[325] Károly | 2006-07-21 16:19:02 |
Hm... nadorp, első ránézésre úgy tűnik, igazad van. Meg a másodikra is.
Valami nem stimmel nekem. Én erre emlékszem: "To every polynomial f in R[X], one can associate a polynomial function with domain and range equal to R. One obtains the value of this function for a given argument r by everywhere replacing the symbol X in f's expression by r. The reason that algebraists have to distinguish between polynomials and polynomial functions is that over some rings R (for instance, over finite fields), two different polynomials may give rise to the same polynomial function. This is not the case over the real or complex numbers and therefore many analysts often don't separate the two concepts." (Forrás: Wikipedia "Polynomial" szócikk.)
Mit zagyválok össze?
Meg egyébként is: a "véges testekben minden függvény polinom" annyira alapvető állításnak tűnik, miért nem szaladtam bele eddig? Csak elbambultam?
Üdv
Károly
|
Előzmény: [324] nadorp, 2006-07-20 18:12:56 |
|
[324] nadorp | 2006-07-20 18:12:56 |
Kedves Károly !
Ott tévedsz el, hogy GF(4) felett 43=64 polinom van. Nem igaz, mert a polinomok legmagasabb kitevője 3 és nem 2 lehet. Az ellentmondásnak az az oka, hogy Te felteszed az x3=1 azonosságot, holott x=0 esetén nem igaz ( más szavakkal pld az x3+x+1 polinom nem egyenlő az 1+x+1=x+2 polinommal). A harmadfokú polinomok száma pedig 44=256, tehát nincs semmilyen ellentmondás.
|
Előzmény: [323] Károly, 2006-07-20 14:10:13 |
|
[323] Károly | 2006-07-20 14:10:13 |
Kedves nadorp!
Köszönöm a pontosítást. Ami a lényeg: pk elemű testben kevesebb polinom van, mint ahány függvény. Pl. GF(4)-ben 64 polinom van (itt eltévesztettem egy kitevőt, hiszen 2 a legmagasabb fokszám), ugyanakkor 256 függvény van, mert GF(4) 4-elemű halmaz. Ezért gondolom, hogy nem lehet minden függvény polinom.
Károly
|
Előzmény: [322] nadorp, 2006-07-20 09:28:14 |
|
[322] nadorp | 2006-07-20 09:28:14 |
A karakterisztika azt jelenti, hogy a test egy x elemére nx=0 teljesül és n a legkisebb ilyen tulajdonságú pozitív egész ( véges testben persze a karakterisztika prím), nem azt, hogy xp-1=1. Ha q=pk, akkor minden nem 0 elemre xq-1=1
http://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html
|
Előzmény: [321] Károly, 2006-07-19 17:58:17 |
|
[321] Károly | 2006-07-19 17:58:17 |
Bocs, lehet, hogy nem jól értek valamit: miért van az, hogy "véges test fölött minden függvény polinom"? Én úgy számolok, hogy ha egy véges test elemszáma pk, akkor a test fölött (pk)pk függvény van. De minden elem karakterisztikája p, ezért a legmagasabb fokszámú polinom p-1-edfokú. Ezekből pedig (pk)p db - azaz sokkal kevesebb - van.
Üdv
Károly
|
Előzmény: [120] jonas, 2005-01-13 17:21:23 |
|
[320] Károly | 2006-07-14 08:38:04 |
Köszönöm a bizonyítást!
Nevezzük az idempotens, kommutatív, reguláris és hurokmentes táblákat K-tábláknak, hogy tudjunk róluk beszélni! Az eddigiek szerint
1. Ha G olyan 1-nél több elemű Abel-csoport, hogy a2=b2a=b és a3=b3a=b, akkor a G-ből képzett művelet K-tábla. Az ilyen csoport neve legyen E-csoport!
2. Véges E-csoportok elemszáma nem lehet 2-vel illetve 3-mal osztható, mert ebben az esetben van bennük 2- ill. 3-elemű direkt osztó, amelyben a2=b2 ill. a3=b3 úgy, hogy ab. Azaz, ha a K-tábla ilyen csoportból keletkezik, akkor elemszáma nem lehet 2-vel vagy 3-mal osztható.
3. Ha a K-tábla E-csoportból keletkezik, a +n művelettel (a+nb=ca*b=c*n) visszakapjuk az E-csoport egy izomorf képét, a képben az egységelem az n.
4. Vannak nem E-csoportból származó K-táblák. Az ilyen (véges) K-táblák elemszáma továbbra sem lehet páros, 3-mal osztható viszont igen.
5. A (4) pontban említett K-táblák esetében a +n művelet nem asszociatív, és (a*b)*(b*c)=b*(a*c) sem teljesül.
Ezek igazak?
Üdv
Károly
|
Előzmény: [319] 2501, 2006-07-13 20:13:37 |
|
[319] 2501 | 2006-07-13 20:13:37 |
Tétel: nincs páros elemszámú ilyen struktúra.
Biz.: Próbáljuk megadni az a*b = c műveletet az Ma,b = c mátrix kitöltésével (ahogyan az [311]-ben és [314]-ben látható). A művelet idempotens (1), tehát az (a=b) átlót teljesen kitöltjük: M0,0 = 0, M1,1 = 1 stb. A művelet kommutatív (2), és megoldhatók az a*x = b egyenletek (3), tehát a mátrix az átlóra szimmetrikus, és minden sorban illetve oszlopban minden érték pontosan egyszer szerepel. Ezért az első (jobban mondva 0.) sor illetve oszlop elhagyásával kapott részmátrixban el kell még helyeznünk annyi 0-t, amennyi sora (illetve oszlopa) van, tehát páratlan számút. Ahhoz viszont, hogy a mátrix szimmetrikus legyen, páros számú 0-t kellene elhelyeznünk, mivel az átló már teljesen be van töltve. Ez ellentmondás, a mátrixot nem lehet kitölteni, tehát a művelet nem létezik páros elemszámú struktúrán.
|
Előzmény: [300] Károly, 2006-07-06 16:18:33 |
|
|
[317] Károly | 2006-07-12 21:08:21 |
Jó, nem bizonyítás...:-)) Hanem csak egy gondolatmenet, amely arra utal, hogy nincsenek 2-vel és 3-mal osztható elemszámú véges struktúrák.
A gondolatmenet arra épül, hogy ha ez a struktúra egy Abel-csoportból képződik
ac=bac=b2
definícióval, akkor a csoport rendje, amelyből létrejön, nem lehet 2-vel vagy 3-mal osztható. Csakhogy - amint az Általatok bemutatott példák illusztrálják - nem csak csoportból jöhet létre ilyen struktúra. A +n-es "visszacsinálási" módszer sem megy minden ilyen táblára, a +n ugyanis nem lesz feltétlenül asszociatív.
Ettől függetlenül lehetséges, hogy a 2-vel vagy 3-mal oszthatóság tilalma öröklődik ezekre a táblákra, de ezt még nem tudom.
Károly
|
Előzmény: [316] Károly, 2006-07-11 21:38:19 |
|
|
[315] lgdt | 2006-07-11 21:26:05 |
Köszi. Úgy néz ki, hibás volt a kódom. Elvileg az enyém is megtalálta volna az összes lehetőséget. :) Most bizonyítsuk be vagy cáfoljuk meg, h nincs páros elemszámú!
|
|
|
[313] Károly | 2006-07-11 17:42:40 |
Bocs, közben rájöttem, hogy hogy kell nézni... A fejléc mindenütt 0, 1, ... n - 1. Látom a táblákról, hogy idempotensek, kommutatívak, regulárisak. A hurokmentességet kapásból nem látom, de biztos úgy van. Akkor ezek ellenpéldák, és köszönöm.
Károly
|
Előzmény: [311] lgdt, 2006-07-11 16:45:41 |
|
[312] Károly | 2006-07-11 17:19:44 |
Milyen szabályokkal hoztad létre ezeket a struktúrákat? Ha jól olvasom őket (nem biztos, hogy jól olvasom, mert fej- és oldalléceket nem látok), ezek a struktúrák nem idempotensek.
Károly
P.S.: Használsz valamilyen matematikai programot, vagy ez egy SQL-eredmény?
|
Előzmény: [311] lgdt, 2006-07-11 16:45:41 |
|
[311] lgdt | 2006-07-11 16:45:41 |
Nekem most úgy tűnik, hogy nem igaz (az asszociativitás hiányából nem következik, hogy ez van helyette).
Itt van 8-ig az összes véges struktúra, hételemű a legelső, amire nem teljesül az állítás. Kérlek, ellenőrizz le egy ellenpéldát, hogy biztosan nem értettem-e félre valamit.
De vajon az igaz, hogy csak páratlan elemszámú ilyen struktúra létezik a végesek között?
|
Előzmény: [310] Károly, 2006-07-10 21:05:50 |
|
|
|
[308] Károly | 2006-07-09 17:17:55 |
Kösz! Persze! "Elszámoltam" magam. Rossz szelektet írtam (ezeket a táblákat SQL-ben nézegetem).
Vagyis a +n visszaadja az 5-elemű ciklikus csoportot, melynek egységeleme n.
Ez már olyan, mintha lenne egy tételünk...:-))
Szerinted az axiómákból le lehet-e vezetni, hogy (ab)(ac)=b(ac) vagy esetleg van ellenpélda?
(Vagy, ami ezzel szorosan összefügg: be lehet-e bizonyítani, hogy az ab létezik definícióval adott reláció ekvivalenciareláció?)
Még egyszer nagyon köszönöm, hogy kijavítottál.
Üdv
Károly
|
Előzmény: [307] 2501, 2006-07-09 16:01:49 |
|
[307] 2501 | 2006-07-09 16:01:49 |
Szervusz!
Szerintem elszámoltál (illetve "-betűztél" :)) valamit. Az a+nb=c a*b=c*n definícióból következik, hogy a+nzn=a a*zn=a*n (ahol zn az egység). Ebből már következik, hogy zn=n, feltéve, hogy az fa(b)=a*b függvény injektív.
|
Előzmény: [306] Károly, 2006-07-07 19:28:39 |
|
[306] Károly | 2006-07-07 19:28:39 |
Neeem!
Nagyon örülök, hogy rögtön vágtad.
Mutatok egy nemtriviális véges példát:
|
a |
b |
c |
d |
e |
a |
a |
d |
b |
e |
c |
b |
d |
b |
e |
c |
a |
c |
b |
e |
c |
a |
d |
d |
e |
c |
a |
d |
b |
e |
c |
a |
d |
b |
e |
|
(Húú - régen TeX-eltem...!! :-)
Ez a tábla természetesen a mod 5 additív csoportból készült - úgy, ahogy mondtad - átlagokkal.
Namost. Vissza lehet-e kapni ebből az algebrai struktúrából az 5-elemű ciklikus csoportot?
A gondolatmenet a következő: Vezessük be erre a szorzótáblára építve az a+nb műveletet, melynek eredménye c, ha ab=cn (a szorzatokat itt az én táblámban kell leolvasni). Az n természetesen a struktúra egyik rögzített eleme.
Az eljárás szépen vissza is adja az 5-elemű ciklikus csoportot. Eddig csupa derű. Csakhogy: melyik elem lesz az így visszakapott ciklikus csoport egységeleme?
Ha erre a kérdésre az átlaggal kívánsz választ adni, a következőt mondod: Most
tehát
Az így kapott művelet
asszociatív, mert (a+nb)+nc=a+b+c-2n
egységelemes, egységelem az n, mert a+nn=a+n-n=a
invertálható, a inverze 2n-a
és kommutatív (ami triviális), tehát tényleg Ábel-csoport.
És - figyelem - egységeleme az n.
Na ezzel szemben ennek a táblának a származtatott +n-je így viselkedik:
Ha n = |
a |
b |
c |
d |
e |
akkor az egységelem |
a |
e |
d |
c |
b |
|
Vagyis az egységelem nem n, hanem az nx=a egyenlet megoldása (úgy is írhatnám ez esetben, hogy an-1.
Honnan van a-nak ez a kitüntetett szerepe? Úgy érzem, a táblázat teljesen szimmetrikus az öt betűre nézve. Vagy elszámoltam valamit?
Köszönöm
Károly
|
Előzmény: [305] 2501, 2006-07-07 10:24:38 |
|
|
[304] Károly | 2006-07-07 09:21:00 |
Más: Ti hogy tanultátok a definíciót?
f felbonthatatlan, ha f = ab-ból az következik, hogy vagy f és a vagy f és b asszociáltak.
Avagy
f felbonthatatlan, ha f = ab-ből az következik, hogy vagy a vagy b egység.
Köszönöm
Károly
|
|
[303] Károly | 2006-07-07 09:19:22 |
Abbahagyva a hülyéskedést, én eddig a következőket látom:
(1) Ha a struktúra véges, akkor (1.a) A 2. axióma sima kommutativitásba megy át. (1.b) A 4. axióma tétel.
(2) Az 5. axióma független, mert van nemtriviális példa 1-4-re, úgy, hogy 5. nem teljesül.
Kösz
Károly
|
Előzmény: [300] Károly, 2006-07-06 16:18:33 |
|
[302] Károly | 2006-07-07 09:02:34 |
Nem úgy értettem, hogy mondjatok példát. (A példa egyébként jó.:-) Hanem úgy, hogy valaki azt mondja, hogy igen, van ilyen algebrai struktúra, korbácsnak hívják, és Vittorio d'Assistenza olasz matematikus publikált tételeket a Zeitschrift der angewandten Nabelschau-ban.
Károly
|
Előzmény: [301] 2501, 2006-07-06 23:26:24 |
|
|