Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[186] svejk2004-11-24 13:15:02
[185] Kós Géza2004-11-22 16:34:40

Kedves Géza,

Ezek szerint a kívülről érintő körökre gondoltál.

Invertáljuk a beírt kört és a BC egyenest az A középpontú, \sqrt{bc} sugarú körre, majd mindkettőt tükrözzük az A-ból induló szögfelelezőre. A B és C pont képe önmaga, a BC egyenes képe a körülírt kör, a beírt kör képe pedig az AB és AC félegyeneseket, valamint a körülírt kört érintő kör, vagyis kbc.

A beírt körnek az AB, AC félegyeneseken levő érintési pontjai az A ponttól s-a távolságra vannak. A kbc kör érintési pontjai ennek megfelelően \frac{bc}{s-a} távolságra vannak A-tól. A sugarak aránya ugyanaz, mint az érintő szakaszoké, tehát

r_{bc}=\frac{\frac{bc}{s-a}}{s-a}\cdot\varrho=
\frac{bc\varrho}{(s-a)^2}.

Mindhárom körre felírva és összeszorozva,

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca}=
\frac{a^2b^2c^2\varrho^3}{(s-a)^2(s-b)^2(s-c)^2}.

Beírva a Héron-képletet és a t=s\varrho=\frac{abc}{4r} területképleteket,

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca}=
\frac{(4rt)^2(t/s)^3}{t^4/s^2}=
\frac{16r^2t}s=16r^2\varrho.

Előzmény: [184] BohnerGéza, 2004-11-19 14:22:11
[184] BohnerGéza2004-11-19 14:22:11

Ábra 45. feladathoz. A feladat szövege alapján 6 db kört lehet hasonlóan definiálni.

Előzmény: [183] Kós Géza, 2004-11-17 18:12:11
[183] Kós Géza2004-11-17 18:12:11

Nekem az jött ki, hogy ha a három kör kívülről érinti a körülírt kört, akkor

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca} = \frac{16r^2t}s = 16r^2\varrho,

és a szorzatot nem lehet csak r-rel és s-sel kifejezni, de ki lehet fejezni a beírt és körülírt kör sugarával.

Ha a három kör belülről érinti a körülírt kört, akkor

r_{ab}\cdot r_{bc}\cdot r_{ca} = \frac{16r^2t^3}{s^5}.

Előzmény: [182] BohnerGéza, 2004-11-17 09:35:09
[182] BohnerGéza2004-11-17 09:35:09

45. feladat: A r-ca jelentse az ABC háromszög körülírt körét, valamint az AB és BC - ilyen irányú - félegyeneseket érintő kör sugarát. Mennyi az r-ca, r-ab és r-bc szorzata a körülírt kör r sugarával és az s félkerülettel kifejezve?

[181] lorantfy2004-11-11 08:38:28

Kedves Mihály!

Ez tényleg érdekesebb, meg aztán jóval egyszerűbb is, hiszen a két kör területének különbségével egyezik meg:

(121-81)\pi=40\pi

Előzmény: [179] Fálesz Mihály, 2004-11-10 14:07:23
[180] lorantfy2004-11-10 20:31:38

44. feladat megoldása: Vegyük fel az \alpha szöget és mérjük fel a száraira a félkerületet. A kapott E és F pontban állítsunk merőlegest. Ezek metszéspontja P a háromszög kívülírt körének középpontja, sugara ra=PE. Rajzoljuk meg a kört! Az a oldal ennek a körnek érintője. Húzzuk meg az AP szögfelezőt, ez a kört a G pontban metszi.

A háromszög területe T=\rhos. Mivel s adott, ez akkor a legnagyobb, ha a beírt kör a lehető legnagyobb. Ez pedig akkor van ha a beírt kör G pontban érinti a kívülírt kört.

Tehát a maximális területű háromszög egyenlő szárú.

Így a szerkesztés befejezése egyszerű: Állítsunk merőlegest a G pontban a szögfelezőre, ez lesz az a oldal.

Előzmény: [177] BohnerGéza, 2004-11-09 10:36:42
[179] Fálesz Mihály2004-11-10 14:07:23

Szerintem sokkal érdekesebb azt kiszámolni, hogy mekkora a piros és a kék terület különbsége.

Előzmény: [176] matekos04, 2004-11-08 19:54:26
[178] BohnerGéza2004-11-09 13:29:57

A B.3736. feladat és egy megoldása: Az egységnyi oldalú ABCD négyzet CD oldalán adott az N, CB oldalán pedig az M pont úgy, hogy az MCN háromszög kerülete 2. Mekkora az MAN szög?

Adott az MCN háromszög egy szöge (derékszög) és kerülete, ami kettő. Így félkerülete s=1. Tudjuk, hogy a csúcsból a szemközti hozzáírt körig húzott érintőszakasz hossza s, így esetünkben a C-vel szemközti érintőkör B-nél ill. D-nél érinti a C-ből induló oldalakat, tehát középpontja A. Az AM és AN az MCN külső szögfelezői. Tükrözve AM-re B-t a E-t, majd AN-re E-t a D-t kapjuk. A két tengelyes tükrözés B-t A körül 90 fokkal forgatta el, így a két tengely szöge 45 fok.

[177] BohnerGéza2004-11-09 10:36:42

44. feladat: . Szerkesztendő a lehető legnagyobb területű háromszög, ha adott egy szöge és a kerülete!

[176] matekos042004-11-08 19:54:26

Udv. mindenkinek!

Maglattam ezt a topikot erdekesnek talaltam es gondoltam hogy bekuldök egy feladatot:

A kerdesem az hogy hany negyzetcentimeter a szurke terulet.

[175] BohnerGéza2004-11-07 18:18:31

A 41. feladat másik megoldása: Az OOa Thálesz-körén a B, a C és pl. a B tükörképe is rajta van, így b*c=AC*AB';=AO*AOa.

Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05
[174] lorantfy2004-10-24 11:21:22

Kedves Géza!

A 42. feladatra egy látványosabb bizonyítást szerettem volna adni, de idő hiányában beérem azzal, hogy visszavezetem egy ismert összefüggésre. Hivatkozok - és egyben felhívom a figyelmeteket - Kiss György: Amit jó tudni a háromszögekről című cikkére itt.

42. feladat megoldása:

Bizonyítandó:  \rho =4r sin \frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}\implies sin \frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}= \frac{\rho}{4r}

Felhasználjuk, hogy  sin \frac{\alpha}{2}sin\frac{\beta}{2}sin\frac{\gamma}{2}= \frac{T^2}{s \cdot abc}

Tehát, be kell látnunk, hogy \frac{T^2}{s \cdot abc}= \frac {\rho}{4r} Átszorozva: T^2=\rho s \cdot \frac{ab}{2} \frac{c}{2r}=\rho s \cdot \frac{ab}{2}sin \gamma  =T \cdot T

Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05
[173] lorantfy2004-10-23 14:55:54

41. feladat megoldása: AOC\Delta hasonló ABOA\Delta, mert A csúcsnál lévő szögük \frac {\alpha}{2}. AOC \angle = 180- \frac{\alpha}{2}- \frac{\gamma}{2}=\alpha + \beta + \gamma - \frac{\alpha}{2}- \frac{\gamma}{2}= \beta + \frac{\alpha+ \gamma}{2}=ABO_A \angle

Így aztán az oldalak arányából:  \frac{AB}{AO_A}= \frac{AO}{AC} \implies AB \cdot AC=AO \cdot AO_A

Előzmény: [172] BohnerGéza, 2004-10-21 09:01:05
[172] BohnerGéza2004-10-21 09:01:05

41. feladat: Az ABC háromszög szokásos jelölései mellett (O a beírt, Oa az A-val szemközti hozzáírt kör középpontja) igazoljuk, hogy AO*AOa = b*c.

42. feladat: ( ró a beírt kör, r a körülírt kör sugara ) bizonyítandó, hogy

ró = 4r*sin(alfa/2)*sin(béta/2)*sin(gamma/2)

[171] BohnerGéza2004-10-15 09:48:29

Sajnos máshogy nem tudom javítani a [170.] hozzászólásban elírt részt! A 37. feladat a [157.] hozzászólásban szerepel.

Előzmény: [170] BohnerGéza, 2004-10-14 22:50:38
[170] BohnerGéza2004-10-14 22:50:38

40. feladat: Az ABC háromszög és a k-val jelölt kör feleljen meg a 37. feladatban ( [169.] hozzászólásban ) leírtaknak. Igazoljuk, hogy ABC magasságpontja k-n van! ( pontosítható az állítás )

Ez a feladat ötletet adhat a 37. feladat megoldásához, illetve segíthet a [169.] hozzászólásban vázolt számolásban.

Előzmény: [158] BohnerGéza, 2004-09-08 20:25:06
[169] BohnerGéza2004-10-11 15:47:59

A 37. feladat: megoldásához. Egyelőre nincs jobb ötletem, mint a koordináta geometriai út, ez járható is. A mellékelt ábrán használt jelöléseket ajánlom. ( Hasonlóság miatt elég az ott látott AB szakasz esetén bizonyítani. ) A 38. feladat alapján először az APB és az ABC háromszög Euler-egyenese metszéspontjának meghatározását ajánlom. Szép, érdekes eredményt kapunk. Néhány nap múlva ezt közlöm.

Előzmény: [159] BohnerGéza, 2004-09-13 08:51:57
[168] Kristóf Miklós2004-10-06 13:18:22

Kedves Sirpi és többiek! Még egy picit csinosítható a képlet:

r = 5 - 3sqr(2) - sqr(142 - 100sqr(2))/2

A képlet érdekessége hogy 142 az majdnem 100sqr(2)=141.42..

Előzmény: [165] Sirpi, 2004-09-15 15:29:54
[167] newbee2004-10-01 17:28:05

Sziasztok!

bocs a zavarasert, pici segitseget szeretnek kerni affin transzformacikkal kapcsolatban. Eleg volna egy link is, ahol esetleg elmagyarazzak hogyan kell megszerkeszteni, de az is, ha cimszavakban elmeselitek.

Olyant kellene csinalnom, hogy adott egy haromszog, az affinitas iranya parhuzamos a tengellyel, es az egymasnak megfelelo pontok egy oldalra kerulnek. A masik: ugyanezen haromszog ferde affin kepe. A tengely nem metszi a haromszoget, es az egymasnak megfelelo pontok egy oldalon vannak.

Koszi :)

[166] Hraskó András2004-09-29 03:16:57

A legfrissebb Kömalban olvasható egy-egy szép megoldás a B.3678. és a B.3680. feladatra. Mind a két feladatra adható frappáns projektív geometriai gondolatmenet, amivel pld az utóbbi feladat állítását messzemenően általánosítani is lehet. Talán a PÁLYÁZAT-on is sikerrel indulhat az, aki megtalálja ezeket a megoldásokat.

[165] Sirpi2004-09-15 15:29:54

Utánaszámoltam, nekem is ennyi jött ki. De gyöktelenítve talán picit egyszerűbb a végeredmény:

5-3 \sqrt2 -(3-2\sqrt2)\sqrt{\frac72+\sqrt2} \approx 0,377

Előzmény: [163] nadorp, 2004-09-15 14:44:34
[164] Hajba Károly2004-09-15 14:52:19

Kedves Péter!

Gratulálok! Én a számlálót és nevezőt még osztottam 2-vel, de így sem szebb. (Hát ez van. :o)

HK

Előzmény: [163] nadorp, 2004-09-15 14:44:34
[163] nadorp2004-09-15 14:44:34

Az ábra nem túl szép,de arra fogok hivatkozni.Nyilván AE=r. Könnyen látható, hogy O1G=1-2r és O1O2=2r. Innen a Pitagorasz-tétel szerint GO_2=EF=\sqrt{4r-1}. Végül, mivel ABC\angle=45o és BO1 szakasz nyilván szögfelező,ezért FB=r\cdot\ctg{22,5^o}=r(\sqrt2+1). Azt kaptuk tehát, hogy

r+\sqrt{4r-1}+r(\sqrt2+1)=2

4r-1=4+r^2(2+\sqrt2)^2-4r(2+\sqrt2)

(6+4\sqrt2)r^2-4r(3+\sqrt2)+5=0

Innen csak a kisebb gyök jó r<1 miatt,azaz

r=\frac{6+2\sqrt2-\sqrt{14+4\sqrt2}}{6+4\sqrt2}

(Na én erre mondtam, hogy egy kicsit csúnya,de hát ez van)

Előzmény: [162] Hajba Károly, 2004-09-15 13:30:03
[162] Hajba Károly2004-09-15 13:30:03

Kedves Péter!

Mit nevezünk rondának? Az én megoldásomban a tört számlálójában, nevezőjében is van gyök, sőt a számlálóban gyökön belül még egy gyök. :o)

Írd be a megoldásodat és megbeszéljük.

HK

Előzmény: [161] nadorp, 2004-09-15 12:11:58

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]