Fórum: Nehezebb matematikai problémák

Jó, nem bizonyítás...:-)) Hanem csak egy gondolatmenet, amely arra utal, hogy nincsenek 2-vel és 3-mal osztható elemszámú véges struktúrák.

A gondolatmenet arra épül, hogy ha ez a struktúra egy Abel-csoportból képződik

ac=bac=b²

definícióval, akkor a csoport rendje, amelyből létrejön, nem lehet 2-vel vagy 3-mal osztható. Csakhogy - amint az Általatok bemutatott példák illusztrálják - nem csak csoportból jöhet létre ilyen struktúra. A +_n-es "visszacsinálási" módszer sem megy minden ilyen táblára, a +_n ugyanis nem lesz feltétlenül asszociatív.

Ettől függetlenül lehetséges, hogy a 2-vel vagy 3-mal oszthatóság tilalma öröklődik ezekre a táblákra, de ezt még nem tudom.

Károly

Nincs páros elemszámú és nincs olyan sem, amelynek elemszáma 3-mal osztható. A bizonyítás megvan, ha kéritek, majd fölteszem.

Károly

Köszi. Úgy néz ki, hibás volt a kódom. Elvileg az enyém is megtalálta volna az összes lehetőséget. :) Most bizonyítsuk be vagy cáfoljuk meg, h nincs páros elemszámú!

Írtam egyet én is: forrás

Ez 5-ösből (és valószínűleg 7-esből is, azt nem számoltam meg :D) többet talál: lista

Bocs, közben rájöttem, hogy hogy kell nézni... A fejléc mindenütt 0, 1, ... n - 1. Látom a táblákról, hogy idempotensek, kommutatívak, regulárisak. A hurokmentességet kapásból nem látom, de biztos úgy van. Akkor ezek ellenpéldák, és köszönöm.

Károly

Milyen szabályokkal hoztad létre ezeket a struktúrákat? Ha jól olvasom őket (nem biztos, hogy jól olvasom, mert fej- és oldalléceket nem látok), ezek a struktúrák nem idempotensek.

Károly

P.S.: Használsz valamilyen matematikai programot, vagy ez egy SQL-eredmény?

Nekem most úgy tűnik, hogy nem igaz (az asszociativitás hiányából nem következik, hogy ez van helyette).

Itt van 8-ig az összes véges struktúra, hételemű a legelső, amire nem teljesül az állítás. Kérlek, ellenőrizz le egy ellenpéldát, hogy biztosan nem értettem-e félre valamit.

De vajon az igaz, hogy csak páratlan elemszámú ilyen struktúra létezik a végesek között?

Bocs mindenkitől: (ab)(bc)=b(ac). Ez a kérdés.

Károly

már csak az átlagolóssal is a=c=1, b=3 nekem ellenpéldának tűnik. javíts ki, ha tévedek!

Kösz! Persze! "Elszámoltam" magam. Rossz szelektet írtam (ezeket a táblákat SQL-ben nézegetem).

Vagyis a +_n visszaadja az 5-elemű ciklikus csoportot, melynek egységeleme n.

Ez már olyan, mintha lenne egy tételünk...:-))

Szerinted az axiómákból le lehet-e vezetni, hogy (ab)(ac)=b(ac) vagy esetleg van ellenpélda?

(Vagy, ami ezzel szorosan összefügg: be lehet-e bizonyítani, hogy az ab létezik definícióval adott reláció ekvivalenciareláció?)

Még egyszer nagyon köszönöm, hogy kijavítottál.

Üdv

Károly

Szervusz!

Szerintem elszámoltál (illetve "-betűztél" :)) valamit. Az a+_nb=c  a*b=c*n definícióból következik, hogy a+_nz_n=a  a*z_n=a*n (ahol z_n az egység). Ebből már következik, hogy z_n=n, feltéve, hogy az f_a(b)=a*b függvény injektív.

Neeem!

Nagyon örülök, hogy rögtön vágtad.

Mutatok egy nemtriviális véges példát:

(Húú - régen TeX-eltem...!! :-)

Ez a tábla természetesen a mod 5 additív csoportból készült - úgy, ahogy mondtad - átlagokkal.

Namost. Vissza lehet-e kapni ebből az algebrai struktúrából az 5-elemű ciklikus csoportot?

A gondolatmenet a következő: Vezessük be erre a szorzótáblára építve az a+_nb műveletet, melynek eredménye c, ha ab=cn (a szorzatokat itt az én táblámban kell leolvasni). Az n természetesen a struktúra egyik rögzített eleme.

Az eljárás szépen vissza is adja az 5-elemű ciklikus csoportot. Eddig csupa derű. Csakhogy: melyik elem lesz az így visszakapott ciklikus csoport egységeleme?

Ha erre a kérdésre az átlaggal kívánsz választ adni, a következőt mondod: Most

tehát

Az így kapott művelet

asszociatív, mert (a+_nb)+_nc=a+b+c-2n

egységelemes, egységelem az n, mert a+_nn=a+n-n=a

invertálható, a inverze 2n-a

és kommutatív (ami triviális), tehát tényleg Ábel-csoport.

És - figyelem - egységeleme az n.

Na ezzel szemben ennek a táblának a származtatott +_n-je így viselkedik:

Vagyis az egységelem nem n, hanem az nx=a egyenlet megoldása (úgy is írhatnám ez esetben, hogy an^-1.

Honnan van a-nak ez a kitüntetett szerepe? Úgy érzem, a táblázat teljesen szimmetrikus az öt betűre nézve. Vagy elszámoltam valamit?

Köszönöm

Károly

> Nem úgy értettem, hogy mondjatok példát.

Sejtettem, hogy mégis rosszul értem; túl egyszerű volt. :)

Más: Ti hogy tanultátok a definíciót?

f felbonthatatlan, ha f = ab-ból az következik, hogy vagy f és a vagy f és b asszociáltak.

Avagy

f felbonthatatlan, ha f = ab-ből az következik, hogy vagy a vagy b egység.

Köszönöm

Károly

Abbahagyva a hülyéskedést, én eddig a következőket látom:

(1) Ha a struktúra véges, akkor (1.a) A 2. axióma sima kommutativitásba megy át. (1.b) A 4. axióma tétel.

(2) Az 5. axióma független, mert van nemtriviális példa 1-4-re, úgy, hogy 5. nem teljesül.

Kösz

Károly

Nem úgy értettem, hogy mondjatok példát. (A példa egyébként jó.:-) Hanem úgy, hogy valaki azt mondja, hogy igen, van ilyen algebrai struktúra, korbácsnak hívják, és Vittorio d'Assistenza olasz matematikus publikált tételeket a Zeitschrift der angewandten Nabelschau-ban.

Károly

Szervusz!

Pl.: az elemek (mondjuk) számok, a művelet pedig az átlag.

(Remélem nem néztem el semmit. :))

Sziasztok!

Új vagyok, ha nem jó helyen járok, irányítsatok át!

Szükségem lenne egy algebrai struktúrára, a következő axiómákkal:

1. Idempotencia: aa = a 2. "Kommutativitás": ab =?= ba (Ezt a jelölést én találtam ki; olvasd: ab, ha létezik, egyenlő ba-val. Ez amolyan "kváziművelet", nem minden ab létezik, de ha létezik, akkor ba is létezik, és egyenlő ab-vel.) 3. Megoldhatók x-re az ax = b egyenletek. 4. Az ax = a egyenlet egyetlen megoldása: x = a. 5. Hurokmentesség: (ab = c és ac = b) => b = c (És ekkor már a = b = c.)

(Asszociativitás nincs!)

Ráismertek-e valami hasonlóra? Van-e neve? Vannak-e tételek?

Köszönöm

Károly

138. feladat: (Ha nem tévedek.)

Azt mondjuk, hogy a k számot öröklődő n alapú számrendszerben írjuk föl, ha a k számot a következőképpen fejezzük ki: Írjuk föl a k számot (a hagyományos módon) n alapú számrendszerben, majd az együtthatókat "fejtsük ki", tehát helyett írjunk a_i darab összeadandót: . Az így kapott kifejezésben minden kitevőt írjunk öröklődő n alapú számrendszerbe (tehát ismételjük meg az n alap minden kitevőjére az imént leírt eljárást; majd a kitevőkben szereplő számok kitevőire, és így tovább). Ezt az eljárást addig folytatjuk, amíg a kifejezésben csak a + jel, az n szám és a 0 szerepel (tehát az 1-et n⁰ -nak írhatjuk). Ez a rekurzív eljárás véges sok lépésben véget ér, és a k szám egyértelmű öröklődő n alapú számrendszerbeli alakját adja.

Definiáljuk a következő sorozatot: a₀:=k, ahol k természetes szám;

Minden i természetes számra:

Ha a_i-1 nem pozitív egész, a sorozatnak nincs több tagja.

Ha a_i-1 pozitív egész, akkor írjuk föl azt öröklődő i+1 alapú számrendszerben; az így kapott kifejezésben MINDEN (i+1) számot cseréljünk ki (i+2)-re, számítsuk ki az így keletkezett kifejezés értékét, és az ennél eggyel kisebb számérték legyen a_i.

Melyek azok a k természetes számok, melyekre a₀=k esetén az a_i sorozat véges?

Köszönöm a választ, megnézem.

A

http://mathworld.wolfram.com/CoinTossing.html

http://mathworld.wolfram.com/Run.html

http://mathworld.wolfram.com/Fibonaccin-StepNumber.html

oldalakon mindenféle szép rekurziókat meg generátorfüggvényeket fogsz találni olyan kérdésekről, hogy pl. "mennyi az esélye, hogy n dobásban nincs k egymásutáni írás", vagy hogy "mennyi az esélye, hogy egy n hosszú dobássorozatban előfordul egy legalább k hosszúságú fejsorozat".

Nagyon érdekelne az alábbi feladat megoldása:

Feldobunk n pénzérmét. Mennyi a valószínűsége, hogy lesz legalább k egyforma (fej vagy írás) egymás mellett?

Köszi a gyors választ és a cikket. "Tisztességes" primitív függvény létezésében én sem hittem, de gondoltam, hátha vannak itt is olyan speciális integrálási határok, ahol az érték meghatározható valamilyen módszerrel ( paraméteres integrál, komplex integrál stb,mint pld. esetén)

Homogenitásvizsgálatot alkalmaznak akkor, ha azt szeretnék eldönteni, hogy a két minta azonos eloszlásból származik-e, de maga az eloszlás ismeretlen.

Ha tudjuk, hogy normális eloszlásból származnak a minták és ezek egymástól függetlenek, kétmintás próba alkalmazható: ha a szórás nem ismert, de feltehető, hogy azonos, akkor használnak kétmintás t-próbát.

A mögöttes differenciálalgebrai háttérről egy cikk, tehát, hogy mikor létezik "elemi" primitív függvény.