Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[596] BohnerGéza2007-01-09 20:22:15
Előzmény: [594] Cckek, 2007-01-08 21:12:11
[595] HoA2007-01-09 11:13:46

Szerintem a jobboldal csak 5 \vec{HG}

Előzmény: [594] Cckek, 2007-01-08 21:12:11
[594] Cckek2007-01-08 21:12:11

Legyen G az ABC háromszög súlypontja, H az ortocentruma, M, N, P az AB, AC, BC oldalak felezőpontjai, O1,O2,O3 az AMN, BMP illetve CNP háromszögek köré írt körök középpontjai. Bizonyítsuk be hogy : 4\vec{HO_1}+4\vec{HO_2}+4\vec{HO_3}=15\vec{HG}

[593] HoA2007-01-08 15:59:17

Mivel két hete senki sem szólt hozzá, leírok egy megoldást. Nézzük meg, mi a mértani helye a síkban azoknak a pontoknak, melyekre az ABC \Delta csúcsaitól mért távolságok négyzetösszege

PA2+PB2+PC2=K(1)

adott konstans?

(\vec{P}-\vec{A})^2 + (\vec{P}-\vec{B})^2 + (\vec{P}-\vec{C})^2 = K

3 \vec{P}^2 + (\vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2) - 2 \vec{P} (\vec{A} +\vec{B} +\vec{C}) = K Ha origónak az ABC \Delta S súlypontját választjuk, \vec{A} +\vec{B} +\vec{C} = \vec0 ; \vec{P}^2 = \frac13 ( K - (\vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2)) , ami adataink által meghatározott konstans. A mértani hely tehát egy S középpontú kör, a sugár négyzete a jobboldali kifejezés, ami akkor nemnegatív, ha K \ge (\vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2) (1) baloldala tehát akkor a legkisebb, ha P a súlypont, értéke ekkor \vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2 . Most már csak azt kell igazolni, hogy ez megegyezik a háromszög oldalai négyzetösszegének harmadával. De a^2 + b^2 + c^2 = (\vec{B}-\vec{C})^2 +(\vec{C}-\vec{A})^2 + (\vec{A}-\vec{B})^2= 2 (\vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2)- 2(\vec{A}\vec{B} + \vec{B}\vec{C} + \vec{C}\vec{A} ) Origó választásunk miatt (\vec{A} +\vec{B} +\vec{C})^2 = \vec0^2 = 0 = \vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2 + 2 (\vec{A}\vec{B} + \vec{B}\vec{C} + \vec{C}\vec{A}) Innen -2(\vec{A}\vec{B} + \vec{B}\vec{C} + \vec{C}\vec{A} ) = \vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2 Tehát valóban a^2 + b^2 + c^2 = 3 (\vec{A}^2 +\vec{B}^2 +\vec{C}^2)

Előzmény: [588] BohnerGéza, 2006-12-25 22:50:17
[592] Sirpi2007-01-05 16:10:42

Ezt hívják Euler-egyenesnek, és ráadásul az S pont harmadolja (O-hoz közelebb) az OM szakaszt.

Egybe akkor és csak akkor esnek, ha a háromszög szabályos.

Előzmény: [591] Cckek, 2007-01-05 16:04:29
[591] Cckek2007-01-05 16:04:29

Igaz-e, hogy bármely háromszögben az ortocentrum, a súlypont és a háromszög köré írt kör középpontja kollineárisak? (vagy egybeesnek:)

[590] HoA2006-12-29 18:17:43

Segítség az egyik fajta megoldáshoz: Mi a mértani helye a síkban azoknak a pontoknak, melyekre

PA2+PB2+PC2=K(1)

adott konstans?

Előzmény: [588] BohnerGéza, 2006-12-25 22:50:17
[589] HoA2006-12-27 10:11:54

BohnerGéza ábrája alapján ha az \alpha,\beta,\gamma paraméterekkel kifejezett koordinátákra felírjuk az \vec{AA}_1 + \vec{BB}_1 + \vec{CC}_1 = \vec0 vektoregyenletet, rövid számolás után kapjuk, hogy \alpha=\beta=\gamma , vagyis P (Cckek-nél M) = \frac13 * ( \vec{A} + \vec{B} + \vec{C} ) , vagyis M a súlypont.

Ha [582] "akkor" ágának bizonyítására elfogadjuk az [586] ábráját, a "csak akkor" ágra itt egy - talán kicsit szemléletesebb - bizonyítás. Legyenek a háromszög oldalfelező pontjai A0,B0,C0 , a súlypont S, továbbá M, A1,B1,C1 [582] szerint. A súlyvonalak a háromszöget hat kis háromszögre osztják. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy M a C0BS háromszög belsejében vagy határán van. Mivel pl. \vec{AA}_1 = \vec{AA}_0 + \vec{A_0A}_1 és tudjuk, hogy \vec{AA}_0 + \vec{BB}_0 + \vec{CC}_0 = \vec0 , \vec{AA}_1 + \vec{BB}_1 + \vec{CC}_1 = \vec0 pontosan akkor teljesül, ha

\vec{A_0A}_1 + \vec{B_0B}_1 + \vec{C_0C}_1 = \vec0 (1)

. Ha a három vektor összege 0, akkor tetszőleges irányú vetületüké is az. Tekintsük az mc magasságra vett vetületeket - az mce egységvektorral vett skaláris szorzatokat. Ez \vec{C_0C}_1 esetében nyilván 0. M választása miatt A1 nincs messzebb B-től, mint A0 és B1 nincs messzebb A-tól, mint B0 . Így \vec{A_0A}_1 * \vec{m}_{ce} \ge 0 és \vec{B_0B}_1 * \vec{m}_{ce} \ge 0 . Ezért (1) csak úgy teljesülhet, ha A0=A1 és B0=B1 , vagyis M=S.

Előzmény: [587] BohnerGéza, 2006-12-25 22:49:35
[588] BohnerGéza2006-12-25 22:50:17
[587] BohnerGéza2006-12-25 22:49:35
Előzmény: [586] Cckek, 2006-12-24 11:24:01
[586] Cckek2006-12-24 11:24:01

Mea culpa. Természetesen vektorokról van szó. Feltöltök itt egy ábrát a feladat első részéhez.

Előzmény: [585] HoA, 2006-12-23 09:19:45
[585] HoA2006-12-23 09:19:45

Azt hiszem az ellentmondás feloldása az, hogy Ti szakaszokról beszéltek, a feladat pedig vektorokról szól: az AA1, BB1, CC1 vektorok pontosan akkor alkotnak vektorháromszöget , ha M a súlypont. Lehet, hogy Cckek ezt akarta a szögletes zárójelekkel jelezni.

Előzmény: [584] Cckek, 2006-12-22 21:02:28
[584] Cckek2006-12-22 21:02:28

Pontosan azt értem hogy csak akkor szerkeszthető 3szög ha M súlypont!

Előzmény: [583] jenei.attila, 2006-12-22 20:21:22
[583] jenei.attila2006-12-22 20:21:22

Ezt sajnos nem értem. Azt akarod mondani, hogy ha a súlyponttól csak egy "kicsit különböző" pontot veszünk, akkor a szóbanforgó szakaszokból nem szerkeszthető háromszög? Ezek a szakaszok az M pont megválasztásával nyilván folytonosan változnak, tehát a súlyponttól való kis eltérés a hosszukban is kis változást eredményez. A háromszög egyenlőtlenségbe pedig még biztos hogy belefér egy kis változás. Valamit nyilván félreértek, pontosítanád egy kicsit?

Előzmény: [582] Cckek, 2006-12-22 16:56:49
[582] Cckek2006-12-22 16:56:49

Legyen M az ABC háromszög egy belső pontja. AM,BM,CM a szemközti oldalakat metsze rendre az A1,B1,C1 pontokban. Bizonyítsuk be, hogy [AA1],[BB1],[CC1] szakaszok akkor és csak akkor egy háromszög oldalai ha M az ABC háromszög súlypontja.

[581] Hajba Károly2006-11-23 15:30:14

Én sem.

Az [577]-es válaszom után még motoszkált valami a fejemben és elkezdtem firkálgatni (a pitagórászi ábrácskára a köröket, az ábra jobb felső sarkában) és belémcsapot az isteni szikra. :o)

Előzmény: [580] AzO, 2006-11-23 15:06:26
[580] AzO2006-11-23 15:06:26

Ez nagyon tetszik, en sem gondoltam, hogy 6 lepesben is lehetseges. :)

Előzmény: [578] Hajba Károly, 2006-11-22 08:47:12
[579] Csimby2006-11-22 16:13:13

Az enyém 7 méréses volt. Mivel senkinek sem volt 6-os, nem is gondoltam hogy lehetséges :-)

Előzmény: [578] Hajba Károly, 2006-11-22 08:47:12
[578] Hajba Károly2006-11-22 08:47:12

Csimby!

Nem számoltál még be, hogy mire jutottatok?

---

Én közben találtam egy "igaz" 6 körös megoldást, ebben nincs mérés miatti körzőmozgatás:

[577] Hajba Károly2006-11-22 00:07:35

Én fenn a Gellért-hegyen egy csillagász szakkörön hallottam és főleg a középiskolásoknak adták föl, én ott csak vízhordó voltam. :o)

Szóval a szakkörvezető így kezdte: Már az ókori görögök is ...

A definició, najó legyen csak "definició" szerint ScarMan megoldása valóban 7 körző-felemeléses, mert a 3. lépés távolságát használja fel a 4. és 5. lépésben. Lásd az ábrámat, melyen az én megoldásomat és az övét is felszerkesztettem.

Értelmező ábrácska a bal felső fekete, vastag vonal: mérés, nyilazott ív: körzőzés.

ScarMan-nak meg még egy grat.

Előzmény: [576] AzO, 2006-11-21 23:10:25
[576] AzO2006-11-21 23:10:25

Az 1977-es feladatot nem Napoleon-feladat-nak hivjak? Mintha olvastam volna valahol mostanaban. A definiciomert nem vallalok felelosseget, mert csak emlekezetbol mondtam, es akkor az en 7 lepeses megoldasom is mar 8 :)))

Előzmény: [575] Hajba Károly, 2006-11-21 08:33:01
[575] Hajba Károly2006-11-21 08:33:01

Üdv a körösöknek! és grat ScarMan-ek is!

Nem kekeckedni szeretnék, de AzO definiciója szerint - körző felvétele a lépés vége - csak 8 lépésből lehet megszerkeszteni. Az alább közöltem megoldás 7 körzőzés és 1 mérés, ScarMan-nek 6 körzőzés és 2 mérés. S gyanítom, hogy a feladatban nem véletlen volt 8 lépés kitűzve, főleg ELTE matekon.

Mellesleg alább -habár gyanítom nem eléggé értelmezhető módon- az én megoldásom is ott van. Volt ez pár éve kérdés az "Éredekes matekfeladatok"-ban, akkor megoldottuk, ha jól emlékszem, Jenei Attila adta a másik megoldást. (4.1, ill. 4.2)

Az akkori megoldásomban a két adott pont a négyzet két sarokpontja, ehhez +1 körzőzés kell, de így szerintem más sem tudja rövidebben, míg az eddig megismert egyéb megoldásnál az egyik pont nem a négyzet sarokpontja, hanem a közepe. Ezt szerkesztette meg korábban J. A.

Én anno 1977-ben így hallottam a feladatot: Osszunk négy egyenlő részre egy körívet csak körző használatával! (Akkor 8-ikos koromban a feladat győzött. :o) Ez -a fenti definíció szerint- 7 lépésből megoldható, mivel adott volt már egy körív.

Előzmény: [574] AzO, 2006-11-20 22:59:09
[574] AzO2006-11-20 22:59:09

Szerintem is 6 lepes. Grat! :)

[573] Csimby2006-11-20 22:34:03

Hmm... Nekem ez 6 lépésnek tűnik. Szerintem nem kell külön venni, hogy körzőnyílásba veszed EA-t. Gratulálok!

Előzmény: [572] ScarMan, 2006-11-20 20:18:42
[572] ScarMan2006-11-20 20:18:42

Itt egy 7-lépéses megoldás: két adott pont: A, B, mindkét pontból AB sugarú köröket rajzolunk, ezek metszéspontja: C, D. C-ből D-n átmenő kört rajzolunk -> B'. B és B' középpontú, CD sugarú köröket rajzolunk. Egyik metszéspontjuk E. B-ből EA sugarú kört rajzolunk (itt külön lépésnek vettem, hogy körzőnyílásba vesszük EA-t), ez kimetsz két pontot az eredeti A középpontú körből. Ez a két pont B-vel és B'-vel négyzetet alkot.

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]