Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[367] jonas2006-02-23 22:26:52

Nézzük csak. Nevezetes pont. Egy nagyon hosszú egyenlőszárú háromszögnek a felénél van, tehát nem lehet a magasságpont, a beírt kör középpontja, a súlypont vagy a Feuerbach kör középpontja, csak a körülírt kör középpontja lehetne. Az viszont nyilván nem lehet, mert az a háromszögön kívül is lehet, a drót súlypontja viszont nem. Akkor kevésbé nevezetes pont lesz.

Előzmény: [362] BohnerGéza, 2006-02-23 08:15:11
[366] lorantfy2006-02-23 22:22:21

Szerkesszük meg ezt a speciális súlypontot!

Az oldalfelező pontokba helyezzünk az oldalak hosszának megfelelő tömegpontokat.

A 'bc' szakaszt c/b arányban kell osztanunk. A szögfelező b/c arányban osztja. Tükrözzük ezt a pontot a szakasz felezőpontjára és helyezzünk ebbe a pontba b+c tömegpontot.

Már csak az 'a b+c' szakaszt kell (b+c)/a arányban felosztani. A C-ből induló szögfelező BD szakaszt a/(b+c). Ehhez hasonló kisháromszöget alakítunk ki és ebben a szögfelező azonos arányban osztja a szemközti oldalt.

Már csak tükröznünk kell ezt a pontot a felezőpontra. Ez lesz az S súlypont. Remélem idáig jó!

Előzmény: [362] BohnerGéza, 2006-02-23 08:15:11
[365] Hajba Károly2006-02-23 21:08:51

Jogos. :o)

Drótnak drót, csak nem homogén az én elképzelésem. Egymáshoz viszonyított fajlagos súlyuk arányos az S pont és adott oldal közötti távolsággal.

Visszavonva.

Előzmény: [364] Káli gúla, 2006-02-23 19:19:48
[364] Káli gúla2006-02-23 19:19:48

A maradék általában nem egyforma széles a három oldalnál.

Előzmény: [363] Hajba Károly, 2006-02-23 18:37:13
[363] Hajba Károly2006-02-23 18:37:13

66. Tekintsük a teljes ABC\Delta-t és képezzünk egy nála kisebb hasonló \Delta-t úgy, hogy a súlypontjuk egybeessen és az egymásnak megfelelő oldalak rendre párhuzamosak legyenek. A két \Delta közös súlypontja is az S pontban lesz, így elvileg az eredeti \Delta-ünkből elvesszük a kisebb \Delta-t, akkor ennek a "lyukas" \Delta-nek is S marad a súlypontja. Ha növeljük a lyukat, akkor szélső esetben a feladatbali drótvázhoz jutunk.

Így az ABC\Delta-nek is S a súlypontja.

Előzmény: [362] BohnerGéza, 2006-02-23 08:15:11
[362] BohnerGéza2006-02-23 08:15:11

66. feladat: Hol van egy homogén, vékony drótból készült ABC háromszögnek a fizikai értelemben vett súlypontja? ( ABC-hez kapcsolható nevezetes pont lesz.)

[361] nadorp2006-02-19 08:52:11

Köszönöm a megoldást. Először én is hasonlóan csináltam, aztán rájöttem, ez a megoldás is a háttérben tulajdonképpen - ahogy Te is írtad az elején - trigonometrikus ( az x<tg x összefüggést használja ), pedig nincs is rá szükség. Legyen a sokszög oldala egységnyi és a beírt kör sugara r. Ekkor K=n, T=\frac{nr}2. Ebből \frac{K^2}T=\frac{2n}r. A beírt kör területe kisebb a sokszög területénél, azaz r^2\pi<\frac{nr}2. Ebböl következik, hogy \frac{2n}r>4\pi

Előzmény: [360] qer, 2006-02-17 18:55:53
[360] qer2006-02-17 18:55:53

Megoldás a 65. feladatra: leírva nincs szögfüggvény, de végülis ott van...

Legyen AB az n-szög egyik oldala, a kör sugara egységnyi. Ekkor AOB szög \frac{2\pi}{n}, AB-t jelöljük a-val, OF-t m-mel.

Nyílván a=\frac K n, T=n \frac {am} 2. Az \frac {a^2} {\frac {am} 2} hányadost átalakíthatjuk a következő alakra: \frac 1 n \frac{K^2} {T}. Tehát a bizonyítandó egyenlőtlenséget így is írhatjuk: n\frac {a^2} {\frac {am} 2} > 4\pi.

Kis átalakítások után a következő alakra hozható az egyenlőtlenség: \frac {\frac{a}{2}} {m} > \frac \pi n.

\frac \pi n az AOF (vagy A'OF') szöggel egyenlő. Mivel \frac {A'F'} {OF'} = \frac {AF} {OF}, ebből következik (OF'=1), hogy A'F' = \frac {\frac{a}{2}} {m}.

Mivel n>2 egész szám ezért, az AOF szög kisebb mint derékszög. Ezért már csak azt kell bebizonyítani, hogy AF' ív kisebb mint A'F'. Mivel AOF' körcikk benne van az A'OF' háromszögben, ezért a területe is kisebb. A körcikk területe \frac 1 2 AF' (az AF' ívmérték), a háromszögé pedig \frac 1 2 A'F', azaz igaz az A'F' > AF' egyenlőtlenség. Mivel az átalakítások ekvivalensek voltak ezért igaz a kiinduló egyenlőtlenség is.

Előzmény: [349] nadorp, 2006-02-06 17:30:46
[359] BohnerGéza2006-02-16 00:11:44

A 64. feladat megoldásához: Vegyük fel például az AP=f szakaszt, az A kp-ú c sugarú kör vonal a B pont számára ( vB ) és a b sugarú pedig a C számára ( vC ). A szögfelező tételtből tudjuk: ha a vC-re alkalmazzuk a P kp-ú lambda = -c/b arányú hasonlóságot, B számára kapunk egy második vonalat (vC'). ( A szerkesztéshez fölhasználunk egy P-től b-re lévő S segédpontot és képét ( S') P-től c-re, SPS' sorrendben. A vC' A' kp-ú c sugarú kör lesz. )

Megjegyzés: Például az AB szakaszból kiindulva B kp-ú lambda=(b+c)/c hasonlósággal is megoldható a feladat P képe lesz C.

[357] Hajba Károly2006-02-12 18:58:52

Részemről jöhet az arányos szerkesztés nélküli megoldás. Talán a szögfelezők "tétele" C2 pontjának megszerkesztése a megolodás, de arra még nem jöttem rá, hogy tudom az ismert adatokból megszerkeszteni.

Előzmény: [354] lorantfy, 2006-02-11 20:51:42
[356] lorantfy2006-02-11 21:31:49

Kedves HoA!

Mindkét megjegyzésed helyénvaló. Köszönet érte! A második még egyszerűbbé teszi a megoldást.

Előzmény: [355] HoA, 2006-02-11 20:56:28
[355] HoA2006-02-11 20:56:28

Kedves László!

Megoldásod szép és egyszerű. Két megjegyzés:

- az utolsó előtti sorban "A c oldalt felosztjuk a:c arányban" helyett "A c oldalt felosztjuk b:c arányban" a helyes, és így az ábra legalsó "a" betűje helyett is "b" a jó.

- Az AQP \Delta egyenlőszárú volta "ránézésre" is következik abból, hogy két szöge egyenlő, mert f szögfelező , PAC és APQ váltószögek

Előzmény: [352] lorantfy, 2006-02-11 13:12:31
[354] lorantfy2006-02-11 20:51:42

Köszönöm! Így már világos Nagyon ügyes.

Már csak egy arányos szerkesztés nélküli megoldást várunk!

Előzmény: [353] Hajba Károly, 2006-02-11 19:49:37
[353] Hajba Károly2006-02-11 19:49:37

Kedves László!

Az arányosításnál egy kis magyarázatbeli bakit elkövettem, de a szerkesstés menete szabályos. Felszerkesztettem a Te ábrád szerint újra:

t illeszkedik B-re és merőleges f-re. P tükörképe t-re P'. Így az ACP\Delta ill. ABP'\Delta hasonlók. AP'\tof.'.

\frac{b}{f}=\frac{c}{f'} \to \frac{f'}{f}=\frac{c}{b}.

S a szerkesztés menete:

Felveszem az f egyenest és felmérem rá AP szakaszt. Elkészítem a \frac{c+b}{2} : b arányosítást f-re. Ez P". Erre a pontra merőlegesen felszerkesztem a t egyenest, majd A-ból rámérem c-t, ez adja a B pontot. Innen már megegyezik a tieddel és nyilvánvaló.

Előzmény: [352] lorantfy, 2006-02-11 13:12:31
[352] lorantfy2006-02-11 13:12:31

Kedves Károly!

Lehet, hogy jó a megoldásod, de én nem értem a magyarázatot. Fölteszem az enyémet, ez is arányos szerkesztéssel megy.

64. feladat megoldása: Adott az ABC háromszögben a b, c oldal és az f szögfelező. A szögfelező a BC oldalt P pontban metszi. Legyen CP=p és PB=q. A szögfelező tételből következik, hogy \frac{p}{q} =\frac{b}{c}.

Húzzunk párhuzamost a P pontból AC-vel, ez az AB oldalt Q pontban metszi. Legyen PQ=x, AQ=y és QB=z.

Ekkor a párhuzamos szelők tételéből: \frac{y}{z}=\frac{p}{q}=\frac{b}{c}. Vagyis y=z\frac{b}{c}

Másrészt a közbenső szakaszokra, QBP és ABC háromszögek hasonlóságából: \frac{x}{z}=\frac{b}{c}. Vagyis x=z\frac{b}{c}

Tehát x=y. Az AQP \Delta egyenlő szárú. A szerkesztés innen már egyszerű. A c oldalt felosztjuk a:c arányban. Q pontból AQ-val, A-ból f-el körözve kapjuk a P pontot. Majd A-ból b-vel körözve BP egyenesből kimetsszük C-t.

Előzmény: [351] Hajba Károly, 2006-02-07 13:12:51
[351] Hajba Károly2006-02-07 13:12:51

Legyen az ABC\Delta a megoldás háromszöge! Ismert az a, b, f szakasz.

Egy kis elméleti megfontolás a megoldás szerkesztéséhez: Tükrözzük a B és F pontokat az f-re merőleges és A-n átmneő t tükörtengelyre! Ekkor a \frac{F'A}{AC}=\frac{FB}{BC} ill. \frac{a+b}{2b} arányosítással megszerkeszthető a \frac{CF+CF'}{2} szakasz. Innen már nem nehéz kitalálni a szerkesztés menetét.

Előzmény: [346] lorantfy, 2006-02-05 13:46:45
[350] nadorp2006-02-06 17:32:00

Természetesen 65. feladat

[349] nadorp2006-02-06 17:30:46

64.feladat. Egy szabályos n-szög területe T, kerülete K. Bizonyítsuk be szögfüggvények nélkül, hogy \frac{K^2}T>4\pi

[348] nadorp2006-02-06 17:17:45

Negyedik arányos szerkesztés alkalmazása nélküli ( tehát valamilyen direkt ) megoldás engem is érdekelne.

Előzmény: [346] lorantfy, 2006-02-05 13:46:45
[347] Lóczi Lajos2006-02-06 09:51:43

[Micsoda egybeesés. Épp tegnap olvastam a gyűjteményben valami okból ezt a feladatot :) ]

Előzmény: [346] lorantfy, 2006-02-05 13:46:45
[346] lorantfy2006-02-05 13:46:45

64. feladat: Szerkesszünk háromszöget, ha adott az egyik csúcsából induló két oldal és a szögfelező hossza ( a szögfelező egyenesének a háromszögbe eső szakasza)!

[345] Karácsony2006-01-18 10:05:49

köszönöm!!! a dolgozat egész jól sikerűlt, és sikerűlt elkapnom a fonalat!! egyébként nincs bajom a matekkal, de a legegyszerűbb dolgok szoktak a legtöbb fejtörést okozni. örülök, hogy vannak még ilyen rendes fiúk, akik segítenek a bajbajutottakon!! mégegyszer köszi: Dorka

Előzmény: [344] Sirpi, 2006-01-17 14:26:59
[344] Sirpi2006-01-17 14:26:59

A 2x-3y=7 attól egy egyenes egyenlete, hogy azok az (x;y) párok, melyekre teljesül ez az egyenlet, éppen egy egyenesen vannak. És ha erről az egyenesről kellenek pontok, könnyen tudunk generálni akárhányat. Pl. ha x=2, akkor ezt az egyenletbe beírva 4-3y=7, ahonnan y=-1, vagyis rögtön kaptuk, hogy a (2;-1) pont rajta van az egyenesen és ezzel a módszerrel újabb pontok is generálhatók.

***

Másik irány: például az A(1;4) és a B(-3;-2) pontokon áthaladó egyenest keressük.

Ahhoz, hogy egy egyenes átmenjen A-n, y=a(x-1)+4 alakúnak kell lennie valamilyen a paraméterrel, hiszen ekkor A koordinátáit behelyettesítve a bal oldal 4, a jobb pedig a(1-1)+4=4 a értékétől függetlenül. a pedig megkapható abból, hogy az egyenes átmegy B-n: -2=a(-3-1)+4, azaz -6=(-4)a, vagyis a=3/2, így az egyenes egyenlete: y=3/2(x-1)+4. Kettővel szorozva: 2y=3x-3+8, ezt pedig rendezve kapjuk, hogy 3x-2y=-5, könnyen utána lehet számolni. Remélem, ez segített valamennyit.

Előzmény: [343] Karácsony, 2006-01-17 13:33:38
[343] Karácsony2006-01-17 13:33:38

előszőr is köszönöm és hálám örökké üldözni fog. igazából az a baj, hogy elég rossz matektanárunk van és mindig már az elején elvesztem a fonalat! a kérdés az, hogy: 2x-3y=7 egyenesnek adjam meg a két különböző pontját és számítsam ki ezek pontok távolságát. a távolságot már ki tudom számolni, de a pontokig nem jutok el. és azt sem tudom, hogyha két pont koordinátája van meg, akkor abból hogy lesy egzenlet!!

Előzmény: [342] Sirpi, 2006-01-17 13:03:30
[342] Sirpi2006-01-17 13:03:30

Egy vektor hossza a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyöke, azaz:

a(-2;7), b(10;2) esetén a-b=(-2-10;7-2)=(-12;5)

Ennek hossza \sqrt{(-12)^2+5^2}=13

c(3;1) esetén 3c=(9;3)

Ennek hossza: \sqrt{9^2+3^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}, nem meglepő módon épp háromszor akkora, mint c hossza.

***

Az egyenes egyenleténél pedig hogy érted, hogy hogy lesz? Pl. 2 ponton át akarsz egyenest húzni, és annak érdekel az egyenlete? Vagy egy ponton át adott vektorral párhuzamos egyenes egyenlete érdekel? Csak mert ezeket mind meg lehet mondani, a fő kérdés az, hogy Téged mi érdekel pontosan.

Előzmény: [341] Karácsony, 2006-01-17 12:17:57

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]