvény. Legyen hozzá F:C\rightarrowC a következő: F(x+iy)=f(x)+if(y). Tetszőleges kicsi négyzetben, körben stb van tengelypárhuzamos téglalap, és ha F(x+iy)=u+iv a cél, akkor legyen x a téglalap valós vetületéből olyan, hogy f(x)=u, y pedig a képzetes vetületből olyan, hogy f(y)=v. Ekkor F(x+iy)=f(x)+if(y)=u+iv.

Előzmény: [722] marcius8, 2013-10-08 12:41:31
[723] w2013-10-08 14:56:22

1. A válasz: nem igaz. Lásd itt.

Előzmény: [722] marcius8, 2013-10-08 12:41:31
[722] marcius82013-10-08 12:41:31

Ha valaki tud, segítsen:

1. Egy f(x) függvény additív, ha minden "p" és "q" számra teljesül, hogy f(p+q)=f(p)+f(q). Igaz-e hogy ha egy függvény a racionális számok halmazán additív, akkor ez a függvény a valós számok halmazán is additív?

2. Keressünk olyan R-->R függvényt, amely minden intervallumon minden valós számot felvesz. Illetve keressünk olyan C-->C függvényt, amely minden "négyzet alakú tartományon" (vagy "minden kör alakú tartományon") minden komplex számot felvesz.

Mindenkinek köszönöm a segítségét. Bertalan Zoltán.

[721] Zilberbach2013-10-08 00:42:47

Pontosítok: 2 és 3 között is van egy hirtelen (föl)ugrás a függvény értékében, 3 és 4 között pedig több mint egy hirtelen (föl)ugrás.

Előzmény: [720] Zilberbach, 2013-10-07 20:38:32
[720] Zilberbach2013-10-07 20:38:32

A függvényről még annyit, hogy a továbbiakban egyre kisebb és egyre gyakoribb "ugrálással" emelkedve, aszimptotikusan közelíti a 74 százalék kitöltési tényezőt.

Előzmény: [718] Zilberbach, 2013-10-03 13:32:27
[719] izsák2013-10-07 09:46:14

Érdekes, hogy két "amatőr" beszélget szimpla matek problémáról, a matematikusok hallgatnak, vagy (ha az eddig válaszolók azok,) akkor hamis válaszokat adnak. Senki nem tudja a választ?

Előzmény: [718] Zilberbach, 2013-10-03 13:32:27
[718] Zilberbach2013-10-03 13:32:27

Igen, a maximuma x=1 -nél van, akkor a kitöltési tényező = 100

X=1 -től x=1,999... -ig monoton csökken.

x=2 -nél a kitöltési tényező értéke hirtelen fölugrik, majd ismét monoton csökken egészen 3 -ig, ahol megint hirtelen megnő, majd ismét monoton csökken 4 -ig.

A függvény azután is ugrál: egy ideig monoton csökken, azután hirtelen megugrik, majd megint monoton csökken, de már nem csak egész számonként, hanem egyre gyakrabban.

Előzmény: [717] izsák, 2013-10-03 08:32:28
[717] izsák2013-10-03 08:32:28

Igaz! Ott minimuma van a függvénynek. A maximuma milyen x értéknél lehet? X=1 ? A kettő között és x>2 esetén hogyan alakulhat? Milyen lehet a függvény alakja?

Előzmény: [716] Zilberbach, 2013-10-02 20:24:42
[716] Zilberbach2013-10-02 20:24:42

Hátha mégis érdekel valakit a válasz (habár így már nyilvánvaló, hogy ez nem nehéz matematikai probléma):

x = 1,9999... értéknél kapjuk a legalacsonyabb kitöltési tényezőt.

Előzmény: [715] Zilberbach, 2013-10-02 11:32:06
[715] Zilberbach2013-10-02 11:32:06

Ehhez kapcsolódva lenne nekem is egy kérdésem.

Ha a kitöltendő nagy gömb sugara = r, és a kitöltéshez használt kisebb gömbök sugara = r/x, akkor milyen x értéknél kapjuk a legalacsonyabb kitöltési tényezőt?

Előzmény: [705] izsák, 2013-09-25 08:05:38
[714] Erben Péter2013-10-01 11:55:11

Itt van egy elég alapos történeti áttekintés: http://bib.irb.hr/datoteka/402976.main1.pdf

Ha jól értem, az 1828-as Möbius cikk olyan - elég magas fokszámú - polinomot ad meg, amely kapcsolatot termet az oldalak hossza, a köréírt kör sugara, és a sokszög területe között. (Általában n-oldalú húrsokszögekkel foglalkozott.)

A Robbins-cikket még nem találtam meg, így azt nem tudtam megnézni, hogy adott-e explicit formulát n=5 esetén.

Előzmény: [713] marcius8, 2013-10-01 10:49:59
[713] marcius82013-10-01 10:49:59

Köszönöm, hogy foglalkoztál az általam felvetett kérdéssel. Az az igazság, hogy akármit is csináltam, mindig az lett a vége, hogy egy ötödfokú egyenletet kell megoldani. Valószínűleg az általad felírt egyenlet is ötödfokúra vezethető vissza. Tisztelettel: Bertalan Zoltán

Előzmény: [712] w, 2013-09-30 20:11:49
[712] w2013-09-30 20:11:49

Leírom, hogy szerintem meddig jutottál. :-) Ha egy oldal az r sugarú kör középpontjából \alpha szögben látszódik, akkor hossza r\frac{\sin\alpha}{\sin\frac{\pi-\alpha}2}=r\frac{2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}{\cos\frac\alpha2}=2r\sin\frac\alpha2 lesz a szinusz-tétel szerint, vagyis arra van szükség, hogy az a, b, c, d, e oldalakhoz r olyan legyen, hogy

\sin^{-1}(\frac a{2r})+\sin^{-1}(\frac b{2r})+\sin^{-1}(\frac c{2r})+\sin^{-1}(\frac d{2r})+\sin^{-1}(\frac e{2r})=\pi fennálljon.

Ez csúnya trigonometriai egyenlet, majd ezt valamelyik algebrista részletezi.

Előzmény: [710] marcius8, 2013-09-30 14:11:41
[711] marcius82013-09-30 14:22:12

Ha valaki tud, akkor segítsen a következő feladat megoldásában: Tegyük fel, hogy Európában az UEFA-nak 54 tagállama van (ez majdnem igaz is). Az UEFA a tagállamokat az esedékes labdarugó európa-bajnokság miatt 9 darab selejtező csoportba sorolja, mindegyik csoportban 6 tagállam szerepel. (A csoportokon belül minden tagállam válogatottja játszik minden tagállam válogatottjával otthon is és idegenben is, és csoportokon belül elért eredmények alapján vehetnek részt vagy nem vehetnek részt az európa-bajnokságon.) A következő esedékes labdarugó európa-bajnokság miatt az UEFA a tagállamokat újra 9 darab selejtező csoportba sorolja, mindegyik csoportban továbbra is 6 tagállam szerepel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy nincs két olyan tagállam, amely mind a két selejtezősorozatban egymás ellen játszik?

[710] marcius82013-09-30 14:11:41

Ha valaki tud, akkor segítsen a következő feladat megoldásában: Ismertek egy húrötszög oldalai, mekkora a húrötszög köré írható kör sugara? Előre is köszönöm bárkinek is a segítségét!

[709] marcius82013-09-30 14:09:18

Ha valaki tud, segítsen a következő feladatot megoldani: Egy nxnxnx kockarács (a rácspontok egymástól egység távol vannak) bal-felső-első csúcsából jobb-alsó-hátsó csúcsába akar egy pók eljutni. A póknak célirányosan kell közlekednie, továbbá egy csúcsból a másik csúcsba akkor jut el, ha a két csúcs távolsága 2-nél kisebb (azaz ha a két csúcs távolsága 1, vagy gyök(2), vagy gyök(3)). Hányféleképpen tud a pók eljutni a kockarács bal-felső-első csúcsából jobb-alsó-hátsó csúcsába? Mi a válasz akkor, ha a pók egymás után maximum 2-szer léphet ugyanabba az irányba?

[708] jonas2013-09-26 10:58:02

74 százalék.

Előzmény: [707] izsák, 2013-09-26 10:00:05
[707] izsák2013-09-26 10:00:05

Az pontosan mennyi százalék?

Előzmény: [706] HoA, 2013-09-25 13:27:38
[706] HoA2013-09-25 13:27:38

Ha tetszőlegesen kis gömböket megengedünk, szerintem a válasz megegyezik az egész tér egyforma gömbökkel történő legjobb kitöltésének kitöltési tényezőjével.

Előzmény: [705] izsák, 2013-09-25 08:05:38

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]