Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Héttusa feladatok

  [1]    [2]    [3]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[60] nadorp2024-07-19 21:43:06

Az állításban természetesen legalább helyett biztosan legfeljebb áll.

Előzmény: [59] nadorp, 2024-07-19 21:12:31
[59] nadorp2024-07-19 21:12:31

7. kérdés

Állítás: n db bankkártya esetén, melyeken valamilyen sorrendben rendre 1,2,3,...,n ezer dollár van, legalább \(\displaystyle 1000\left[\frac{(n+1)^2}4\right]\)  ([...] = egész rész) dollár vehető fel.

Tegyük fel, hogy az i-dik lépésben betett kártyán \(\displaystyle d_i\) dollár van és \(\displaystyle x_i\) (\(\displaystyle x_1\geq0\) egész) dollárt akarunk felvenni. Ekkor összesen

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\) összeget tudunk kivenni, ahol \(\displaystyle \lambda_i=\left\{\matrix{ 1\ ha\ x_i<=d_i\\0 \ ha\ x_i>d_i}\right.\)

Ha P jelöli az 1000,2000,..,1000n számok összes permutációjának halmazát, akkor egy adott \(\displaystyle \{x_i\}\) pénzfelvétel sorozat esetén legalább

\(\displaystyle m(x_1,...,x_n)=\min_{(d_1,d_2,...,d_n)\in P}\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\) összeg vehető fel. Ennek az \(\displaystyle m(x_1,...,x_n)\) függvénynek keressük a maximumát.

Először is nyilván a maximum olyan \(\displaystyle \underline x=(x_1,...,x_n)\) esetén érhető el, ahol \(\displaystyle x_i\leq1000n\) minden i-re, hiszen ha valamelyik \(\displaystyle x_i>1000n\), akkor ezt 1000n-nel helyettesítve olyan \(\displaystyle \underline x'\) pénzfelvétel sorozatot kapunk, melyre az \(\displaystyle m(\underline x')\) előállításban szereplő mindegyik összeg legalább akkora, mint a neki megfelelő \(\displaystyle m(\underline x)\)-ben szereplő összeg.

Másrészt ha valamelyik \(\displaystyle x_i\leq1000n\) nem 1000k alakú, akkor ezt a hozzá legközelebb álló, nála nagyobb 1000-rel osztható számmal helyettesítve olyan \(\displaystyle \underline x'\) pénzfelvétel sorozatot kapunk, melyre az \(\displaystyle m(\underline x')\) előállításban szereplő mindegyik összeg legalább akkora, mint a neki megfelelő \(\displaystyle m(\underline x)\)-ben szereplő összeg.

A fentiekből következik, hogy maximum akkor lehet, ha \(\displaystyle x_i=1000k\) (\(\displaystyle 0\leq k \leq n\)). Az ilyen \(\displaystyle \underline x\) pénzfelvételt ezentúl nevezzük jónak.

Tekintsük most egy jó \(\displaystyle \underline x\) pénzfelvételhez tartozó összes lehetséges összeg \(\displaystyle A(\underline x)\) átlagát. Azaz

\(\displaystyle A(\underline x)=\frac1{n!}\sum_{(d_1,d_2,...,d_n)\in P}\sum_{i=1}^n \lambda_ix_i\)

Adott jó pénzfelvétel esetén adott i-re \(\displaystyle \lambda_i\) értéke akkor 1, ha \(\displaystyle d_i\in\{x_i,x_i+1000,...,1000n\}\). Ez \(\displaystyle \left(n-\frac{x_i}{1000}+1\right)\) eset és mindegyik eset (n-1)!-féleképpen állhat elő, ezért

\(\displaystyle A(x)=\frac1{n!}\sum_{i=1}^n(n-\frac{x_i}{1000}+1)(n-1)!x_i=\frac{1000}{n}\left((n+1)\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1000}-\sum_{i=1}^n{\left(\frac{x_i}{1000}\right)^2}\right)\).

Felhasználva a számtani és négyzetes közép közötti összefüggést

\(\displaystyle A(\underline x)\leq\frac{1000}{n}\left((n+1)\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1000}-\frac{\left({\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1000}}\right)^2}{n}\right)=\frac{1000}{n^2}\left(n(n+1)\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1000}-\left(\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{1000}^2\right)\right)\)

Mivel tetszőleges a>0 számra az f(t)=t(a-t) függvényre \(\displaystyle f(t)\leq\frac{a^2}4\), ezért

\(\displaystyle A(\underline x)\leq\frac{1000}{n^2}\frac{n^2(n+1)^2}4=1000\frac{(n+1)^2}4\).

Mivel számok minimuma legfeljebb az átlaguk, ezért az összes jó pénzfelvételre teljesül:

\(\displaystyle m(\underline x)\leq A(\underline x)\leq 1000\frac{(n+1)^2}4\)

Ha most n páratlan, akkor \(\displaystyle \frac{n+1}2\) egész szám és könnyen látható, hogy az

\(\displaystyle \underline x=\left(1000\frac{n+1}2,...,1000\frac{n+1}2\right)\) pénzfelvétel esetén a felvett összeg éppen \(\displaystyle 1000\frac{(n+1)^2}4\), hiszen a fenti egyenlőtlenségek egyenlőséggel teljesülnek. Ezért ebben az esetben igaz az állítás.

Ha n páros, azaz n=2k, akkor a fentiek szerint minden jó pénzfelvételre

\(\displaystyle m(\underline x)\leq1000\frac{(2k+1)^2}4=1000k(k+1)+250\)

De jó pénzfelvétel esetén a kivett összeg osztható 1000-rel, ezért

\(\displaystyle m(\underline x)\leq1000k(k+1)\)

A fenti felső korlát viszont elérhető \(\displaystyle \underline x=(1000k,...,1000k)\) és \(\displaystyle \underline x=(1000(k+1),...,1000(k+1))\) esetén is és ekkor

\(\displaystyle m(\underline x)=1000k(k+1)=1000\left[\frac{(n+1)^2}4\right]\) is teljesül, tehát ekkor is igaz az állítás.

Esetünkben n páros, k=5, ezért legfeljebb 30000 dollár vehető ki.

Előzmény: [41] Róka Sándor, 2024-07-14 22:22:50
[58] Róka Sándor2024-07-19 19:15:58

A táblázat mutatja, hogy eddig milyen válaszokat találtunk. Ha megtaláljuk a válaszokat a 8–11. kérdésekre, azok a számok kerülnek majd az üres mezőkbe.

A táblázatban a 10-es számhoz tartozó bástyás feladat volt a KöMaL-ban, F.2296., illetve az Arany Dániel versenyen kezdőknek, tagozatos kategóriában az 1973-as döntőn.

Előzmény: [57] Róka Sándor, 2024-07-18 06:27:32
[57] Róka Sándor2024-07-18 06:27:32

Legfeljebb hány a) király; b) királynő helyezhető a táblára, hogy mindegyik legfeljebb egy másikat tartson ütés alatt?

Ez volt a 3., illetve 6. kérdés. A válaszok: 26 és 10.

Bástyára is kérdezhetjük, ez hasonló a királynős feladathoz, itt 10 a válasz.

Legfeljebb hány a) király; b) királynő; c) bástya helyezhető a táblára, hogy mindegyik pontosan két másikat tartson ütés alatt?

A c) kérdés volt Danka Emma kérdése (a 2. kérdés). A válasz: 16.

Mi lehet a válasz a)-ra és b)-re? (Nem ismerem a válaszokat.)

8. kérdés: Legfeljebb hány király helyezhető a táblára, hogy mindegyik pontosan két másikat tartson ütés alatt?

9. kérdés: Legfeljebb hány királynő helyezhető a táblára, hogy mindegyik pontosan két másikat tartson ütés alatt?

A Héttusa 29. feladatában megmutattuk, elhelyezhető a táblán 32 huszár úgy, hogy mndegyik pontosan két másikat tarson ütés alatt.

Adódik két kérdés:

10. kérdés: Legfeljebb hány huszár helyezhető a táblára, hogy mindegyik pontosan egy másikat tartson ütés alatt?

11. kérdés: Legfeljebb hány huszár helyezhető a táblára, hogy mindegyik pontosan két másikat tartson ütés alatt?

Előzmény: [41] Róka Sándor, 2024-07-14 22:22:50
[56] SmallPotato2024-07-17 22:17:25

Rendben. Ha nem is leesett végre, de levánszorgott. :)

Mindenképpen a letámadott "cellák" darabszámával akartam operálni, dehát a FALdarab az nem cella.

Köszönöm a türelmet és a segítséget. :)

Előzmény: [55] Róka Sándor, 2024-07-17 21:21:33
[55] Róka Sándor2024-07-17 21:21:33

Ez a jó szóhasználat, hogy a királynő 4 irányban néz, és adott esetben csak 3 irányban lát akadálytalanul. (53. hozzászólás, Káli gúla)

A 47. hozzászólásban lévő sakktáblát a 10 királynővel most úgy rajzoltam le, ami mutatja azt, hogy a 10 királynő mely faldarabokat látja. Például a fekete 1-es a piros 1-esekkel jelölt faldarabokat látja.

32 faldarab van. Az 1–8 bábuk 3–3 faldarabot látnak, a 9 és 10 bábu 4–4 faldarabot lát.

Előzmény: [54] SmallPotato, 2024-07-17 20:01:17
[54] SmallPotato2024-07-17 20:01:17

De ugyanazt a fal-elemet ketten is "láthatják" (a megoldásban látjuk is, hogy látják is), tehát a korlát nem a fal-elemek száma, hanem annak a duplája. És - nem mellékesen - váltig fenntartom, hogy az a 32 az 28. (Aminek megfelelően, szerintetek 3x <= 28 kellene, csakhogy az ábrás tények ennek ellentmondanak)

Előzmény: [53] Káli gúla, 2024-07-17 18:52:20
[53] Káli gúla2024-07-17 18:52:20

Úgy érdemes elképzelni, hogy amikor 2 bábu vonalban van, akkor a falhoz közelebbi leárnyékolja a falszakaszt. Alternatív hasonlattal, a közelebbi "látja" abban a vonalban a falat, a távolabbi meg nem. Minden bábu négyfelé néz, de legalább három irányban akadálytalanul "lát" falat, összesen legfeljebb 32-t. \(\displaystyle 3x\le32\) miatt \(\displaystyle x\le10\).

Előzmény: [52] SmallPotato, 2024-07-17 18:37:35
[52] SmallPotato2024-07-17 18:37:35

Még mindig nem értem (inkább: nem értek egyet).

Szerintem:

Faldarabból nem 32 van, hanem 28. Számold meg!

Egy faldarabra (csak a vízszintes és függőleges irányokat tekintve) természetesen nem csak egy, hanem két királynő is lőhet (az általad ábrán mellékelt megoldásban például minden faldarabon vagy áll egy királynő, vagy pontosan két királynő támadja).

Az érvelés ezek után olyasmire lenne alapozható, hogy 10 királynő esetén azok max. 10*3 = 30 faldarabot támadnak; a faldarabok száma ugyan csak 28, viszont mindegyik kétszer támadható, tehát a falak mentén legalább 2*28 = 56 támadási lehetőség van; a 10 királynő tehát ezen az alapon nem kizárt, hogy elhelyezhető.

A baj csak az, hogy ezen az alapon még a 11 sem kizárt.

Bocsánat az akadékoskodásért!

Előzmény: [51] Róka Sándor, 2024-07-17 15:14:20
[51] Róka Sándor2024-07-17 15:14:20

Vázlatosan és pontatlanul fogalmaztam. Valóban nem a fal hosszát, hanem a faldarabok számát figyeljük. Ezekből a darabokból \(\displaystyle 4\cdot8=32\) van.

A bizonyításban (hogy max. 10 királynő lehet) a királynőnek csak azt a tulajdonságát használjuk, hogy vízszintes és függőleges irányban lő. Fontos, hogy kihagyjuk az átlós irányt. Emiatt mondhatjuk, hogy egy kiválasztott faldarabra a táblára helyezett királynők közül csak egy királynő tud lőni.

Egy a táblán lévő királynő 3 vagy 4 faldarabot lőhet, mert a négy lövésirányból max. csak az egyikben állhat akadályként egy másik királynő.

10 királynő még állhat a táblán, ha mindegyik 3 faldarabot lő, ekkor a 32 faldarabból 30-at kilőnek. Így még belefér az, hogy 2 királynő 4-4 faldarabot lő.

De 11 királynő esetén legalább \(\displaystyle 11\cdot3=33\) különböző faldarabot lőnek, ami nem megy, mert csak 32 faldarab van.

Így az következik, hogy legfeljebb 10 királynő állhat a táblán.

Bocs, hogy korábban elnagyoltan és szűkszavúan fogalmaztam.

Előzmény: [50] SmallPotato, 2024-07-17 14:11:52
[50] SmallPotato2024-07-17 14:11:52

Nekem ez nem tűnik meggyőzőnek.

Egyrészt szerintem az érvelés szempontjából nem a falak "összhossza", hanem az üthető falmenti mezők darabszáma számít, és ez nem 32, csak 28; másrészt viszont, mivel (mint az ábrán látjuk) 10 királynő valóban elhelyezhető, az érvelés is hibás, hiszen 10*3 = 30 > 28.

A "Két különböző királynő a sakktábla széleit (falait) más-más helyeken lövi" megállapítás téves, még akkor is, ha a két különböző királynő nem üti egymást. a1-et például a megoldásban három királynő is üti, ami persze teljesen rendben is van.

Rosszul értek valamit?

Előzmény: [47] Róka Sándor, 2024-07-16 23:18:50
[49] Keresztvölgyi József2024-07-17 11:10:41

A bank nem lehet játékos, ezt tiltják a szabályok. Minden kártyához egy betétösszeg tartozik, a bank ezeket nem keverheti össze. Dagobert bácsi ellenfele ebben a játékban csak Fortuna istennnő.

Most már úgy látom, hogy ha a balszerencse Dagobert bácsi ellen dolgozik, akkor 30 ezernél többet sajnos nem tud felvenni.

Ha például mindig 6 ezret próbál felvenni, és az első öt próbálkozása mind sikertelen, akkor a bankban bent maradt 15 ezer, és még öt kártyája van a többi 40 ezer kivételére. Erre a legjobb taktikája az, ha marad a 6 ezres felvételeknél, így 5-ször 6 ezret, azaz 30 ezret kap biztosan. Ha más összegek felvételével próbálkozik, akkor rosszabbul is járhat.

Előzmény: [44] Káli gúla, 2024-07-16 16:55:56
[48] Czenthe Balázs2024-07-17 06:54:56

Kengyelfutó Einstein jeligével (ált. iskola 6. osztályos tanuló). Danka Emma felvetésére egy megoldás, ami még talán nem szerepel a fórumon. A kérdés lényege az volt, hogy max hány bástya helyezhető el a táblán, hogy mindegyik bábu 2 másikat tartson ütés alatt? A válasz (ahogy többször is szerepelt) 16, de talán ez az elrendezés nincs még fent.

[47] Róka Sándor2024-07-16 23:18:50

Válasz a 6. kérdésre.

Ahogyan a 21. hozzászólásban, itt is figyeljük, merre „lő” egy bábu. Egy királynő 4 irányban lő, ha csak a sorát és az oszlopát figyeljük. Két különböző királynő a sakktábla széleit (falait) más-más helyeken lövi.

Ha 11 királynő lenne a táblán, és mindegyik királynő legfeljebb egy másikat tart ütés alatt, akkor mindegyik királynő legalább 3 helyen, a 11 királynő legalább \(\displaystyle 11\cdot3=33\) helyen üti a tábla falát, azonban a fal hossza csak \(\displaystyle 4\cdot8=32\). Ezért 11 királynőt nem tehetünk a táblára.

10 királynőt lehet, például így:

Előzmény: [45] S.Ákos, 2024-07-16 18:05:25
[46] S.Ákos2024-07-16 18:28:04

az elso abra helyesen:

Előzmény: [45] S.Ákos, 2024-07-16 18:05:25
[45] S.Ákos2024-07-16 18:05:25

6. kerdes - Ha egy sorban van 2 kiralyno, akkor ezek oszlopaiban nem lehet tobb, kulonben valamelyiket utne 2. Ha van 4 ilyen sor (2 kiralynos), akkor ezek osszesen lefogjak az osszes oszlopot, igy nem lehet tobb kiralyno a tablan, ez maximum 8. Ha van 3 ilyen sor, akkor ezek lefognak 6 oszlopot, ahol nem lehet tobb kiralyno, a maradek ket oszlopban maximum 4 lehet, ez maximum 10. Ha maximum 2 ilyen van, akkor osszesen maximum \(\displaystyle 2\cdot2+1\cdot6=10\) babu lehet.

De 10 eseten van konstrukcionk, peldaul ezek [ha valaki talal lenyegesen kulonbozot, szoljon]:

Qa1,Qa4,Qb7,Qc7,Qd3,Qe6,Qf2,Qf8,Qg5,Qh5

Qa1,Qa5,Qb8,Qc4,Qd7,Qe7,Qf2,Qf3,Qg6,Qh6

Qa1,Qa6,Qb3,Qc7,Qd7,Qe4,Qf2,Qf8,Qg5,Qh5

Qa2,Qa3,Qb6,Qc6,Qd1,Qe1,Qf4,Qf5,Qg7,Qh8

Qa2,Qa3,Qb7,Qc6,Qd8,Qe1,Qf4,Qf5,Qg1,Qh8

Qa2,Qa4,Qb6,Qc1,Qd6,Qe1,Qf3,Qf5,Qg7,Qh8

Qa2,Qa4,Qb7,Qc7,Qd3,Qe1,Qf6,Qf8,Qg1,Qh3

Qa2,Qa4,Qb7,Qc7,Qd3,Qe1,Qf6,Qf8,Qg1,Qh5

Qa2,Qa5,Qb7,Qc1,Qd1,Qe4,Qf6,Qf8,Qg3,Qh3

Qa2,Qa5,Qb8,Qc8,Qd4,Qe7,Qf1,Qf3,Qg6,Qh6

Qa2,Qa7,Qb4,Qc8,Qd8,Qe5,Qf1,Qf3,Qg6,Qh6

Qa3,Qa4,Qb8,Qc7,Qd2,Qe2,Qf5,Qf6,Qg1,Qh1

Qa3,Qa4,Qb8,Qc8,Qd2,Qe2,Qf6,Qf7,Qg1,Qh1

Qa4,Qa5,Qb1,Qc1,Qd6,Qe7,Qf2,Qf3,Qg8,Qh8

Qa1,Qa8,Qb3,Qb4,Qc7,Qd7,Qe2,Qf2,Qg5,Qg6

Qa1,Qa8,Qb3,Qb5,Qc7,Qd2,Qe7,Qf2,Qg4,Qg6

Qa3,Qa5,Qb1,Qb8,Qd7,Qe2,Qf7,Qg2,Qh4,Qh6

Qa1,Qa7,Qb4,Qc2,Qc6,Qd8,Qf4,Qg8,Qh3,Qh5

Qa3,Qa5,Qb1,Qc6,Qc8,Qd1,Qf7,Qg7,Qh2,Qh4

Qa2,Qa4,Qb7,Qc1,Qd6,Qd8,Qe1,Qg7,Qh3,Qh5

Qa3,Qa5,Qb8,Qc2,Qd4,Qd7,Qe2,Qg8,Qh1,Qh6

Qa3,Qa4,Qb7,Qc7,Qd2,Qe2,Qf5,Qf6,Qg1,Qg8

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd7,Qe2,Qf4,Qf6,Qg1,Qg8

Qa1,Qa7,Qb4,Qc4,Qd8,Qe8,Qf3,Qf5,Qh2,Qh6

Qa2,Qa4,Qb7,Qd6,Qd8,Qe1,Qe3,Qf5,Qg7,Qh5

Qa3,Qa4,Qb7,Qd2,Qd8,Qe5,Qe6,Qf1,Qg1,Qh7

Qa3,Qa5,Qb1,Qd1,Qe6,Qe8,Qf4,Qg2,Qg7,Qh4

Qa2,Qb5,Qb7,Qc1,Qc3,Qd8,Qf8,Qg4,Qg6,Qh2

Qa4,Qb6,Qb8,Qc1,Qc3,Qe2,Qf5,Qf7,Qg2,Qh4

Qa1,Qb3,Qb4,Qc7,Qc8,Qe2,Qf2,Qg5,Qg6,Qh1

Qa4,Qb2,Qb7,Qc4,Qd6,Qd8,Qe1,Qe3,Qf5,Qh5

Qa4,Qb2,Qb7,Qc5,Qd3,Qd8,Qe1,Qe6,Qf4,Qh5

Qa3,Qb5,Qb7,Qc3,Qd1,Qd8,Qe6,Qf2,Qf4,Qg6

Qa2,Qb4,Qb6,Qc8,Qd1,Qd3,Qe8,Qg5,Qg7,Qh2

Qa1,Qa3,Qb6,Qb8,Qc2,Qd7,Qe2,Qf7,Qg5,Qh4

Qa1,Qa7,Qb3,Qb5,Qc8,Qd2,Qe4,Qf8,Qg6,Qh2

Qa1,Qa7,Qb4,Qb5,Qc2,Qd8,Qe6,Qf3,Qg3,Qh6

Qa1,Qa8,Qb3,Qb4,Qc7,Qd7,Qe2,Qf2,Qg5,Qh6

Qa2,Qa3,Qb5,Qb6,Qc8,Qd1,Qe1,Qf4,Qg7,Qh7

Qa2,Qa4,Qb6,Qb8,Qc1,Qd3,Qe7,Qf5,Qg7,Qh1

Qa2,Qa4,Qb7,Qc1,Qd6,Qd8,Qe1,Qf5,Qg7,Qh3

Qa2,Qa4,Qb7,Qc1,Qd6,Qd8,Qe3,Qf5,Qg7,Qh5

Qa2,Qa6,Qb4,Qc7,Qd1,Qe3,Qe8,Qf5,Qg7,Qh1

Qa2,Qa6,Qb4,Qc7,Qd1,Qe3,Qe8,Qf5,Qg7,Qh4

Qa3,Qa4,Qb1,Qc8,Qd8,Qe2,Qe5,Qf7,Qg1,Qh6

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd1,Qe6,Qe8,Qf4,Qg7,Qh4

Qa4,Qa5,Qb1,Qc8,Qd6,Qe2,Qe3,Qf7,Qg7,Qh1

Qa2,Qa3,Qb5,Qc8,Qd8,Qe1,Qf4,Qg6,Qg7,Qh1

Qa2,Qa3,Qb7,Qc7,Qd4,Qe1,Qf1,Qg5,Qg6,Qh8

Qa2,Qa4,Qb8,Qc5,Qd8,Qe3,Qf1,Qg6,Qg7,Qh1

Qa2,Qa5,Qb7,Qc1,Qd4,Qe7,Qf1,Qg3,Qg6,Qh8

Qa2,Qa5,Qb8,Qc8,Qd1,Qe3,Qf1,Qg6,Qg7,Qh4

Qa2,Qa6,Qb4,Qc1,Qd8,Qe8,Qf5,Qg3,Qg7,Qh1

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd7,Qe2,Qf4,Qg1,Qg8,Qh6

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd7,Qe2,Qf6,Qg1,Qg8,Qh4

Qa1,Qa6,Qb3,Qc7,Qd7,Qe3,Qf8,Qg2,Qh4,Qh5

Qa3,Qa5,Qb8,Qc2,Qd7,Qe2,Qf7,Qg1,Qh4,Qh6

Qa2,Qb5,Qb6,Qc3,Qc8,Qd1,Qe7,Qf4,Qg2,Qh7

Qa3,Qb5,Qb6,Qc8,Qd1,Qd2,Qe4,Qf7,Qg7,Qh4

Qa3,Qb5,Qb7,Qc3,Qd1,Qd8,Qe6,Qf4,Qg6,Qh2

Qa4,Qb2,Qb7,Qc4,Qd6,Qd8,Qe3,Qf5,Qg1,Qh5

Qa4,Qb1,Qb6,Qc3,Qd5,Qe2,Qe7,Qf4,Qg8,Qh3

Qa1,Qb3,Qb4,Qc7,Qd7,Qe2,Qf2,Qg5,Qg6,Qh8

Qa1,Qb3,Qb5,Qc7,Qd2,Qe7,Qf2,Qg4,Qg6,Qh8

Qa3,Qb3,Qc6,Qc7,Qd4,Qe1,Qe2,Qf5,Qg5,Qh8

Qa3,Qb5,Qc2,Qc7,Qd4,Qe1,Qe6,Qf3,Qg5,Qh8

Qa4,Qb2,Qc4,Qd6,Qd8,Qe1,Qe3,Qf5,Qg7,Qh5

Qa4,Qb2,Qc5,Qd3,Qd8,Qe1,Qe6,Qf4,Qg7,Qh5

Egy minden sorban/oszlopban kiralyno es egy egyet kihagyos pelda:

Előzmény: [41] Róka Sándor, 2024-07-14 22:22:50
[44] Káli gúla2024-07-16 16:55:56

Érdemes úgy elképzelni, hogy (1) ez egy kétszemélyes játék, (2) a bank tudja, hogy milyen kártyák vannak a bácsi kezében, (3) a bank nem akar 30 ezernél több pénzt kifizetni. Lehet-e ebben a játékban nyerni a bankkal szemben?

[43] Keresztvölgyi József2024-07-16 14:20:26

A 7. kérdésre adott válaszom (34 ezer dollár) csak becslés. Lehet, hogy csak 33 ezer dollár.

Ha Dagobert bácsi mindegyik bankkártyájával 5 ezer dollárt igényel, akkor 30 ezret kap. Ugyanígy ha mindig 6 ezret igényel, akkor is 30 ezerhez juthat hozzá.

Viszont taktitázhat úgy, hogy a már megtörtént lehívásai összegeinek és sikerességeinek függvényében módosítgatja az igénylendő összeget. Ezáltal a 30 ezernél többhöz is hozzájuthat.

Véleményem szerint egy ügyes programozó tudna írni egy olyan programot, amely még elfogadható (polinomális) idő múlva megadná a választ.

Előzmény: [41] Róka Sándor, 2024-07-14 22:22:50
[42] Keresztvölgyi József2024-07-16 11:20:16

Válasz a 7. kérdésre:

Szerintem Dagobert bácsi biztosan fel tud venni 34 ezer dollárt.

Előzmény: [40] Makay Géza, 2024-07-14 19:01:17
[41] Róka Sándor2024-07-14 22:22:50

Két új kérdés.

6. kérdés: Legfeljebb hány királynő helyezhető el a sakktáblán úgy, hogy mindegyik legfeljebb egy másikat tartson ütés alatt?

7. kérdés: Dagobert bácsinak van 10 bankkártyája, melyeken 1, 2, 3, ..., 10 ezer dollár van. Szegény már elfelejtette, hogy ezek melyik kártyán vannak, csak a pénzösszegekre emlékszik. Mindegyik kártya csak egyszer használható. Dagobert bedughatja a kártyát az ATM-be, és kérhet valamilyen összeget. Ha van rá fedezet, az ATM kiadja a kért pénzösszeget, különben nem ad ki semmit. Sajnos az ATM nem mutatja meg, hogy mennyi pénz volt a kártyán. Mekkora az a legnagyobb összeg, amit Dagobert bácsi biztosan fel tud venni a kártyákról?

Előzmény: [22] Róka Sándor, 2024-07-07 09:17:06
[40] Makay Géza2024-07-14 19:01:17

Most írom a 4. kérdésre a választ... :)

Az 5 bástya lefog 5 sort és 5 oszlopot a táblából. 3 sor és 3 oszlop marad szabad, ahová egyáltalán el lehet helyezni huszárt. Így legfeljebb \(\displaystyle 3\times 3=9\) huszárt lehet elhelyezni, az pedig lehetséges is:

Előzmény: [22] Róka Sándor, 2024-07-07 09:17:06
[39] Makay Géza2024-07-14 14:00:26

Bocs, ez az 5. kérdés volt... :)

Előzmény: [38] Makay Géza, 2024-07-14 13:53:58
[38] Makay Géza2024-07-14 13:53:58

4. kérdés. Mivel a bástya által ütött két futó nem lehet ugyanaz a két futó, ami üti a bástyát, ezért legalább 4 futó van. A szerepeket felcserélve is okoskodhatnánk, de mivel ugyanannyi bástya és futó van, ezért legalább négy bástyának is lennie kell. És erre itt egy lehetséges elhelyezés:

Előzmény: [22] Róka Sándor, 2024-07-07 09:17:06
[37] Makay Géza2024-07-14 12:45:03

Ez alapján 3 "szabad" rácspontunk van, amit nem muszáj lefednünk. Így nem lehet minden sarok üres, mert az 4 nem lefedett rácspontot jelentene. Nem lehet mind a 4 sarokban egymást átlósan ütő király-pár, mert az is 4 plusz rácspontot igényelne. 0 vagy 2 olyan király lehet, amelyik nem üt másikat, hiszen egy király önmagában 4 rácspontot foglal el. Ezek alapján kell legyen egy olyan sarok, amelyben két király oldalszomszédos mezőn áll. Forgatással és tükrözéssel megoldható, hogy ezek a bal felső sarokban az első sorban álljanak. Ha ehhez hozzávenném, hogy nyilvántartsam a "kihagyott" rácspontokat, akkor a program valószínűleg záros határidőn belül lefutna.

Másik ötlet a fentiek alapján, hogy a király-párokat igyekszem lerakni. Alapvetően nem sok eset lehet:

1. Minden pár oldalszomszédos: 3 rácspont marad ki.

2. Két egyedülálló király van (mint pl. a 27-es hozzászólásban), a többi oldalszomszédos: 1 rácspont marad ki.

3. Két egyedülálló király van, egy átlósan ütő pár, a többi oldalszomszédos: nincs kimaradó rácspont.

4. Egy, kettő vagy három átlósan ütő pár van, a többi oldalszomszédos: 2, 1 vagy 0 rácspont marad ki.

Mivel főleg király-párokat helyezünk el, a vizsgálandó esetek száma óriásit csökken, ez szerintem másodperceken belül meg kell adja az összes megoldást, bár leprogramozni bonyolultabb (valakinek nincs kedve megcsinálni? :) ). Amúgy szerintem a 3. pont és a 4. pontból az utolsó kettő nem fog előfordulni.

Előzmény: [34] Róka Sándor, 2024-07-13 20:54:06
[36] Makay Géza2024-07-14 12:06:32

Kiszűrtem a forgatással/tükrözéssel egymásból megkapható megoldásokat és pár perc futás után találtam 156 megoldást. A programom nem nézte végig (valószínűleg ebben a formában nem is tudja végignézni) az összes lehetséges megoldást, így nem tudom, hogy ez mennyire van "közel" az összeshez...

Előzmény: [29] sakkmath, 2024-07-12 22:14:03

  [1]    [2]    [3]