Fórum: GEOMETRIA

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1346] Tym0	2010-01-05 21:17:10
Bocs de nekem nincs se időm se türelmem bizonyítani. Én biztosra akarok menni. Elkezdtem csinálni. egyébként mástól kaptam. Remélem jó lesz.
Előzmény: [1345] HoA, 2010-01-05 21:15:15

[1345] HoA	2010-01-05 21:15:15
Nem tudom, nem számoltam végig. Ha a [1341]-ben leírtakat saját magad találtad ki, nyilván tudod, miért. Ha mástól vetted át, akkor dolgozz egy kicsit: bizonyítsd vagy cáfold [1343] utolsó képletét.
Előzmény: [1344] Tym0, 2010-01-05 20:26:30

[1344] Tym0	2010-01-05 20:26:30
Na most megint jól bekavartál. CSak annyit mondj hogy jó az amit az 1341-es hozzászólásomban írtam. Úgy kijön az általam keresett megoldás?
Előzmény: [1343] HoA, 2010-01-05 19:55:45

[1343] HoA

2010-01-05 19:55:45

Ismert, hogy a háromszög körülírt körének K középppontját a csúcsokból álló pontrendszer súlypontjaként úgy tudjuk előállítani, hogy a csúcsokat a megfelelő szögek kétszeresének sinusával súlyozzuk. Lásd pl. Reiman István: Geometria és határterületei:

${\bf K} = \frac{{\bf a} sin 2\alpha + {\bf b} sin 2\beta + {\bf c} sin 2 \gamma}{ sin 2\alpha + sin 2\beta + sin 2 \gamma }$

[1341]-ben a1,a2,a3 a (sík)háromszög oldalhosszainak négyzetei, a b1,b2,b3 súlyok a háromszög oldalait hagyományosan a,b,c-vel jelölve az

a²(b²+c²–a²),b²(c²+a²–b²),c²(a²+b²–c²)

mennyiségek. x,y,z a csúcsok ilyen súlyokkal vett súlypontjának koordinátái. Az nem baj, hogy a súlyok összege nem 1, és így a súlypont nincs a háromszög síkjában, mert az utolsó képlettel úgyis a gömbre vetíted. A megoldás akkor helyes, ha be tudod bizonyítani, hogy a súlyok aránya megfelelő, vagyis például

$\frac { a^2 ( b^2 + c^2 - a^2 ) }{ b^2( c^2 + a^2 - b^2) } = \frac { sin 2\alpha }{ sin 2\beta }$

Előzmény: [1341] Tym0, 2010-01-05 18:27:01

[1342] laci777

2010-01-05 19:41:20

Sziasztok, és b.ú.é.k. mindenkinek!

A Geometriai feladatok gyűjteménye I. 2776-os feladata sajnos megfogott. Tudna valaki segíteni benne? A feladat: Adott R sugarú gömbk köré írjunk olyan egyenes körkúpot, hogy térfogatának és a gömb térfogatának aránya adott k legyen. Határozzuk meg a kúp alapkörének a sugarát (r-t).

Addig jutottam, hogy r négyzet*m = 4*R köb*k (azaz gyakorlatilag semeddig), de a körkúp magassága (m), alkotója és sugara kívánatos aránya már kifogott rajtam.

Minden segtséget előre is köszönök! Sziasztok: Laci

[1341] Tym0

2010-01-05 18:27:01

Ehhez mit szóltok? Vagy ez ugyanaz amit ti mondtatok? Szerintem ez jó lesz. Szerintetek?

A gömb középpontja legyen az origó, a gömb sugara legyen R.

A kiindulási pontok a gömbön legyenek (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3).

Sorra számold ki az alábbi mennyiségeket:

a1 := (x2-x3)2 + (y2-y3)2 + (z2-z3)2

a2 := (x3-x1)2 + (y3-y1)2 + (z3-z1)2

a3 := (x1-x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2

b1 := a1*(a2+a3-a1)

b2 := a2*(a3+a1-a2)

b3 := a3*(a1+a2-a3)

x := b1*x1 + b2*x2 + b3*x3

y := b1*y1 + b2*y2 + b3*y3

z := b1*z1 + b2*z2 + b3*z3

c : = R/gyök(x2+y2+z2)

A gömbön a körülírt kör középpontjának keresett koordinátái (c*x,c*y,c*z).

Előzmény: [1340] HoA, 2010-01-05 11:40:36

[1340] HoA

2010-01-05 11:40:36

Az eddigiek alapján a lépések:

-Adottak A, B, és C földrajzi koordinátái, északi szélesség = $\phi$ , keleti hosszúság = $\alpha$

-Átszámítjuk Descartes-koordinátákba : P_z=sin $\phi$ ;P_x=cos $\alpha$ ,P_y=sin $\alpha$ ( P = A,B,C )

-Válasszuk úgy a jelölést, hogy ABC pozitív körüljárású $\Delta$ legyen

-Képezzük az N = (B-A) x (C-A) vektorszorzatot, ez a gömb középpontjából kifelé mutat.

-A keresett középpont földrajzi koordonátáit az előzőek alapján kapjuk: sin $\phi$ =N_z/|N| , tg $\alpha$ =N_y/N_x

Előzmény: [1334] Tym0, 2010-01-04 22:31:59

[1339] HoA

2010-01-05 11:14:08

„Mindenkinek” igaza van, függetlenül attól, hogy gömbi vagy Descartes koordinátákat használunk.

-a gömb 3 különböző pontja, mint 3 térbeli pont, meghatároz egy S síkot

-ez a sík a gömböt egy körben metszi, és mivel a 3 pont a síkon is és a gömbön is rajta van, ez a kör éppen a 3 pont által meghatározott háromszög körülírt köre

-A BohnerGéza által javasolt vektorszorzat S (egy) N normálvektora, tehát S-re merőleges.

-A gömb középpontjából a gömböt metsző S síkra bocsátott N merőleges S –et a gömb és S metszésvonalát képező kör középpontjában döfi ( szimmetria ) . Talán ez hiányzott a leírtakhoz.

-N a gömböt abban a pontban metszi, amelyik egyenlő távolságra van a 3 adott ponttól – a földgömbnek ebbe a ponjába beszúrt körzővel a 3 ponton áthaladó kört lehet rajzolni

-A körközéppont földrajzi koordinátáinak meghatározásához N hossza lényegtelen. A Descartes koordinátáknak csak itt van szerepe. Ha a földrajzi szélességet $\phi$ -vel, a hosszúságot $\alpha$ –val jelöljük, akkor sin $\phi$ =N_z/|N| , tg $\alpha$ =N_y/N_x

Előzmény: [1338] sakkmath, 2010-01-05 09:59:14

[1338] sakkmath

2010-01-05 09:59:14

Szerintem Jonasnak (1328) igaza van akkor, ha a gömbháromszög csúcsai euklideszi koordinátákkal adottak.

Ha viszont az adott koordináták gömbi, földrajzi koordináták, akkor az eddigi hozzászólások nem érvényesek, ugyanis a többi hozzászóló is euklideszi koordinátarendszerben gondolkodott.

Előzmény: [1336] Tym0, 2010-01-05 01:38:08

[1337] Fálesz Mihály	2010-01-05 09:59:07
Igaza van Bohner Gézának, egy kicsit túlbonyolítottam. :-)
Előzmény: [1331] Tym0, 2010-01-04 21:09:49

[1336] Tym0	2010-01-05 01:38:08
Ez mind oké. De foylton síkot említesz. Egy gömfelületen levő háromszög nem lehet sík hiszen a gömbnek a felületén van. Vagy én vagyok a hülye és én nem értem...
Előzmény: [1335] BohnerGéza, 2010-01-04 23:08:22

[1335] BohnerGéza	2010-01-04 23:08:22


Előzmény: [1334] Tym0, 2010-01-04 22:31:59

[1334] Tym0	2010-01-04 22:31:59
A lépéseket próbáld meg leírni lécci. Most ott tartok hogy van 3 (a háromszög csúcspontjai) + 3 (a háromszög oldalainak felezőpontjai) koordinátapontom (amik ugye x,y,z koordináták mert térről beszélünk). És ugye a göm középpontjának koordinátja ami ugye x,y,z alakban 0,0,0. Ezután mi jön? Mik a lépések?

[1333] BohnerGéza

2010-01-04 21:25:57

Vektorokkal egyszerűen megy:

Vegyük a gömb kp-jából a kör kp-jába mutató vektort, osszuk a hosszával, szorozzuk a gömb sugarával, majd a gömb kp-jából indítva a keresett pontba mutat.

Előzmény: [1332] BohnerGéza, 2010-01-04 21:14:01

[1332] BohnerGéza

2010-01-04 21:14:01

Mivel egyforma húrokhoz egyforma gömbi távolságok tartoznak:

Térben a három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza: a háromszög körülírt körének középpontjában a síkjára állított merőleges. Esesükben ezen rajta van az eredeti gömb középpontja is.

Tehát keressük a körülírt kör kp-ján és a gömb kp-ján átmenő egyenesnek és a gömbnek a megfelelő oldalon lévő metszéspontját.

(Ha nem elég, folytatom.)

Előzmény: [1329] Tym0, 2010-01-04 20:40:33

[1331] Tym0	2010-01-04 21:09:49
kicsit érthetőbben? Mert ez nekem magas

[1330] Fálesz Mihály	2010-01-04 20:43:20
Próbálkozhatsz a három pontra és a gömb középpontjára illeszkedő gömb egyenletével is. (Determináns alakban csak egy pillanat...)
Előzmény: [1327] Tym0, 2010-01-04 17:05:04

[1329] Tym0	2010-01-04 20:40:33
Dehogy ugyanaz. Mert másképp viselkedik. A gömb az egy térbeli alakzat nem síkbeli és nem euklidészi közegben van vagy valami ilyesmi... Amúgy azon már túl vagyok... És nem lett jó

[1328] jonas	2010-01-04 20:26:08
Szerintem számold ki a három csúcs által alkotott síkháromszög köréírt körét, mert az ugyanaz, mint ha gömbháromszögként veszed a köréírt kört.
Előzmény: [1327] Tym0, 2010-01-04 17:05:04

[1327] Tym0

2010-01-04 17:05:04

Sziasztok!

Egy kis segítséget szeretnék kérni gömbi geometria témakörben!

A problémám a következő:

Kiváncsi vagyok egy gömbháromszög köré írható kör középpontjának koordinátáira, úgy hogy csak a háromszög csúcsainak koordinátái vannak megadva.

Tehát annak a pontnak a koordinátáira, ami a gömbháromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van.

Konkrétan: Van három földrajzi koordinátám (századszögmásodperces pontossággal megadva) nem túl nagy távolságra egymástól kb 200km-re. (Mindhárom É.sz. és K.h.) És kiváncsi vagyok annak a pontnak a koordináira, ami mindhárom ponttól egyenlő távolságra van.

Addig már eljutottam hogy a földrajzi koordinátákat átváltottam ekvatoriális, azaz gömbi koordinátákká. És a háromszög mindhárom oldalának felezőpontjai is megvannak. Itt akadtam el...

Arra gondoltam hogy elég valamely két oldal felezőmerőleges gömbi főkörének metszéspontjának koordinátáit kiszámolni. De hogyan??????????????

Ja és vigyázni kell, mert a gömbi főkörök két pontban metszik egymást, azok közül csak az egyik lesz jó mert a másik a gömb átellenes pontján van.

Valaki tudna nekem segíteni????????

[1326] HoA	2010-01-03 20:41:42
Mivel kedvenc vesszőparipámat, az egységsugarú körbe írt szabályos 18-szög tulajdonságait érinti, B.4221 elemi megoldását feltettem http://www.komal.hu/forum/forum.cgi?a=to&tid=26&tc=500 -ba ( Lejárt határidejű KÖMAL feladatokról )

[1325] BohnerGéza

2009-12-02 22:57:49

HoA! Szép!

Ennek a feladatnak egy sok számolásos megoldásáról hallottam, sajnos nem láttam. Az inverzióval átalakított feladatot azért írtam, hátha sikerül egy, az utolsó mondatodnak megfelelő, megoldás összehozni. (Nem adtam föl.)

Előzmény: [1324] HoA, 2009-12-02 21:15:22

[1324] HoA	2009-12-02 21:15:22
Az egység sugarú k körön jellemezzük S helyzetét az ST’T = $\phi$ szöggel. k* sugara legyen r. Az AB ív felezőpntja C, k₁ és k₂ metszéspontja D, k* középpontja O, O és S merőleges vetülete TT’ –re E illetve F, végül k₂ és k₃ metszéspontja M. A akkor és csak akkor van az MO egyenesen, ha az ATO és ABM derékszögű háromszögek hasonlók, vagyis ha $\frac{BM}{TO} = BM = \frac{AB}{AT}$ . S a k és k* körök hasonlósági középpontja, így OO=r-1 és CT=(r-1)TS . T’S=2cos $\phi$ , SF=2cos $\phi$ sin* $\phi$ és így OE=m=2cos $\phi$ sin* $\phi$ (r-1) . Legyen az AB húr hossza 2h . $\frac {BM}{TT’} = \frac {BM}{2} = \frac{BD}{TD} = \frac{TD + m -h}{TD} = \frac{ 2 tg \phi + m -h}{ 2 tg \phi }$ , $BM = \frac{ 2 tg \phi + m -h}{ tg \phi }$ Erről kell belátni, hogy megegyezik $\frac {AB}{AT}$ -vel, vagyis $\frac {2 h}{h + m}$ -mel. Felhasználjuk, hogy a szelőtétel értelmében AT^.TB=CT^.TS , (h+m)(h-m)=2sin $\phi$ ^.(r-1)2sin $\phi$ =4(r-1)sin² $\phi$ . $BM = \frac{ 2 tg \phi + m - h }{ tg \phi } = \frac {2 h}{h + m}$ , (2tg $\phi$ +m–h)(h+m)=2h^.tg $\phi$ =2tg $\phi$ (h+m)–(h-m)(h+m)=2h^.tg $\phi$ +2mtg $\phi$ -(h-m)(h+m) . 2mtg $\phi$ =(h-m)(h+m) A baloldal 2mtg $\phi$ =4cos $\phi$ sin $\phi$ (r-1)tg $\phi$ =4(r-1)sin² $\phi$ , a feltétel teljesül. Jó lenne egy szemléletesebb megoldás, esetleg az inverzió előtti feladatra is.

Előzmény: [1315] BohnerGéza, 2009-11-24 21:26:53

[1323] HoA	2009-11-30 15:29:28
A kör középpontján áthaladó körökkel és egyenesekkel a feladat nagyon inverzió szagú. Megadom az inverzióval keletkező feladatot és ábráját (zöld vonalak) , mert a megoldás így sem triviális. Jelöljük k-val az O középpontú, az S és T ponton átmenő kört, T’-vel a T-ből induló átmérő másik végét. Legyen k₁ k T-beli érintője, k₂ az ST' egyenes. Jelöljön k* egy k-t magába foglaló és S-ben érintő kört. k* és k₁ metszéspontjai legyenek A és B. Legyen k₃ a B-n átmenő TT'-vel párhuzamos egyenes. Bizonyítandó, hogy a k₂ és k₃ metszéspontján valamint O-n áthaladó egyenes tartalmazza A-t.

Előzmény: [1315] BohnerGéza, 2009-11-24 21:26:53

[1322] BohnerGéza

2009-11-27 13:29:45

Egy észrevétel, ami segítheti a megoldást:

Jelölje k2 és k3 O-tól különböző metszéspontja C. Úgy tűnik, hogy ABC szög derékszög, azaz BC párhuzamos k1-k* centrálisával.

Előzmény: [1321] BohnerGéza, 2009-11-27 02:30:00

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?