Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: GEOMETRIA

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[712] jenei.attila2007-04-30 18:55:00

Köszi a segítséget. Így már persze sokkal könnyebb. Nem tudok ilyen szép ábrát rajzolni, de jelöljük a k1 kör és AB oldal érintési pontját M-mel, a k2 és AB érintési pontját N-nel. Mivel k1 a piros háromszög beírt köre, ezért GM=a piros háromszög félkerülete, mínusz ED. Mivel k2 a piros háromszög hozzáírt köre, GN=a piros háromszög félkerülete. Ebből ED=MN következik. Az ABC háromszög kerülete (az érintő szakaszok egyenlősége miatt) CP+CQ+DM+DN+2AM+2BN=CP+CQ+DQ+DP+2AM+2BN=2CD+2AM+2BN. Jelöljük az ABC háromszög félkerületét s-sel. Ekkor CD=s-AM-BN, és CE=CD-ED=s-AM-BN-ED=s-AM-BN-MN=s-AB

Előzmény: [711] BohnerGéza, 2007-04-30 00:40:56
[711] BohnerGéza2007-04-30 00:40:56

A [654]-es hozzászólás és az itteni ábra remélem segít. A CE=s-c kell legyen, hiszen D-t pl. A-hoz közelítve E az ABC háromszög beírt körének Bo érintési pontjához közzelít. A k1 és k2 a piros háromszög be- ill. hozzáírt köre. Külön vizsgálandó, ha a két kör egyforma.

Előzmény: [710] jenei.attila, 2007-04-29 20:33:43
[710] jenei.attila2007-04-29 20:33:43

Íme egy Arany Dániel feladat, amit eddig nem tudtam megoldani: Az ABC háromszög C csúcsából kiinduló egyenes az AB szakaszt D pontban metszi. Legyenek a CAD és CDB háromszögek beírt körei k1 és k2. A két kör (AB-től különböző)külső érintője a CD szakaszt E pontban metszi. Bizonyítandó, hogy a CE szakasz hossza független a D pont választásától.

[709] BohnerGéza2007-04-26 17:46:14

Szép megfejtése annak, mire alkalmazható itt az inverzió! A [692]-ben Python szépen igazolta, hogy PQRS paralelogramma, a kettő együtt elég. A [708]-ban HoA által említett P'Q'R'S' négyszög érintő- húrnégyszög. ( kiderült, hogy lehet ilyet szerkeszteni.)

Előzmény: [708] HoA, 2007-04-26 14:50:49
[708] HoA2007-04-26 14:50:49

Sajnos nekem csak ötlet! Odáig világos, hogy az ívek adott választása miatt az inverzióban a Thálesz körök képeiként adódó egyenesek által meghatározott P'Q'R'S' négyszög húrnégyszög, ezért PQRS is az. De a téglalaphoz még be kéne látni, hogy a szemben lévő oldalak párhuzamosak, vagy hogy a szomszédosak merőlegesek. Ez az inverzekre azt jelenti, hogy pl. a P'Q'O és R'S'O pontokon átmenő körök érintik egymást, illetve hogy pl. a P'Q'O és Q'R'O pontokon átmenő körök merőlegesen metszik egymást, ezekkel azonban nem boldogulok.

Előzmény: [693] BohnerGéza, 2007-03-28 22:09:31
[707] BohnerGéza2007-04-20 21:58:17

Remélem, a [705]-ben feltett kérdésem is HoA igazát sugallta. A [699]-ben leírt feltételeknek is csak két mo. felel meg.

Előzmény: [706] HoA, 2007-04-20 11:54:37
[706] HoA2007-04-20 11:54:37

Én úgy értelmeztem a feladato(ka)t, hogy ABCD ebben a sorrendben, pozitív körüljárás szerint van az oldalegyeneseken - és téglalap esetében az is adott, hogy A van a "b" hosszúságú oldalon. Ezért BD-nek csak pozitív 90 fokos elforgatottját vettem. Ez BohnerGéza megoldásának lila négyzete. Ha a fordított körüljárást is megengedem, és BD negatív 90 fokos elforgatottját mérem fel C-ből, akkor a zöld négyzetet kapom. Tovább bővül a megoldások száma, ha ABDC sorrend is megengedett. Ekkor persze az A-val szemközti oldalon D van, tehát BC elforgatottját kell D-ből felmérni. Ismét a két körüljárási irányt megengedve a pozitív 90 fokos elforgatottal adódik a piros, a negatívval a kék négyzet. Téglalap esetében még egy kettes szorzó jön be a megoldások számára, ha nem rögzítem, hogy A az "a" vagy a "b" oldalon van. Ez az én megoldásomban az elforgatott vektorok k -szorosának és 1/k -szorosának használatát jelenti, BohnerGéza ábráján pedig az átló hol az egyik hol a másik oldallal zárja be a k tangensű szöget.

Előzmény: [705] BohnerGéza, 2007-04-19 20:29:32
[705] BohnerGéza2007-04-19 20:29:32

A 109. és 110. feladatra HoA által adott megoldásvázlat [696]-ban és [704]-ben a BD vektor + illetve -90 fokos forgatásával két megoldást ad. Helyes-e a [699]-ben felvázolt négy megoldás?

Előzmény: [704] HoA, 2007-04-19 16:24:43
[704] HoA2007-04-19 16:24:43

Egy hét elmúltával saját megoldásom: A piros és kék derékszögű \Delta -ek hasonlóságának alapján mérjük fel C-ből BD 90 fokos elforgatottjának k-szorosát. Az új E végpont A -val közös oldalegyenesen van. Innen tovább mint [696]-ban.

Előzmény: [698] HoA, 2007-04-12 14:43:55
[703] lorantfy2007-04-18 10:03:22

Köszi szépen! Világos.

Előzmény: [702] HoA, 2007-04-16 21:55:47
[702] HoA2007-04-16 21:55:47

Az AB szakasz Thálesz-körén lévő P pontból a PB-vel \phi szöget bezáró egyenes - a négyzet/téglalap átlója - a kört másodszor P helyzetétől függetlenül abban a Q pontban metszi, melyre BOQ\angle=2\phi

Előzmény: [701] lorantfy, 2007-04-16 07:44:26
[701] lorantfy2007-04-16 07:44:26

Kedves Géza! Bocs, de nem értem, hogy használod fel a szöget. Az ábráról sem tudtam kihámozni. Érdekelne, mert én is próbálkoztam Thálesz körös megoldással!

Előzmény: [699] BohnerGéza, 2007-04-12 19:55:57
[700] Python2007-04-16 07:14:02

111. feladat Egy háromszögben két oldal és egy szögfelező háromszögön belüli szakasza is egyenlő hosszú. Mekkorák a háromszög szögei?

[699] BohnerGéza2007-04-12 19:55:57

A 109-es és 110-es feladatokhoz: A PQRS négyzet PQ oldalegenesén legyen A, QR-en B, RS-en C és SP-n a D. Ekkor Q számára vonal az AB és S számára a CD Thálesz-köre. Mivel az átló oldallal bezárt szögét is ismerjük, így az átlónak a körökkel való metszéspontja is ismert. Az ábrán a 109. feladat megoldása látszik, a piros és a lila pozitív körüljárású a négy mo. közül.

Előzmény: [691] lorantfy, 2007-03-28 11:33:35
[698] HoA2007-04-12 14:43:55

110. feladat : Szerkesszünk téglalapot, ha adott mind a négy oldalegyenesének egy-egy pontja, valamint az oldalak aránya  \frac{a}{b} = k

Előzmény: [691] lorantfy, 2007-03-28 11:33:35
[697] jenei.attila2007-04-11 12:32:25

Így egyszerűbb, de lényegében ugyanaz. A téglalappal kapcsolatban én 180 fokos elforgatásra gondoltam, de közben rájöttem hogy nem jó, mert A2 C-vel egybe fog esni, vagyis nincs A2-C egyenes.

Előzmény: [696] HoA, 2007-04-11 11:21:03
[696] HoA2007-04-11 11:21:03

Elég BD 90 fokos elforgatottját C -ből felmérni. A D1 végpont A-val közös oldalegyenesen van. Ezzel C-n át párhuzamost, B-n és D-n át merőlegest húzva készen vagyunk. (Amiből az is rögtön látszik, hogy a megoldás nem egyértelmű ha D1 A-ba esik, vagyis ha CA BD 90 fokos elforgatottja)

Téglalapra azért nem megy, mert kihasználtuk, hogy az "AC sáv" és a "BD sáv" egymás 90 fokos elforgatottjai, egyforma szélesek, ami téglalapra nem igaz.

Előzmény: [695] jenei.attila, 2007-04-11 10:19:52
[695] jenei.attila2007-04-11 10:19:52

Az adott pontok legyenek A,B,C,D. Forgassuk el ezeket tetszőleges pont körül 90 fokkal, az elforgatott pontokat A1,B1,C1,D1 jelöli. Alkalmazzunk az elforgatott pontokra egy eltolást, amely D1-et A-ba viszi. Az eltolt pontokat A2,B2,C2,D2 jelöli. Ekkor a C és B2 pontokat összekötő egyenes a négyzet egy oldalegyenese.

Nem biztos hogy jó ez a megoldás, mert adott négy ponttal téglalap szerkesztése nem egyértelmű. Holott hasonló logikával, csak a pontokat 180 fokkal elforgatva és C1-et A-ba vivő eltolással C-A2 egyenes egyértelműen megadja a téglalap egy oldalegyenesét. Még nem teljesen gondoltam végig, várom a hozzászólásokat.

Előzmény: [691] lorantfy, 2007-03-28 11:33:35
[694] Python2007-04-05 17:43:41

109. megvan, egy eltolás meg egy forgatás, csk most nincs időm hogy részletesen leírjam.

Amikor az előzőt írtam, az az elején tényleg még megoldási ötlet volt csak és véletlenül úgy hagytam

[693] BohnerGéza2007-03-28 22:09:31

Szép megoldás, nem csak ötlet! A 108. feladat megoldása lehetséges inverzió segítségével is, ez sem csak ötlet, de annak adom!

Előzmény: [692] Python, 2007-03-28 16:55:31
[692] Python2007-03-28 16:55:31

Megoldási ötlet:

pl. R rajta van CD-n, mivel DRO\angle+ORC\angle=2.90o egyenesszög (Thalesz-tétel), és így mivel CD-re merőleges OR, CD-t R felezi, hasonlóan P, Q, S is ABCD oldalfelező pontjai.

Ha felezési pontok, paralelogrammát alkotnak, hiszen PQ és RS AC-vel párhuzamos, QR és PS pedig BD-vel (háromszögközépvonalak).

Ha AOB\angle=\alpha, COD\angle=180o-\alpha (fél kerület, így fél középponti szög). BDA\angle =\frac{\alpha }{2}, és DAC\angle =90^{\circ} - \frac{\alpha }{2}. Ha ABCD átlóinak M a metszéspontja, MDA háromszögben MDA\angle =\frac{\alpha }{2} és DAM\angle =90^{\circ} - \frac{\alpha }{2}, így AMD\angle=90o, tehát ABCD átlói merőlegesek.

A feljebb említett párhuzamosságok miatt így PQRS valóban téglalap.

Előzmény: [690] BohnerGéza, 2007-03-27 15:07:02
[691] lorantfy2007-03-28 11:33:35

109. feladat: Szerkesszünk négyzetet, ha adott mind a négy oldalegyenesének egy-egy pontja! (Nem volt még?)

[690] BohnerGéza2007-03-27 15:07:02

Ábra a 108. feladathoz:

Előzmény: [688] BohnerGéza, 2007-03-25 22:12:54
[689] Sirpi2007-03-26 09:46:35

Amúgy ha már felmerült ez a feladat, akkor teljes indukcióval ugyanígy az is belátható, hogy a d dimenziós teret d-1 dimenziós alterekkel (azaz hipersíkokkal) legfeljebb ennyi részre lehet vágni:

\binom n0 + \binom n1 + \dots + \binom nd

Előzmény: [683] Sirpi, 2007-03-24 21:51:16
[688] BohnerGéza2007-03-25 22:12:54

108. feladat: Az O kp-ú körön ebben a sorrendben felvett A, B, C és D pontokra igaz, hogy AB ív + CD ív a kör kerületének fele. Az OA, OB, OC és OD Thálesz-köre messe a "következőt" a P, Q, R illetve S pontban! Bizonyítandó, hogy PQRS téglalap!

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]