Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1496] Róbert Gida2011-04-19 02:56:20

nadorp szerintem hallott már a Bolzano tételről... Amúgy miért baj, a nulla sugarú kör? Formálisan miért nem nézhetnéd az egyenletet? [t egy változó] A megoldás (0,1)-beli, azaz nem lesz nulla sugarú kör a megoldás. Ugyanez van a másik oldalon.

Amúgy ezeknek a klasszikus tételeknek vannak javított változatai. Amikor nyílton folytonos és egyoldali limesz van a végpontokban stb.

Előzmény: [1495] gubanc, 2011-04-19 02:13:48
[1495] gubanc2011-04-19 02:13:48

Szia nadorp!

A folytonos függvényekre vonatkozó Bolzano tételt próbáltad alkalmazni, amely így szól:

Ha a g függvény az [a, b] zárt intervallumon folytonos és g(a), g(b) különböző előjelűek, akkor az intervallumban van olyan c pont, amelyre g(c) = 0.

0 sugarú beírt kör nem értelmezhető, így fennáll, hogy 0 <\rho < x és z < 2R = \frac12 , ahol a háromszög köré írt kör sugara: R = \frac14 . A távolságokra megadott egyenlőtlenséglánc tehát így teljes: 0 <\rho < x \le y \le z < \frac12. (*)

A leírtak következménye: az általad előállított f függvény a t = 0 helyen nincs értelmezve, hiszen \rho> 0 egyben \alpha> 0-t is jelenti. A másik végponttal is baj van, hiszen a t = 1 = \sin \frac{\alpha}2 egyenlőségből következne, hogy \alpha=180°, ami egy háromszöben szintén lehetetlen. Az f függvény tehát nem tesz eleget a Bolzano tétel feltételeinek, így a tétel itt nem alkalmazható. Ezzel megcáfoltuk az állításod, mely szerint „ nálam minden x, y, z távolságra van megoldás”.

A (*) tartományon kívül eső \alpha szögek nem adnak megoldást.

(Egyébként jó, hogy ez a probléma is felmerült, mert roppant tanulságosnak tartom. Akár a "Híres(?) álbizonyítások" témába is át lehetne másolni ...)

E kis kitérő után visszatérhetünk az euklidészi szerkeszthetőség vizsgálatára.

Előzmény: [1494] nadorp, 2011-04-17 10:32:14
[1494] nadorp2011-04-17 10:32:14

Nem tudom, mit számoltam el, de nálam minden x,y,z távolságra van megoldás ( az más kérdés, hogy ez szerkeszthető-e). Vázlatosan:

Tegyük fel, hogy x\ley\lez. Ekkor

x\sin\frac\alpha2=y\sin\frac\beta2=z\sin\frac\gamma2=\rho, ahol \rho a beírt kör sugara.

x\sin\frac\alpha2=y\sin\frac\beta2=z\cos\frac{\alpha+\beta}2

x\sin\frac\alpha2=z\sqrt{\left(1-\sin^2\frac\alpha2\right)\left(1-\frac{x^2}{y^2}\sin^2\frac\alpha2\right)}-z\frac{x}{y}\sin^2\frac\alpha2

xz\sin^2\frac\alpha2+xy\sin\frac\alpha2-z\sqrt{\left(1-\sin^2\frac\alpha2\right)\left(y^2-x^2\sin^2\frac\alpha2\right)}=0

Négyzetre emeléssel és rendezéssel valóban egy harmadfokú egyenletet kapunk \sin\frac\alpha2-re, de most nem ez a lényeg, hanem

\sin\frac\alpha2=t jelöléssel a bal oldalon egy olyan, a [0,1] intervallumon mindenhol értelmezett ( felhasználtuk, hogy y\gex ), folytonos f(t) függvény áll, amelyre

f(0)=-zy<0 és f(1)=xz+xy>0, tehát létezik zéróhelye a (0,1) intervallumon. Hol a hiba? Nem látom, hogy az így kapott \frac\alpha2 szög mikor nem ad megoldást?

Előzmény: [1493] gubanc, 2011-04-16 21:06:36
[1493] gubanc2011-04-16 21:06:36

Legyenek az 1/4 sugarú körbe írt ABC háromszög szögei \alpha, \beta, \gamma. A beírt kör középpontjának az A, B, C csúcsoktól mért távolságai x, y, z. Ezeket kaptam (a részleteket most mellőzöm): x = \sin \frac{\beta}2 \cos\frac{\alpha + \beta}2, y = \sin \frac{\alpha}2 \cos\frac{\alpha + \beta}2, z = \sin \frac{\alpha}2 \sin\frac{\beta}2.

Ezekből kiindulva egyelőre nem tudom kihozni, hogy mely (\alpha,\beta) szögpárra szerkeszthető meg az x, y, z távolságokból egy háromszög. Csak a korábban említett halvány "gyanú" merült fel bennem.

A Te harmadfokú egyenleted viszont biztatónak tűnik. Esetleg fel tudnád tenni?

Előzmény: [1492] Maga Péter, 2011-04-14 19:56:58
[1492] Maga Péter2011-04-14 19:56:58

Én egy harmadfokú egyenletet kaptam. Abból a szerkeszthetőség kérdése (konkrétan megadott kezdeti adatokból) mindig könnyen eldönthető. Az nem világos nekem, hogy a tartományt hogyan lehetne egyszerűen leírni, bár nem is nagyon gondolkodtam rajta. Lehet, hogy nem nehéz, de az is lehet, hogy ennél lényegesen egyszerűbb leírást nem is lehet adni.

Előzmény: [1491] gubanc, 2011-04-14 16:47:40
[1491] gubanc2011-04-14 16:47:40

Köszönöm, hogy végigszámoltad. Én is ilyen következtetésre jutottam. Ha jól értem, ez azt jelenti, hogy 1-ből hiányzik a szerkeszthető háromszögeket megadó értelmezési tartomány. Ezzel el is jutottunk 2-höz.

Előzmény: [1490] Maga Péter, 2011-04-13 16:24:00
[1490] Maga Péter2011-04-13 16:24:00

Csak az 1-re: könnyen lehet, hogy valamit elszámoltam, de nekem az jött ki, hogy nem mindig szerkeszthető.

Előzmény: [1489] gubanc, 2011-04-13 14:41:02
[1489] gubanc2011-04-13 14:41:02

Sziasztok!

Kigondoltam egy feladatot, de nem jövök rá, hogyan kellene hozzáfogni és megoldani. Íme:

1. Szerkesszük meg a háromszöget, ha adottak a beírt kör középpontjának a csúcsoktól mért távolságai.

És/vagy:

2. Melyek azok a háromszögek, amelyek megszerkeszthetők, ha adottak a beírt kör középpontjának a csúcsoktól mért távolságai?

A 2.-nál arra gyanakszom, hogy a keresett háromszögek szögei a nevezetes szögekből származtathatók … (Ha mégsem, vagy nem jók a feladatok, bocsi előre is.)

Köszönettel: gubanc

(Sok van, mi csodálatos, de a Geometriánál nincs semmi csodálatosabb! :)

[1488] jonas2011-04-11 18:55:57

Tehát ez volt a feladat! Jó, hogy kitaláltad.

Előzmény: [1487] HoA, 2011-04-11 14:41:37
[1487] HoA2011-04-11 14:41:37

Komolyra fordítva: Legyen k1 és k2 két egymást metsző kör, metszéspontjaik C és D. k2 kör k1-en kívül eső CD ívén vegyünk fel egy P pontot. A PD és PC egyenesek k1-gyel alkotott második metszéspontja legyen A illetve B . Bizonyítsuk be, hogy az AB=a szakasz hossza független P választásától.

Előkészítésül tekintsünk egy ABCD húrnégyszöget, ahol AB=a>CD=c . A BC és AD egyenesek metszéspontja legyen P . ABCD körülírt körében legyenek az oldalakhoz mint húrokhoz tartozó kerületi szögek \alpha,\beta,\gamma,\delta . Ekkor ABCD szögeinek összege 2.(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360o , tehát \alpha+\beta+\gamma+\delta=180o . A BPA szöget \epsilon-nal jelölve az ABP háromszögben \beta+2\gamma+\delta+\epsilon=180o=\alpha+\beta+\gamma+\delta , ahonnan \epsilon=\alpha-\gamma

Feladatunkra alkalmazva az eredményt, a mi ABCD húrnégyszögünkben CD=c rögzített, így \gamma állandó, BPA\angle=\epsilon=CPD\angle állandó, mint k2-ben a CD húrhoz tartozó kerületi szög, ezért \alpha=\epsilon+\gamma is állandó, vagyis k1 -ben az AB húrhoz tartozó kerületi szög és így AB=a hossza is független P helyzetétől.

Előzmény: [1482] eperke, 2011-04-10 15:38:14
[1486] HoA2011-04-11 08:17:58

Mi az, ami adott? Például: adott két egymást metsző, egyébként tetszőleges kör ... Ahogy a kérdést feltetted, biztosan nem igaz az állítás: Ha kétszer akkora ábrát rajzolok, az a szakasz is kétszer akkora lesz - akármelyik is legyen az ábrán az a szakasz - mert én azt sem látom, melyik az.

Előzmény: [1482] eperke, 2011-04-10 15:38:14
[1485] eperke2011-04-10 17:17:34

Ez így jó lesz?Nagyobbra nem megy..:S

[1484] jonas2011-04-10 16:21:47

A 80-szor 100 pixel méret az avatarra vonatkozik, ami minden hozzászólásod mellett megjelenik. A csatolt ábra lehet nagyobb is, bár az sem lehet túl nagy.

Előzmény: [1482] eperke, 2011-04-10 15:38:14
[1483] Radián2011-04-10 16:10:05

Hello!

Nem tudnál egy nagyobb képet bevágni, vagy linket küldeni ahol nagyobb méretben, jó felbontásban láthatjuk az ábrát, mert (legalábbis én) így nem tudok segíteni.

Előzmény: [1482] eperke, 2011-04-10 15:38:14
[1482] eperke2011-04-10 15:38:14

Hali.Egy kis segítségre lenne szükségem. Azt kell belátni , hogy az a szakasz mindig ugyanolyan hosszú.

[1481] Füge2011-01-19 18:49:05

Jajj elnézést az utolsót visszavonom elnéztem a kettest :)

[1480] Füge2011-01-19 18:47:45

Ja és igen a megadott képleted is hibás, ugyanis

T=\frac{ab}2=\frac{cm_c}2 tehát m_c=\frac{ab}{c}

[1479] Füge2011-01-19 18:36:42

Arra gondoltam, hogy melyik az a legszűkebb intervallum, amelybe mindenképp beleesik az \frac{r}{m} hányados.

[1478] Radián2011-01-19 18:23:11

Gyanítom, hogy félreértettem a feladatod de talán a hibás eredményemből majd kiderül mire is gondoltál. Szerintem: r/m=(a+b-c)c/2ab ahol r a beírt kör sugara, m az átfogóhoz tartozó magasság hossza míg a két befogót a ill b-vel az átfogót pedig c-vel jelöltem. Igazából nem értem, hogy ezt miért becsülni kell s nem kiszámolni...

Előzmény: [1477] Füge, 2011-01-19 15:01:45
[1477] Füge2011-01-19 15:01:45

Egy könnyebb feladat, de nekem tetszett.

174.feladat: Egy tetszőleges derékszögű háromszögben adjuk minél jobb közelítést a beírt kör sugarának és az átfogóhoz tartozó magasságnak a hányadosára.

[1476] HoA2011-01-07 21:52:17

Ha a P ponton átmenő, sugárra merőleges húr hossza 2a, egy másik húrt a P pont b és c hosszúságú szakaszokra oszt, akkor a szelőtételből

a2=b.c

és a számtani - mértani közép tételből

 b + c \ge 2 \sqrt{ bc} = 2\sqrt{a^2} = 2 a

Előzmény: [1465] Nánási József, 2010-12-30 22:47:46
[1475] HoA2011-01-07 21:39:13

Egy kis segítség : Mi jellemzi a P középpontú hasonlóságoknál a k kör képeit?

Előzmény: [1474] BohnerGéza, 2011-01-03 13:45:49
[1474] BohnerGéza2011-01-03 13:45:49

173. feladat: Adott két kör és egy pont. Szerkesztendő az a középpontos hasonlóság, melynek középpontja az adott pont és melynél az egyik kör képe érinti a másik adott kört.

[1473] lorantfy2011-01-02 20:37:12

Persze, úgy is jó. Szerintem nem kell bizinyítás.

Előzmény: [1472] Füge, 2011-01-02 14:08:50
[1472] Füge2011-01-02 14:08:50

Én deriváltam a parabola egyenletét (mert y=ax2+bx+c alakú volt), és azt tettem egyenlővé a kapott meredekséggel, onnan számoltam pontot, majd m(x-x0)=y-y0 A feladat többi részével nem volt gond, csak azon filóztam, hogy kell-e bizonyítás, vagy sem :)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]