[1006] Gyöngyő | 2008-04-14 22:45:39 |
Sziasztok!
Tudnátok segíteni a következő feladatnál:
Bizonyítsa be,hogy a tetraéder lapszögfelező síkja olyan arányban osztja az átellenes élet,amely egyenlő annak a két lapnak a területarányával,amelyek szögét felezi!
Köszike:
Zsolt
|
|
[1005] BohnerGéza | 2008-04-13 20:22:04 |
Legyen a 131. feladatban H ill. J az A'B'-nek B'-höz ill. C'D'-nek D'-höz közelebbi harmadolópontja.
Igazoljuk, hogy H, B, D és J egy egyenesen vannak!
Adjuk meg a HB, a BD és a DJ szakaszok hosszának arányát!
|
Előzmény: [1004] HoA, 2008-04-03 11:20:44 |
|
[1004] HoA | 2008-04-03 11:20:44 |
A 131. feladat megoldása:
a ) I.) A csúcspontok helyvektoraira - AB' felezőpontja B - felírható: B'=2.B-A , hasonlóan C'=2.C-B , D'=2.D-C és A'=2.A-D . Az egyenletrendszert pl. D-re megoldva kapjuk:
Ha koordinátarendszerünk kezdőpontjának D'-t választjuk, akkor ,
, ami A'B'C'D' négyszöget ismerve könnyen szerkeszthető.
II.) Szemléletesebb megoldást kapunk, ha - mint BohnerGéza is a kiegészítésben utalt rá - a feladatban kínálkozó középpontos hasonlóságokat nézzük. Legyen H1 a 1=1/2 arányú, A' középpontú hasonlóság. Ez D-t A-ba képezi le. A H2,H3ill.H4 , mind 2=3=4=1/2 arányú, B' , C' ill. D' középpontú hasonlóságok A-t B-be, B-t C-be, ill. C-t D-be képezik le. A négy hasonlóság eredője (szorzata) H5=H1.H2.H3.H4 tehát D-t fixen hagyja. Mivel 1.2.3.4=1/161,H5 is egy középpontos hasonlóság, amelynek csak a középpontja fixpont, tehát D H5 középpontja. Felhasználva, hogy adataink alapján H1,H2,H3ésH4 a sík tetszőleges pontjára végrehajtható, valamint hogy középpontos hasonlóságnál egy pont, a képe és a hasonlóság középpontja egy egyenesen van, az alábbi szerkesztés adódik:
Vegyünk fel egy P0 és egy Q0 pontot. P0 képe H1-nél P1 , P1-é H2-nél P2, P2-é H3-nál P3, végül P3-é H4-nél P3. Hasonlóan kapjuk a Q1,Q2,Q3,Q4 pontokat. P0P4 és Q0Q4 egyenesek metszéspontja D.
P0 és Q0 ügyes megválasztásával a lépések száma csökkenthető. Például legyen P0=A'ésQ0=B' . Ekkor P1 is A', P2 A'B' felezőpontja, P3P2 és C' felezőpontja, P4 pedig P3 és D' felezőpontja. Q1 A'B' felezőpontja ( =P2) , stb . ld az ábrán.
Tovább egyszerűsíthető a szerkesztés, ha figyelembe vesszük, hogy H5 aránya 1/16, így D-t csak P0 és képei alapján is megkaphatjuk: a P0P4 szakaszt hosszabítsuk meg P4-n túl az 1/15-ével.
Szerkesztésünk helyességét igazolja ha a lépéseket számítással követjük. Tetszőleges P0-ból indulva , mint azt az egyenletrendszerből kaptuk.
b) Az AC átlóval kettévágott négyszög egyik része , az ABC területe fele a BB'C' -nek, mivel AB = BB' és C'B = 2 CB. Hasonlóan a négyszög másik része, ACD területe fele az A'DD' -nek. E két területe tehát együtt a négyszög területének duplája. Ugyanez igaz a BD átlóval kettévágott négyszögre és az A'B'A ill. C'D'C -ekre. Így A'B'C'D' területe 5-szöröse az ABCD területének.
|
|
Előzmény: [1002] BohnerGéza, 2008-03-27 22:32:12 |
|
|
[1002] BohnerGéza | 2008-03-27 22:32:12 |
131. feladat: Az ABCD pozitív körüljárású négyszög minden oldalát, pozitív körüljárást tartva, meghosszabbíttottuk az oldal hosszával, kaptuk az A'B'C'D' négyszöget. ( pl. az AB' felezőpontja B )
a.) Ismerve A'B'C'D' négyszöget, szerkesztendő az ABCD!
b.) Hányszorosa az A'B'C'D' területe az ABCD területének?
|
|
[1001] HoA | 2008-02-18 15:56:38 |
A 130.feladat megoldása: Legyen az x, y, z szakaszok talppontja az a, b, c oldalak egyenesén rendre Ta,Tb,Tc. Merőleges szárú szögekről lévén szó, x és y bezárt szöge vagy-, mindenesetre a PTaTb területe . Hasonló igaz PTbTc és PTcTa -ekre. Kifejezésünkben, melyet jelöljünk F-fel, helyettesítsünk a=2Rsin, b=2Rsin, c=2Rsin szerint, ekkor F=2R(y.z.sin+z.x.sin+x.y.sin). A zárójelben a fenti -ek előjeles területösszegének kétszerese áll. A továbbiakban azt vizsgáljuk, ez P milyen helyzetére lesz 0.
A belsejében biztosan nem, hiszen ott mindhárom tag pozitív. A 3 csúcsa viszont megfelel, hiszen ott x,y,z közül kettő 0, így az összeg mindhárom tagja 0. A 3 egyenes által 7 részre vágott síknak abban a 3 részében, melyek határán csak egy hsz csúcs van, x,y,z közül 2 negatív és 1 pozitív (P1 pont) , az előjeles területekből is így 2 negatív és 1 pozitív, de a két negatív területű egyesítése magában foglalja a pozitív területűt, így az összeg nem lehet 0. ( Ezt persze bizonyítani kell ) . A maradék 3 síktartományban x,y,z közül 2 pozitív és 1 negatív (P2 pont), az előjeles területekből így 2 negatív és 1 pozitív, az előjeles összeg csakkor lesz 0, ha a területek abszolút értékei közül kettőnek az összege megegyezik a harmadikkal. Ez pedig csakkor teljesül, ha a TaTbTc területe 0, vagyis ha Ta,Tb,Tc egy egyenesbe esik. Mivel ezek éppen a P-ből az oldalegyenesekre bocsátott merőlegesek talppontjai, a keresett mértani hely a körülírt köre.
UI: Itt is megkérdezem, tudja-e valaki, mi lett a sulinet.hu KöMaL archívumával?
|
|
Előzmény: [999] BohnerGéza, 2008-02-10 11:50:42 |
|
|
[999] BohnerGéza | 2008-02-10 11:50:42 |
130. feladat: Legyen a P pont előjeles távolsága az ABC háromszög oldalaegyeneseitől rendre x, y ill. z.
( Pl. x pozitív, ha BC-nek az A felöli oldalán van. )
Adjuk meg azon P-k mértani helyét, melyekre ayz + bzx + cxy = 0!
|
|
[998] HoA | 2008-01-31 13:04:36 |
Igen, szerintem nagyon szép "szerkesztéses" megoldás. Ha már itt tartunk, nem tudom volt-e már a fórumom - vagy máshol - a "szerkesszünk háromszöget ha adottak a magasságvonalai" feladat. És persze nem a reciprok szakaszok szerkesztésére, vagy - ha létezik - a magasságvonalakból szerkesztett háromszög magasságvonalaira, mint a szerkesztendővel hasonló háromszögre gondolok.
|
Előzmény: [997] BohnerGéza, 2008-01-30 15:29:05 |
|
|
|
[995] HoA | 2008-01-29 17:59:48 |
Talán egy egylépéses meggondolás segít. Húzzuk meg a körnek a háromszög oldalaival párhuzamos érintőit. Mivel a háromszöglemez tartalmazza a kört, ezek az érintők nem alkothatnak az eredetinél nagyobb háromszöget, legfeljebb kisebbet. Ezt a második háromszöget a körrel együtt nagyítva az eredeti háromszöget és annak beírt körét kapjuk. A beírt kör tehát nem lehet kisebb eredeti körünknél.
|
Előzmény: [994] tolgyesik, 2008-01-29 17:20:34 |
|
[994] tolgyesik | 2008-01-29 17:20:34 |
A körül írt kör esetén én is megtaláltam az ellenpéldát, de a beírt kör esetén még mindig bizonytalan vagyok.
|
|
[993] HoA | 2008-01-29 10:48:47 |
Gondolatébresztőnek, amíg nem születik egy igazi "szerkesztéses" megoldás. Legyen adott az O középpontú, R sugarú k körvonalon az A pont, a kör belsejében a Q pont. Az Euler tétel szerint d2=R(R-2r) . Esetünkben d = OQ . Legyen az OQ-t Q-ban érintő, k-t metsző k' kör és k egyik metszéspontja S, OS és k' másik metszéspontja T. Ekkor a szelőtétel értelmében d2=OQ2=OS.OT=OS(OS-ST)=R(R-ST) . Tehát ST = 2r. A Q körüli, ST átmérőjű kör a háromszög beírt köre, a B és C csúcsokat e kör A-ból húzott érintői metszik ki k-ból.
|
|
Előzmény: [992] komalboy, 2008-01-26 17:23:57 |
|
[992] komalboy | 2008-01-26 17:23:57 |
Egy (remélem) könnyed feladat a geometriakedvelőknek: Adott egy körvonalon egy pont, és egy pont a körvonalon belül. Határozzunk meg a körvonalon másik két pontot úgy, hogy a körvonalra illeszkedő, ezen három pont alkotta háromszög beírható körének középpontja legyen az adott belső pont.
|
|
|
[990] jonas | 2008-01-25 13:24:05 |
A 8. viszont nem igaz általában. Hegyesszögű háromszögre a körülírt kör a legkisebb sugarú ilyen kör, tompaszögű háromszögre viszont a hosszú oldal Thales-köre az -- derékszögűre a kettő megegyezik.
|
Előzmény: [988] tolgyesik, 2008-01-25 11:52:31 |
|
[989] rizsesz | 2008-01-25 13:11:46 |
7. egy olyan kör van, ami egy háromszög minden oldalát belülről érinti, ez a beírt kör. Tegyük fel, hogy találtunk egy maximális sugarú kört, ami nem érinti mind3 oldalt. Ekkor ha 2 érintési pont van, akkor azokat rögzítve a kört nagyíthatjuk, méghozzá úgy, hogy a középpontját a 2 két érintési pont szakaszfeleő merőlegesén eltoljuk. Így előbb-utóbb mindenképpen eljutunk a beírt körhöz.
|
Előzmény: [988] tolgyesik, 2008-01-25 11:52:31 |
|
[988] tolgyesik | 2008-01-25 11:52:31 |
Kedves Fórumozók!
Két régi feladatról olvastam a fórumon, és felmerült bennem a kérdés, hogy ez a két állítás mégsem triviális?
7. feladat: Igaz-e, hogy a (nem elfajuló) háromszög beírt köre a legnagyobb sugarú kör, melyet a háromszöglemez tartalmaz?
8. feladat: Igaz-e, hogy a (nem elfajuló) háromszög köré írt kör a legkisebb sugarú kör, mely tartalmazza a háromszöglemezt?
|
|
[987] Süni131 | 2008-01-23 20:48:01 |
Kedves Fórumozók!
Egyező átmérőjű körök középpontjai egy egyenesen, egymástól egyenlő távolságra helyezkednek el. Hogyan tudnám meghatározni egy másik egyenesnek az előzővel bezárt minimális szögeit, ha a feltétel a következő:
az egyenes által kimetszett húrhosszúságok összege nem haladhatja meg az 1, 2,...,n körátmérőt, az egyenesnek az adott szögek alatti bárhová történő eltolása mellett.
A segítséget előre is köszönöm,
Üdv: Süni131
|
|
|
[986] HoA | 2008-01-21 14:03:33 |
Konkrét irodalmat nem ismerek, de mivel eddig senki sem reagált, leírom az ötleteimet. Szerintem a feladatot a regressziós egyenes mintájára lehet kezelni. Ott adva van n db pont - (xi,yi) koordinátapár - melyek nem pontosan egy egyenesre illeszkednek és a feladat a pontokra legjobban illeszkedő y = ax + b egyenes megadása. Mint tudjuk, ha az eltérés mértékének a -t vesszük, ahol yaz egyenes xi -beli y koordinátájának és yi -nek a különbsége, akkor az eltérés a ill b szerinti deriváltját 0-nak véve az egyenes a ás b paramétereire elsőfokú egyenletrendszert kapunk.
Egyszerűség kedvéért vegyünk először egy síkbeli példát 3 ponttal. Legyenek adva az A,B,C pontok, valamint az A*, B*, C* pontok koordinátái. Feltesszük, hogy az ABC és A*B*C* háromszögek nagyjából hasonlóak és keressük azt a transzformációt, mely ABC-t az A*B*C*-t jól közelítő A'B'C'-be viszi át. Ha AB és A'B' különböző hosszúak és nem párhuzamosak, ez egy nyújtva forgatás. Ha alakzatainkat a komplex számsíkon ábrázoljuk, a nyújtva forgatásnak egy z'=z0+wz transzformáció felel meg, - ld. Pl. Reimann István:Geometria és határterületei - és itt is az a feladat, hogy határozzuk meg a z0 és w számokat úgy, hogy az A,B,C pontok képei, A'B'C' a "legközelebb" legyenek az A* B* C* pontokhoz. A hiba mértékének talán itt is tekinthetjük az A'A* ... távolságok négyzetösszegét. Azt persze nem mondom, hogy z0-ra és w-re itt is elsőfokú egyenletrendszert kapunk, de ha máshogy nem, közelítő módszerekkel a feladat megoldható.
Térbeli transzformációnál még bonyolultabb a helyzet, de ott is megtalálható az a transzformáció, mely két hasonló alakzat egyikét a másikba átviszi (tenzor?) és ott is felírható a megadott A*, B* , ... és a transzformáció által létrehozott A', B', ... pontok távolságának négyzetösszege, illetve ennek az összegnek a transzformációs objektum paramétereitől való függése. Utána már csak néhány deriválás és egyenletrendszer megoldás van hátra..
|
Előzmény: [983] farkasb, 2008-01-08 19:34:30 |
|
[983] farkasb | 2008-01-08 19:34:30 |
Tisztelt Fórumozók!
Nem egy konkrét feladatot, kérdezek, hanem csak azt, hogy ismer-e valaki olyan segédletet, anyagot, módszert, ami alapján el tudnék készíteni egy térbeli transzformációt, hogy: - adott egy térbeli alakzat elméleti alakjának koordinátái egy globális rendszerben - adott ugyanennek az alakzatnak a koordinátái egy lokális koordinátarendszerben, és a pontjai kis mértékben eltérnek az elméleti alakzattól - és ezt a lokális rednszert szeretném a globálisba transzformálni közös pontok felhasználásával úgy, hogy közben lehessen látni az ellentmondásokat, eltéréseket, hibákat, és ki lehessen venni a transzformációs paraméterek számításából azokat a pontokat, amik nagy mértékben eltérnek. Előre is köszönnettel: farkasb
|
|
|
[981] BohnerGéza | 2008-01-06 02:29:39 |
Érdemes tudni, hogy egy AB szakasz látókörének két íve nem teljesen egyenértékű. Ha az egyikről AB fí szögben látszik, akkor a másikról -fí-ben.
Tekintsük HoA [978] ábráját! Ott lényeges a feladat szempontjából, hogy F-ből DA és CB ugyanolyan irányítású egyforma szögben látszik, ez a DEA(=CEB) szöggel egyenlő.
|
Előzmény: [979] HoA, 2008-01-04 15:42:37 |
|
[984] BohnerGéza | 2008-01-06 02:15:02 |
Köszönöm HoA!
A 129. feladat kitűzésekor valóban arra gondoltam, ha minden olyan ABCD négyszögre igaz, melyben AB nem egyenlő CD-vel, azaz valódi hasonlósággal (körüljárástartó) kaphatjuk AB-ből CD-t, akkor E a megfelelő forgatva nyújtásnsak a kp-ja, tehát a fixpontja is.
Ehhez minden lehetőségre meg kell mutatni, hogy E mindig a körök AFD ill. BFC ívén van. (Pl. akkor is, ha F az AB szakaszon van. )
Még azzal is, kell kezdeni valamit, ha a két kör érinti egymást - F-ben.
Sőt Az AB párhuzamos CD-t is vizsgálni kell. Mindezt a fórumon pontosan leírni nem érdemes - a következő hozzászólásban egy dologról még írok-, de:
Ha mindent megmutattunk, akkor bebizonyítottuk, hogy minden valódi hasonlóságnak van fixpontja. A feladat - a speciális eseteket kivéve - lehetőséget mutat a fixpont szerkesztésére.
|
Előzmény: [977] HoA, 2008-01-04 10:43:57 |
|