Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[106] Gubbubu2004-04-13 10:13:43

23.feladat: Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy oldala, illetve a beírt és a körülírt kör sugara.

Megjegyzés: még csak 5-6 percet tudtam gondolkodni e feladaton, lehet hogy az átlagnál nehezebb, az is hogy nagyon könnyű.

[105] BohnerGéza2004-04-05 10:00:57

Kedves Csimby!

Észrevételed, segítséged helyes, de kiegészítésként: Az összes Apollonios-feladat megoldható inverzió nélkül is. (101. hozzászolás) Talán ezzel is segítettem valakinek.

A 21. feladat átfogalmazásához: Hiperbola ill. ellipszis: Azon kőrők középpontjainak mértani helye (halmaza), melyek átmennek az egyik fókuszon és érintik a másik fokusz közáppontú 2a (nagytengely) sugarú kört.

[104] Csimby2004-04-04 23:12:03

A 21. feladat-hoz csak annyit mondanék segítségnek, hogy inverzió!

[103] lorantfy2004-03-30 08:19:47
Előzmény: [102] BohnerGéza, 2004-03-29 15:55:10
[102] BohnerGéza2004-03-29 15:55:10

A 22. feladat: Legyen az ABC háromszög BC oldalához írt körének BC-n lévő érintési pontja G. Igazold, hogy az AG-re G-ben állított merőlegesnek a B ill. C csúcsnál lévő külső szögfelező közti szakaszát G felezi!

[101] BohnerGéza2004-03-29 15:49:36

Egy ábra [99] Csimby 21. feladatához.

A feladat nehéz, ez csak segítség.

A k1 és k2 kört érintő P-n átmenő kört érintő kör a szerkesztendő. A H hasonlósági pont? A P' szerkesztésével egy másik feladatra vezettük az eredeti átfogalmazását!

[100] BohnerGéza2004-03-23 14:59:39

22. feladat: A 20. feladat alapján fogalmazzuk meg az analóg új feladatot. (beírt kör érintési pontja helyett ...) Megoldása természetesen hasonlóan megy, mint a 20-é.

Gondolkodom, van-e értelme egy olyan új fórumtémának, melynek neve "Új" feladatok . Ebben, a fórumban megjelent feladatok alapján, analóg feladatokat, átfogalmazásokat, vagy a megoldásuk során felmerült, ott kitalált új feladatokat írhatnánk meg. A tanításban és tanuláskor is jól jöhetnek az ilyen ötletek.

Például a 21. feladat átfogalmazása: Adott két kör és egy pont. Szerkesszük meg a két kört érintö, a ponton áthaladó kört.

[99] Csimby2004-03-22 22:32:07

21.feladat Szerkesszük meg körzővel és vonalzóval két hiperbola metszéspontjait, ha a két-két fókuszpont közül kettő egy pontba esik.(Tehát adott a 3 fókuszpont és a két főtengely hossza)

[98] lorantfy2004-03-19 13:38:54

Kedves Géza!

Jó a feladat! Felteszek hozzá egy ábrát.

Előzmény: [97] BohnerGéza, 2004-03-19 11:20:27
[97] BohnerGéza2004-03-19 11:20:27

20. feladat: Legyen az ABC háromszög beírt körének BC-n lévő érintési pontja D. Igazold, hogy az AD-re D-ben állított merőlegesnek a B ill. C csúcsnál lévő belső szögfelező közti szakaszát D felezi!

[96] lorantfy2004-03-09 22:11:26

Kedves Péter és Zormac!

Kösz a szép megoldásokat!

Előzmény: [95] Pach Péter Pál, 2004-03-09 18:16:18
[95] Pach Péter Pál2004-03-09 18:16:18

A 19. feladat mindhárom része megoldható vektorok használatával is: (R most is a kör sugara)

Legyen \vec{OX}={\bf x}, ahol X=A,B,C,D,P Vegyük észre, hogy 2p=a+b+c+d. (Pl. a+b abba a pontba mutat, amelyet úgy kapjuk, hogy O-t tükrözzük AB-re. Így a jobboldalon álló vektor abba a pontba mutat, amelyet úgy kapjuk, hogy O-t tükrözzük P-re.)

AB merőlges CD-re, ezért (a-b)(c-d)=0. Könnyen látszik, hogy (a+b)(c+d)=0. Így 4p2=(a+b+c+d)2=4R2+2(ab+cd). Ezért ab+cd állandó. Így 2AB2+2CD2=2((a-b)2+(c-d)2=(a-b+c-d)2+(a-b+c-d)2=8R2-4(ab+cd), ami állandó.

4(AP2+BP2+CP2+DP2)=4((p-a)2+(p-b)2+(p-c)2+(p-d)2=(-a+b+c+d)2+(a-b+c+d)2+(a+b-c+d)2+(a+b+c-d)2=4(a2+b2+c2+d2)=16R2, ami állandó.

AC2+CB2+BD2+DA2=(a-c)2+(c-b)2+(b-d)2+(d-a)2=8R2-2(a+b)(c+d)=8R2.

[94] Zormac2004-03-09 14:32:34

A húrdarabok szorzata esetében a pont körre vonatkozó hatványát érdemes segítségül hívni, de szerintem az a) rész kijön a másik kettő nélkül is:

Legyen a kör sugara R, az OP távolság r, az AB és CD húrok távolsága O-tól rendre x és y. Pitagorasz szerint:

AB = 2\sqrt{R^2-x^2},(1)

illetve

CD = 2\sqrt{R^2-y^2}. (2)

(1) és (2) összegéből

AB2+CD2=4(2R2-r2)

adódik, ami független a húrok irányától.

Előzmény: [93] lorantfy, 2004-03-08 11:22:19
[93] lorantfy2004-03-08 11:22:19

Kedves Zoltán!

Kösz a megoldást! Innen már nincs messze az a.) rész megoldása sem. Ha már megvan a húrdarabok négyzete akkor már csak a húrdarabok kétszeres szorzata kell az összeg négyzetéhez!

Előzmény: [92] SchZol, 2004-03-08 09:28:29
[92] SchZol2004-03-08 09:28:29

19.c feladat megoldása:

DBA\angle=ACD\angle=\alpha CDB\angle=CAB\angle=\beta ADC\angle=ABC\angle=\gamma DAB\angle=DCB\angle=\delta

Az adott szögek azért egyenlők, mert azonos íven nyugvó kerületi szögek.

Kössük össze O-t A-val, B-vel, C-vel és D-vel.

DOA\angle=2\alpha COB\angle=2\beta AOC\angle=2\gamma BOD\angle=2\delta

Írjuk fel AC-re. BC-ra, BD-re és DA-ra a cosinus tételt, majd adjuk össze őket.

AC2+BC2+BD2+AD2=8r2-2r2*(cos 2\alpha+cos 2\beta+cos 2\gamma+cos 2\delta)

cos 2\alpha+cos 2\beta=2cos (\alpha+\beta)cos (\alpha-\beta)=0

cos 2\gamma+cos 2\delta=2cos (\gamma+\delta)cos (\gamma-\delta)=0

Mivel BA merőleges DC-re ezért \alpha+\beta=90° és \gamma+\delta=90°

Tehát AC2+BC2+BD2+AD2=8r2

És ebből következik a 19.b feladat megoldása is, mert

2*(AP2+BP2+CP2+DP2)=AC2+BC2+BD2+AD2=8r2

Vagyis AP2+BP2+CP2+DP2=4r2

Remélem nem írtam el semmit.

Előzmény: [91] lorantfy, 2004-03-06 09:56:09
[91] lorantfy2004-03-06 09:56:09

19. feladat:

Adott az r sugarú kör belsejében egy P pont. AB és CD húrok a P pontban merőlegesen metszik egymást.

a.) Bbh. AB2+CD2 független a húrok helyzetétől!

b.) Bbh. AP2+BP2+CP2+DP2 független a P pont helyzetétől!

c.) Bbh. ACBD húrnégyszögben AC2+CB2+BD2+DA2=8r2

(Az a.) és b.) pont Strohmajer János: Geomatria példatárából, a c.) pedig Olah György: Határon túli matematika versenyek c. könyvéből való. Lásd. könyvajánlatban!)

[90] Hajba Károly2004-03-04 09:09:02

Kedves Péter!

Gratulálok a megoldásodhoz és a szemléltetéshez.

Én már csak kiegészítem az eredeti ábra befejezésével.

HK

Előzmény: [89] Gyarmati Péter, 2004-03-03 17:56:07
[89] Gyarmati Péter2004-03-03 17:56:07

Sziasztok!

A 16 -os feladathoz egy ábrát adok:

[88] Hajba Károly2004-03-03 14:28:02

Kedves Géza!

Nyert! Gratula!

(Az íves változat esetén alaposan be kell zsírozni, hogy csússzon :o)

HK

Előzmény: [87] BohnerGéza, 2004-03-03 13:36:16
[87] BohnerGéza2004-03-03 13:36:16

A 17. feladat [75] megoldása:

Több lehetőség közül kettő mutatok. Lehetne az ívek középpontja az átlóegyenes más pontja is. Egyszerűnek, de érdekesnek gondolom a második megoldás csúszkája keresztmetszetének megszerkesztését.

Természetesen csak vázlatok az alábbiak.

[86] Kristóf Miklós2004-03-02 12:08:35

Kedves Géza és Mindenki! Az ötszöges feladat első kérdése túl könnyű, a második túl nehéz. Szerintem legyen ez a feladat: készítsünk szabálytalan ötszögekből poliédert úgy hogy csak 3 és 4 élű csúcsok legyenek. Legyen n a 4 élű csúcsok száma, adjuk meg a poliéder lapjainak, csúcsainak és éleinek számát n függvényében. Próbáljunk meg minél több n-re megkonstruálni ilyen poliédert! Mely n-re nem létezik megoldás? Melyikre van több különböző? Reprezentatív példa: n=3-ra létezik megoldás, 18 lap, 29 csúcs és 45 él van ezen a jószágon. Oktadekaéder?

Előzmény: [85] Kós Géza, 2004-03-01 15:41:20
[85] Kós Géza2004-03-01 15:41:20

Kedves Mindenki,

Az ötszöges feladatot ki fogjuk tűzni a pontversenyben. Ezért azt szeretném kérni, hogy a feladatról egyelőre senki ne írjon semmit, és eredményeit ne árulja el senkinek. (Utána majd alaposan megtárgyaljuk a megoldást.) Köszönöm.

Kós Géza

Előzmény: [67] Kristóf Miklós, 2004-02-24 10:56:07
[84] Kristóf Miklós2004-03-01 13:44:57

Kedves Sirpi! A válaszod tökéletes és korrekt, egyben irigyellek azért mert te a matek képleteket így be tudod írni, nekem fogalmam sincs hogy kell. De ezzel hogy ezt megválaszoltad, következhet az igazi kérdésem, ami egy számomra már-már misztikus jelenségre utal: de most látom csak hogy a válaszod megoldást ad erre is! Mindegy, azért leírom: Ha egy n oldalú sokszög szögei helyett mindenütt alfa szöget írok, ahol alfa az n oldalú szabályos sokszög szöge, akkor a képlet helyes marad. Ennek oka az hogy az n oldalú sokszög szögeinek összege mindig ugyanannyi, (n-2)180 fok! Ennek ennedrésze a sokszög szöge. Így minden csúcshoz rendelhetünk egy ún. formális szöghiányt, amit úgy kapok meg, hogy minden sokszöget szabályosnak tekintek, és eszerint számolok. Pl ha 3 rombusz és 2 háromszög van a csúcs körül, akkor 3szor 90 fok plusz 60 fok az 330 fok, a formális szöghiány 30 fok. Ez akkor is ennyi, ha a csúcs körüli igazi szögek pl. 120, 130, 100 és 80 fokok! Na most akkor készítsünk pl. szabálytalan ötszögekből poliédert! Tehát a poliéder csak ötszögeket tartalmazhat, de ezek nem feltétlen egyformák. Egy csúcs körül 3 vagy 4 lap lehet. 3 lapnál a formális szöghiány 36 fok azaz 360 mínusz 3-szor 108 fok, a 4 lapú csúcs formális szöghiánya már negatív, azaz 360-432 azaz -72 fok. Ha a poliéderemnek n db 3-as csúcsa és m db 4-es csúcsa van, akkor a képletünk: n szer 36 mínusz m szer 72 legyen 720 fok. A poliédercsalád legkisebb képviselője a pentagondodekaéder, 12 lappal és 20 csúccsal, 20szor 36 valóban 720 fok. Most jön a kérdés: van-e 13 oldalú, vagy általában páratlan oldalszámú "pentoéder"? Mely k-ra hány nem izomorf k oldalú pentoéder létezik?

Előzmény: [78] Sirpi, 2004-02-27 14:19:35
[83] Hajba Károly2004-03-01 08:52:29

Kedves László!

Kösz a pontosítást, valóban eggyel elcsúsztattam a számozást.

Nos a 16. feladathoz csak annyit súgok, hogy nem csak téglatestben lehet gondolkodni. A 17. feladathoz talán elegendő volt a korábbi hozzászólás. Remélm ezekután már sikerül legyűrnöd e feladatokat is. :o)

HK

Előzmény: [82] lorantfy, 2004-03-01 08:27:17
[82] lorantfy2004-03-01 08:27:17

Kedves Károly!

Hát pont a be nem rajzolt takart élekkel volt problémám. Világos, hogy a 17. (=18. az előző hozzászólásodban) feladatnál vannak takart élek amik nincsenek berajzolva, igy ebből arra következtettem, hogy a 16. (=17. az előzőben) feladatnál is vannak.

Sajnos számomra egyenlőre elképzelhetetlen, hogy a 16. elölnézetén látható téglalap alakú bemetszés, ami egy teljesen végigfutó vájatot jelöl, miért nem jelenik meg a felülnézeten végigfutó függőleges vonalként?

A 17-nél most értettem meg, hogy az egész bemetszésnek kivehetőnek kell lennie. Én egy négyzet alapú csonkagúlára gondoltam, ami a kicsúsztatható.

Előzmény: [81] Hajba Károly, 2004-03-01 01:25:37

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]