Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1600] jonas2012-10-24 10:12:39

Jaj. Gondoltam, hogy kell lennie egyszerűbb megoldásnak is. Akkor a derékszögű háromszöget csak a feladat második fele miatt adták föl?

Előzmény: [1599] Blinki Bill, 2012-10-24 06:57:11
[1599] Blinki Bill2012-10-24 06:57:11

Mivel F felezi az ívet, ezért CF a C-nél levő szög szögfelezője és az AB oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja a szögfelező-tétel miatt. Az arány 3:4, így a 35cm-t kell ilyen arányban bontani, adódik 20cm és 15cm.

Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04
[1598] jonas2012-10-23 22:49:11

Itt egy ábra is a feladathoz.

Előzmény: [1597] jonas, 2012-10-23 22:26:48
[1597] jonas2012-10-23 22:26:48

A feladat első részéhez vedd észre, hogy a háromszög derékszögű.

Tegyük fel, hogy a BC oldal hossza 21 cm, az AC oldalé pedig 28 cm. Koordinátázzuk úgy a síkot, hogy a háromszög körülírt körének a középpontja legyen az origó, az A pont legyen a (-17.5 cm, 0), a B legyen (17.5 cm, 0), a C második koordinátája pedig legyen pozitív.

Jelölje T a C-hoz tartozó magasság talppontját. A talppont az AB átfogón úgy helyezkedik el, hogy az AT távolság egyenlő az AC befogó négyzete osztva az átfogóval, vagyis 22.4 cm. Ebből a T koordinátái (4.9 cm, 0). A CT magasság hossza egyenlő a befogók szorzata osztva az átfogóval, vagyis 16.8 cm, így a C koorindátája (4.9 cm, 16.8 cm).

Mármost az F pont a feladat szerint annak az ívnek a felezőpontja, aminek az átmérője az A és a B pont, ezért az F koordinátái (0, -17.5 cm). Ebből a CF szakasz metszete az AB koordinátatengellyel, amit hívjunk R-nek, (4.9cm.17.5cm/(17.5cm+16.8cm),0) = (-2.5cm,0). Ebből pedig az AR szakasz hossza 20 cm, az RB szakasz hossza pedig 15 cm.

Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04
[1596] jonas2012-10-23 22:01:37

Nem értem a feladatot. Az N pontot honnan kapod?

Előzmény: [1595] Kásás János, 2012-10-23 20:10:04
[1595] Kásás János2012-10-23 20:10:04

Segítséget szeretnék kérni tőletek, mert nem tudom megoldani a gyermekem házi feladatát:

Az ABC háromszög oldalainak hossza 21, 28 és 35 cm. A háromszög köré írt kört a háromszög csúcsai három ívre bontják. Ezek közül a leghosszabb ív felezőpontja F. Kössük össze F-et a háromszög szemközti csúcsával (legyen ez a csúcs C). Mekkora részre bontja a CF szakasz az AB szakaszt? Tükrözzük a C pontot az AN szakasz egyenesére (C’). Mekkora részre bontja a CC’ szakasz az AB oldalt?

A szögfüggvényeket még nem tanulták, azokat nem lehet használni.

Fáradozásotokat előre is megköszönve.

Tisztelettel: Kásás János

[1594] HoA2012-08-16 21:51:44

A 181.feladat elemi megoldása: Legyenek az ABCD érintőnégyszög beírt körének szemközti E,G ill. F,H érintési pontjait összekötő húrok e1 és e2 . Legyen AEG\angle=EGD\angle=\epsilon,CFH\angle=FHD\angle=\phi . Az érintőnégyszög szemközti, B-nél és D-nél lévő szögeinek összege az M-nél derékszögű MGDH és MEBF négyszögekből \beta+\delta=(36090-\epsilon-\phi)+(360-90[180-\epsilon][180-\phi])=180 fok. ABCD tehát egyúttal húrnégyszög is. BDC\angle=BAC\angle , AEM és DGM háromszögek hasonlóak, M-nél lévő AME és DMG szögeik egyenlőek. Így egyenlőek az ezeket a szögeket 90 fokra kiegészítő AMH és DMH szögek is, vagyis e2 felezi az AC és BD átlók által bezárt szöget.

Előzmény: [1569] m2mm, 2012-05-27 18:19:14
[1593] m2mm2012-08-14 10:50:14

Projektív megoldást találtam én is, elemi engem is érdekelne.

Ma böngészve régebbi KöMaL-példák között találtam a B.3680. feladatra, ami tulajdonképpen a 181. feladat nemtriviális része, így egy újabb megoldást rakhatunk a feladathoz, a hivatkozásban láthatunk egy újabb bizonyítást.

B.3680

Előzmény: [1570] Vonka Vilmos Úr, 2012-05-27 20:25:16
[1592] Zilberbach2012-08-13 22:07:52

Elnézést a telhetetlenségemért. Magyarul nincs valami a témában?

Előzmény: [1589] Lóczi Lajos, 2012-08-13 09:42:33
[1591] Gézoo2012-08-13 09:48:15

Köszönöm szépen, a 2. nagyon jó, (csak kár, hogy nem magyar).

Előzmény: [1589] Lóczi Lajos, 2012-08-13 09:42:33
[1590] Gézoo2012-08-13 09:47:25

Na ez az! Ezt kérdeztem. Köszönöm szépen a választ!

Előzmény: [1588] Fálesz Mihály, 2012-08-13 09:07:23
[1589] Lóczi Lajos2012-08-13 09:42:33

Esetleg ezt a két dokumentumot (1 és 2) is érdekes lehet tanulmányozni a kiinduláshoz.

Előzmény: [1587] Gézoo, 2012-08-13 08:23:50
[1588] Fálesz Mihály2012-08-13 09:07:23

Állandó görbületű felületeken (terekben) is igaz, hogy ha AB egy kör (gömb) átmérője, C pedig egy harmadik pont a körvonalon (gömbfelületen), akkor az ABC háromszög C-nél levő szöge egyenlő a másik két csúcsnál levő szög összegével.

Előzmény: [1587] Gézoo, 2012-08-13 08:23:50
[1587] Gézoo2012-08-13 08:23:50

Ez nyilvánvaló. Alapból a \Pi szimbólum a kör kerületének és átmérőjének arányát jelöli. Az Eukledeszi geometria mint elvi felvetés, kizárólag olyan alakzatokra érvényes amelyek "közelében" ( azaz végtelen nagy távolságon belül) nincs anyag amely "deformálná" a téridőt. Vagyis a világmindenségben sehol sem érvényes, mert nincs olyan térrész ahol ne lenne téridő görbület. Ebből következően, a valós testek, "síkidomok" esetében a Pi értéke, még elvileg sem lehet állandó.

Egy példával: "Ha például az asztalon felállítunk három darab gúlát és a csúcsaikat összekötő síkról azt feltételezzük, hogy az valóban sík, akkor tévedünk, mert a téridő görbületet nem vettük figyelembe. Azaz mi a képzeletünkben hiába egy síkot ültetünk a három csúcsra, a csúcsokat érintő 2D-s felszín az domború. Egészen pontos legyek, a fel-le irány figyelembe vételével, akkor homorú. Mégpedig egy parabolikus forgásfelület. (Forgási paraboloid.)

Azaz ha ezen paraboloidon lenne egy kör átmérője (vagy egy gömb átmérőjén átmenő 2D-s felülete) akkor a kör alsó feléhez hajló átmérő hossza, nagyobb mint az alsó fél hossza/Pi/2 azaz ha a hosszok aránya (a definíció szerint ) adja a Pi értékét, akkor a Pi kizárólag csak a nem létező síkok esetében állandó értékű."

Viszont ez nem jelenti azt, hogy például Thales tételének általánosított formája ne lehetne érvényes a görbült terek alakzatai közül némelyekre.

Vagyis a kérdés, feltételezhető-e olyan alakzatok léte amelyekre érvényes Thales tétele.

Előzmény: [1586] Lóczi Lajos, 2012-08-11 22:05:20
[1586] Lóczi Lajos2012-08-11 22:05:20

Valóban nem értjük a kérdést továbbra sem. Mi az, hogy hogy egy alakzatban "eltér" a \pi értéke 3,14-től? Mit jelent nálad akkor a \pi szimbólum? Mi az, hogy "elvi sík"? Euklideszi sík? Vagyis esetleg nemeuklideszi geometriában gondolod feltenni a kérdést?

Előzmény: [1585] Gézoo, 2012-08-11 17:59:04
[1585] Gézoo2012-08-11 17:59:04

"Megkérlek, mondd ki Thálesz tételét abban az alakban, ami a szívedhez legközelebb áll. "

Továbbra sem érted a kérdést, felteszem más formában:

Olyan alakzatok közül amelyekben a \Pi értéke eltér az elvi síkon érvényes 3,14... értéktől, akadhat-e olyan amelyre érvényes lehet Thales tétele?

Előzmény: [1581] Kemény Legény, 2012-08-05 10:49:11
[1584] cocka2012-08-05 15:04:31

Köszönöm. Ez sokat segített.

Előzmény: [1583] Kemény Legény, 2012-08-05 13:29:31
[1583] Kemény Legény2012-08-05 13:29:31

A kérdés általánosan megválaszolható gráfelméleti úton, Euler poliéder-tételének felhasználásával, de adható egyszerű megoldás szögszámolással is.

Legyen a "külső" sokszög k0 csúcsú, továbbá legyenek "kivágva" belőle k1,...kn csúcsú sokszögek, azaz n db "lyuka" legyen a "fánknak". Továbbá tekintsünk egy háromszögelését a "fánknak" N db háromszöggel.

Először is felhasználjuk, hogy egy "lyuk" nélküli k-szög belső szögeinek összege=(k-2)*180°. /Erre később visszatérünk./

Ezután adjuk össze az összes háromszögben megjelenő szöget és adjuk hozzá a "lyukakat" alkotó sokszögek szögeit is: N*180°+(k1-2)*180°+...+(kn-2)*180° lesz az összeg.

Ezt az összeget azonban másként is megkaphatjuk: minden belső pont (összesen k1+...+kn darab) körüli 360°-os szöget és a külső sokszög belső szögeit összeadva épp ezt kapjuk, azaz:

N*180°+(k1-2)*180°+...+(kn-2)*180°=(k1+...+kn)*360°+(k0-2)*180°

Azaz N=2n-2+k0+k1+...+kn háromszög szerepel a felbontásban minden esetben. Ez összhangban van a tapasztalataiddal, ugyanis csúcsok száma=k0+k1...+kn. Tehát háromszögek száma=csúcsok száma + 2*lyukak száma -2.

Visszatérve az elejére, még be kellene látni, hogy minden nem lyukas sokszög szögeinek összege (k-2)*180°. Ez nem egy triviális állítás, sőt impliciten feltételeztük, hogy mindig létezik egyáltalán háromszögelés. Ha belegondolsz, nem is olyan egyszerű belátni, hogy minden sokszög háromszögelhető. Ha ugyanis tudjuk, hogy van háromszögelés, akkor belátható (gondold végig, miért), hogy található olyan háromszög, aminek a csúcsait 3 szomszédos csúcs adja, a háromszöget elhagyva pedig alkalmazható a teljes indukció.

A vége kicsit vázlatosra sikerült, de érdemes végiggondolni, miért is igazak a fentiek és hogyan megy ez precízen.

Előzmény: [1582] cocka, 2012-08-05 12:51:53
[1582] cocka2012-08-05 12:51:53

Sziasztok!

Nos nekem az lenne a kérdésem, hogy hogy lehet meghatározni hogy egy tetszőleges (pl. akár konkáv vagy fánkszerű) sokszög hány háromszögre bontható?

Rajzolgattam a Geogebrában és ilyenek jöttek ki:

geogebra példák

Annyit vettem észre, hogy ha fánkszerű az alakzat, akkor a kiindulási sokszög csúcsainak száma megegyezik azzal, ahány háromszögre az alakzat bontható.

Ha viszont nem fánkszerű, akkor a kiindulási sokszög csúcsainak száma -2 db háromszögre bontható.

Mitől függ ez? Van erre valami általános képlet amivel kiszámolható hogy egy-egy ilyen általános sokszög hány háromszögre bontható?

Másrészt nem vizsgáltam, de lehet akár egynél több üreg is a fánkszerű alakzatokban.

Köszönöm, ha válaszoltok.

[1581] Kemény Legény2012-08-05 10:49:11

Megkérlek, mondd ki Thálesz tételét abban az alakban, ami a szívedhez legközelebb áll. Miután megtetted, mondd meg, melyik, a tételben szereplő "alakzatot" szeretnéd általánosabbra cserélni.

Én megtettem. Kimondtam a tételt, majd utána annak egy általánosítását is. Az eredeti tételben levő "derékszög" és "körvonal" fogalmakat általánosabbra: "adott szög"-re és "két körív"-re cseréltem.

Tehát megismétlem a kérésem: mondd ki egy formájában a tételt, és jelezd, melyik pontján szeretnél általánosítani.

Előzmény: [1580] Gézoo, 2012-08-05 10:21:59
[1580] Gézoo2012-08-05 10:21:59

"Mi lenne, ha a matematikai jellegű topikokban nem homályos kérdéseket tennél fel, hanem elmondanád, mire is gondolsz? "

Mi ezen ami számodra homályos?

"Thales tételét még milyen alakzatokra alkalmazhatnánk úgy, hogy érvényes maradjon?"

Előzmény: [1579] Kemény Legény, 2012-08-04 18:41:49
[1579] Kemény Legény2012-08-04 18:41:49

Mi lenne, ha a matematikai jellegű topikokban nem homályos kérdéseket tennél fel, hanem elmondanád, mire is gondolsz?

Itt nincs helye mellébeszélésnek, mint az "Einstein tévedett"-jellegű parttalan vitáknak. Mondj ki egy állítást világosan, mit is szeretnél és hogyan általánosítani?

Hogy konstruktívabb legyek: Thálesz tétele (egyik megfogalmazásában) azt mondja ki, hogy azon pontok mértani helye, amelyekből egy adott szakasz derékszögben látszik, éppen a szakaszra mint átmérőre írt körvonal lesz.

Ennek általánosítása pl. a középponti-kerületi szögek tétele, ami (többek között) azt mondja, hogy azon pontok helye, amiből egy adott szakasz adott szögben látszik, két körív lesz, melyek a szakaszra szimmetrikusan helyezkednek el.

Előzmény: [1578] Gézoo, 2012-08-04 18:05:51
[1578] Gézoo2012-08-04 18:05:51

"Valószínűleg a Pitagorasz-tételre gondolsz." - nos, a kérdésemben ez áll:"Thales tételét még "

Valószínűleg tudnod kell a kettő közötti különbséget. Jól gondolom?

Előzmény: [1577] Hajba Károly, 2012-08-03 20:12:55
[1577] Hajba Károly2012-08-03 20:12:55

Valószínűleg a Pitagorasz-tételre gondolsz. Elvileg minden síkbeli alakzatra igaz, ha nagyítással ill. elfogatással/eltolással egymásba transzformálhatóak. Pl. ezen tényből következik a Hippokratész holdacskáinak helyessége is.

Előzmény: [1576] Gézoo, 2012-08-03 17:19:25
[1576] Gézoo2012-08-03 17:19:25

Bocs, hogy lustaságból hozzád fordulok a kérdéssel, de felmerült bennem az, hogy Thales tételét még milyen alakzatokra alkalmazhatnánk úgy, hogy érvényes maradjon?

Tudnál ebben segíteni?

Persze természetesen, mindenki más segítségét is megköszönöm!

Más is elmondhatja az érveit a kérdésről!

Előzmény: [1574] Fálesz Mihály, 2012-07-14 15:57:42

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]