Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1355] sakkmath2010-01-06 16:51:48

A következő feladatomat ajánlom megoldásra. (A megoldás végén valószínűleg elkerülhetetlen lesz számítógépes program használata. Ha ezért kissé kilógna e topicból, elnézést ... .)

(Kb.) 162. feladat: Egy hegyesszögű, nem egyenlő szárú háromszög területe T, oldalainak hossza a, b és c. A háromszög valamennyi magassági talppontján át húzzunk párhuzamost a talpponti oldallal szemközti csúcs szögfelezőjével. Tekintsük az így kapott egyeneseknek a szögfelező egyenesekkel alkotott metszéspontjait. Bizonyítsuk be, hogy e pontok két egyenlő területű háromszöget határoznak meg, melyek t1, illetve t2 nagyságú területére:

[1354] HoA2010-01-06 11:16:29

Egyetértek. De ha már előjött a kérdés, járjunk a végére. sin 2\alpha = 2 sin  \alpha  cos \alpha = 2 \cdot \frac {a}{2 R } \cdot \frac {b^2 + c^2 - a^2}{2 b c} Hasonlóan  sin 2 \beta = 2 \cdot \frac {b}{2 R } \cdot \frac {c^2 + a^2 - b^2}{2 c a} A kettő hányadosa

 \frac {sin 2\alpha  }{ sin 2 \beta } =  \frac {a}{b} \frac {a (b^2 + c^2 - a^2) }{b(c^2 + a^2 - b^2)} = \frac {a^2 (b^2 + c^2 - a^2) }{b^2 (c^2 + a^2 - b^2)}

, a módszer helyes.

Előzmény: [1351] SmallPotato, 2010-01-05 22:44:52
[1353] laci7772010-01-05 22:59:40

Hát igen... Nekem meg épp ez a feladat volt elsőre (meg másodikra is...:P) megoldhatatlan.

Azért szerintem a túlzott szerénységre nincs okod:)

Köszönöm és további szép estét: Laci

Előzmény: [1352] SmallPotato, 2010-01-05 22:47:32
[1352] SmallPotato2010-01-05 22:47:32

Nagyon szívesen - én köszönöm a dícséretet. :-)

Itt az a jó, hogy mindenki talál a maga szintjéhaz illő "kihívást". Nekem épp ez a feladat jött be.

Előzmény: [1350] laci777, 2010-01-05 22:43:06
[1351] SmallPotato2010-01-05 22:44:52

[1341] és eredete

Fiatal barátunk kissé türelmetlen, egyszersmind bizalmatlan is, már bocsánat.

Ha levezetni nem akarja, legalább bízna a tudásban és a jóakaratban ... (amúgy az indexen is két helyen is közzétette a problémáját.)

Előzmény: [1349] HoA, 2010-01-05 22:31:51
[1350] laci7772010-01-05 22:43:06

Kedves SmallPotato!

Nagyon szépen köszönöm az elegáns megoldást - bár lehet, itt ez a példa nem lehetett komolyabb kihívás.

Nem vettem észre a hasonló háromszögeket (sem)...

Még egyszer köszönöm!

További szép estét, szia: Laci

Előzmény: [1348] SmallPotato, 2010-01-05 22:15:41
[1349] HoA2010-01-05 22:31:51

Ja, az más. Ha biztosra akarsz menni, használd [1343] lépéseit. Vagy kérdezd meg [1341] szerzőjét, ő hogy jutott erre az eredményre.

Előzmény: [1346] Tym0, 2010-01-05 21:17:10
[1348] SmallPotato2010-01-05 22:15:41

A hasonló háromszögekből, jelöléseiddel:

\frac r m = \frac {R} {\sqrt{r^2+m^2}-r}

Ebbe helyettesítsd be m-et az általad felírt képletből kifejezve, és oldd meg a kapott egyenletet r-re.

Előzmény: [1347] SmallPotato, 2010-01-05 22:09:51
[1347] SmallPotato2010-01-05 22:09:51

Rajzold fel az elrendezésnek a kúp tengelyén átmenő síkmetszetét. Rajzold be a gömb két sugarát: a kúp alapkörének középpontjába irányulót és az alkotóra merőlegest. Az ábrádon két hasonló derékszögű háromszög lesz: az egyiknek a befogói a kúp alapkörének sugara és a kúp magassága, a másiknak a befogói az alkotóra merőlegesen berajzolt gömbsugár és az alkotónak a kúp csúcsa felé eső szelete. Írd fel a befogók arányát mindkét háromszögben.

Előzmény: [1342] laci777, 2010-01-05 19:41:20
[1346] Tym02010-01-05 21:17:10

Bocs de nekem nincs se időm se türelmem bizonyítani. Én biztosra akarok menni. Elkezdtem csinálni. egyébként mástól kaptam. Remélem jó lesz.

Előzmény: [1345] HoA, 2010-01-05 21:15:15
[1345] HoA2010-01-05 21:15:15

Nem tudom, nem számoltam végig. Ha a [1341]-ben leírtakat saját magad találtad ki, nyilván tudod, miért. Ha mástól vetted át, akkor dolgozz egy kicsit: bizonyítsd vagy cáfold [1343] utolsó képletét.

Előzmény: [1344] Tym0, 2010-01-05 20:26:30
[1344] Tym02010-01-05 20:26:30

Na most megint jól bekavartál. CSak annyit mondj hogy jó az amit az 1341-es hozzászólásomban írtam. Úgy kijön az általam keresett megoldás?

Előzmény: [1343] HoA, 2010-01-05 19:55:45
[1343] HoA2010-01-05 19:55:45

Ismert, hogy a háromszög körülírt körének K középppontját a csúcsokból álló pontrendszer súlypontjaként úgy tudjuk előállítani, hogy a csúcsokat a megfelelő szögek kétszeresének sinusával súlyozzuk. Lásd pl. Reiman István: Geometria és határterületei:

{\bf K} = \frac{{\bf a} sin 2\alpha + {\bf b} sin 2\beta + {\bf c} sin 2 \gamma}{ sin 2\alpha  + sin 2\beta + sin 2 \gamma }

[1341]-ben a1,a2,a3 a (sík)háromszög oldalhosszainak négyzetei, a b1,b2,b3 súlyok a háromszög oldalait hagyományosan a,b,c-vel jelölve az

a2(b2+c2–a2),b2(c2+a2–b2),c2(a2+b2–c2)

mennyiségek. x,y,z a csúcsok ilyen súlyokkal vett súlypontjának koordinátái. Az nem baj, hogy a súlyok összege nem 1, és így a súlypont nincs a háromszög síkjában, mert az utolsó képlettel úgyis a gömbre vetíted. A megoldás akkor helyes, ha be tudod bizonyítani, hogy a súlyok aránya megfelelő, vagyis például

\frac { a^2 ( b^2 + c^2 - a^2 )  }{ b^2( c^2 + a^2 - b^2) } = \frac { sin 2\alpha }{ sin 2\beta }

Előzmény: [1341] Tym0, 2010-01-05 18:27:01
[1342] laci7772010-01-05 19:41:20

Sziasztok, és b.ú.é.k. mindenkinek!

A Geometriai feladatok gyűjteménye I. 2776-os feladata sajnos megfogott. Tudna valaki segíteni benne? A feladat: Adott R sugarú gömbk köré írjunk olyan egyenes körkúpot, hogy térfogatának és a gömb térfogatának aránya adott k legyen. Határozzuk meg a kúp alapkörének a sugarát (r-t).

Addig jutottam, hogy r négyzet*m = 4*R köb*k (azaz gyakorlatilag semeddig), de a körkúp magassága (m), alkotója és sugara kívánatos aránya már kifogott rajtam.

Minden segtséget előre is köszönök! Sziasztok: Laci

[1341] Tym02010-01-05 18:27:01

Ehhez mit szóltok? Vagy ez ugyanaz amit ti mondtatok? Szerintem ez jó lesz. Szerintetek?

A gömb középpontja legyen az origó, a gömb sugara legyen R.

A kiindulási pontok a gömbön legyenek (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3).

Sorra számold ki az alábbi mennyiségeket:

a1 := (x2-x3)2 + (y2-y3)2 + (z2-z3)2

a2 := (x3-x1)2 + (y3-y1)2 + (z3-z1)2

a3 := (x1-x2)2 + (y1-y2)2 + (z1-z2)2

b1 := a1*(a2+a3-a1)

b2 := a2*(a3+a1-a2)

b3 := a3*(a1+a2-a3)

x := b1*x1 + b2*x2 + b3*x3

y := b1*y1 + b2*y2 + b3*y3

z := b1*z1 + b2*z2 + b3*z3

c : = R/gyök(x2+y2+z2)

A gömbön a körülírt kör középpontjának keresett koordinátái (c*x,c*y,c*z).

Előzmény: [1340] HoA, 2010-01-05 11:40:36
[1340] HoA2010-01-05 11:40:36

Az eddigiek alapján a lépések:

-Adottak A, B, és C földrajzi koordinátái, északi szélesség = \phi , keleti hosszúság = \alpha

-Átszámítjuk Descartes-koordinátákba : Pz=sin\phi;Px=cos\alpha,Py=sin\alpha ( P = A,B,C )

-Válasszuk úgy a jelölést, hogy ABC pozitív körüljárású \Delta legyen

-Képezzük az N = (B-A) x (C-A) vektorszorzatot, ez a gömb középpontjából kifelé mutat.

-A keresett középpont földrajzi koordonátáit az előzőek alapján kapjuk: sin \phi=Nz/|N| , tg \alpha=Ny/Nx

Előzmény: [1334] Tym0, 2010-01-04 22:31:59
[1339] HoA2010-01-05 11:14:08

„Mindenkinek” igaza van, függetlenül attól, hogy gömbi vagy Descartes koordinátákat használunk.

-a gömb 3 különböző pontja, mint 3 térbeli pont, meghatároz egy S síkot

-ez a sík a gömböt egy körben metszi, és mivel a 3 pont a síkon is és a gömbön is rajta van, ez a kör éppen a 3 pont által meghatározott háromszög körülírt köre

-A BohnerGéza által javasolt vektorszorzat S (egy) N normálvektora, tehát S-re merőleges.

-A gömb középpontjából a gömböt metsző S síkra bocsátott N merőleges S –et a gömb és S metszésvonalát képező kör középpontjában döfi ( szimmetria ) . Talán ez hiányzott a leírtakhoz.

-N a gömböt abban a pontban metszi, amelyik egyenlő távolságra van a 3 adott ponttól – a földgömbnek ebbe a ponjába beszúrt körzővel a 3 ponton áthaladó kört lehet rajzolni

-A körközéppont földrajzi koordinátáinak meghatározásához N hossza lényegtelen. A Descartes koordinátáknak csak itt van szerepe. Ha a földrajzi szélességet \phi-vel, a hosszúságot \alpha–val jelöljük, akkor sin \phi=Nz/|N| , tg \alpha=Ny/Nx

Előzmény: [1338] sakkmath, 2010-01-05 09:59:14
[1338] sakkmath2010-01-05 09:59:14

Szerintem Jonasnak (1328) igaza van akkor, ha a gömbháromszög csúcsai euklideszi koordinátákkal adottak.

Ha viszont az adott koordináták gömbi, földrajzi koordináták, akkor az eddigi hozzászólások nem érvényesek, ugyanis a többi hozzászóló is euklideszi koordinátarendszerben gondolkodott.

Előzmény: [1336] Tym0, 2010-01-05 01:38:08
[1337] Fálesz Mihály2010-01-05 09:59:07

Igaza van Bohner Gézának, egy kicsit túlbonyolítottam. :-)

Előzmény: [1331] Tym0, 2010-01-04 21:09:49
[1336] Tym02010-01-05 01:38:08

Ez mind oké. De foylton síkot említesz. Egy gömfelületen levő háromszög nem lehet sík hiszen a gömbnek a felületén van. Vagy én vagyok a hülye és én nem értem...

Előzmény: [1335] BohnerGéza, 2010-01-04 23:08:22
[1335] BohnerGéza2010-01-04 23:08:22
Előzmény: [1334] Tym0, 2010-01-04 22:31:59
[1334] Tym02010-01-04 22:31:59

A lépéseket próbáld meg leírni lécci. Most ott tartok hogy van 3 (a háromszög csúcspontjai) + 3 (a háromszög oldalainak felezőpontjai) koordinátapontom (amik ugye x,y,z koordináták mert térről beszélünk). És ugye a göm középpontjának koordinátja ami ugye x,y,z alakban 0,0,0. Ezután mi jön? Mik a lépések?

[1333] BohnerGéza2010-01-04 21:25:57

Vektorokkal egyszerűen megy:

Vegyük a gömb kp-jából a kör kp-jába mutató vektort, osszuk a hosszával, szorozzuk a gömb sugarával, majd a gömb kp-jából indítva a keresett pontba mutat.

Előzmény: [1332] BohnerGéza, 2010-01-04 21:14:01
[1332] BohnerGéza2010-01-04 21:14:01

Mivel egyforma húrokhoz egyforma gömbi távolságok tartoznak:

Térben a három ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza: a háromszög körülírt körének középpontjában a síkjára állított merőleges. Esesükben ezen rajta van az eredeti gömb középpontja is.

Tehát keressük a körülírt kör kp-ján és a gömb kp-ján átmenő egyenesnek és a gömbnek a megfelelő oldalon lévő metszéspontját.

(Ha nem elég, folytatom.)

Előzmény: [1329] Tym0, 2010-01-04 20:40:33
[1331] Tym02010-01-04 21:09:49

kicsit érthetőbben? Mert ez nekem magas

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]