Fórum: GEOMETRIA

Nem tudom "szerkesztésesebb" megoldás-e, mint HoA-é a [993]-ban.

( Az Oa-t megkapjuk,ha O-t L-re tükrözzük. )

Talán egy egylépéses meggondolás segít. Húzzuk meg a körnek a háromszög oldalaival párhuzamos érintőit. Mivel a háromszöglemez tartalmazza a kört, ezek az érintők nem alkothatnak az eredetinél nagyobb háromszöget, legfeljebb kisebbet. Ezt a második háromszöget a körrel együtt nagyítva az eredeti háromszöget és annak beírt körét kapjuk. A beírt kör tehát nem lehet kisebb eredeti körünknél.

A körül írt kör esetén én is megtaláltam az ellenpéldát, de a beírt kör esetén még mindig bizonytalan vagyok.

Gondolatébresztőnek, amíg nem születik egy igazi "szerkesztéses" megoldás. Legyen adott az O középpontú, R sugarú k körvonalon az A pont, a kör belsejében a Q pont. Az Euler tétel szerint d²=R(R-2r) . Esetünkben d = OQ . Legyen az OQ-t Q-ban érintő, k-t metsző k' kör és k egyik metszéspontja S, OS és k' másik metszéspontja T. Ekkor a szelőtétel értelmében d²=OQ²=OS^.OT=OS(OS-ST)=R(R-ST) . Tehát ST = 2r. A Q körüli, ST átmérőjű kör a háromszög beírt köre, a B és C csúcsokat e kör A-ból húzott érintői metszik ki k-ból.

Egy (remélem) könnyed feladat a geometriakedvelőknek: Adott egy körvonalon egy pont, és egy pont a körvonalon belül. Határozzunk meg a körvonalon másik két pontot úgy, hogy a körvonalra illeszkedő, ezen három pont alkotta háromszög beírható körének középpontja legyen az adott belső pont.

Amúgy amit 7-re írtam, az igaz :)?

A 8. viszont nem igaz általában. Hegyesszögű háromszögre a körülírt kör a legkisebb sugarú ilyen kör, tompaszögű háromszögre viszont a hosszú oldal Thales-köre az -- derékszögűre a kettő megegyezik.

7. egy olyan kör van, ami egy háromszög minden oldalát belülről érinti, ez a beírt kör. Tegyük fel, hogy találtunk egy maximális sugarú kört, ami nem érinti mind3 oldalt. Ekkor ha 2 érintési pont van, akkor azokat rögzítve a kört nagyíthatjuk, méghozzá úgy, hogy a középpontját a 2 két érintési pont szakaszfeleő merőlegesén eltoljuk. Így előbb-utóbb mindenképpen eljutunk a beírt körhöz.

Kedves Fórumozók!

Két régi feladatról olvastam a fórumon, és felmerült bennem a kérdés, hogy ez a két állítás mégsem triviális?

7. feladat: Igaz-e, hogy a (nem elfajuló) háromszög beírt köre a legnagyobb sugarú kör, melyet a háromszöglemez tartalmaz?

8. feladat: Igaz-e, hogy a (nem elfajuló) háromszög köré írt kör a legkisebb sugarú kör, mely tartalmazza a háromszöglemezt?

Kedves Fórumozók!

Egyező átmérőjű körök középpontjai egy egyenesen, egymástól egyenlő távolságra helyezkednek el. Hogyan tudnám meghatározni egy másik egyenesnek az előzővel bezárt minimális szögeit, ha a feltétel a következő:

az egyenes által kimetszett húrhosszúságok összege nem haladhatja meg az 1, 2,...,n körátmérőt, az egyenesnek az adott szögek alatti bárhová történő eltolása mellett.

A segítséget előre is köszönöm,

Üdv: Süni131

Konkrét irodalmat nem ismerek, de mivel eddig senki sem reagált, leírom az ötleteimet. Szerintem a feladatot a regressziós egyenes mintájára lehet kezelni. Ott adva van n db pont - (x_i,y_i) koordinátapár - melyek nem pontosan egy egyenesre illeszkednek és a feladat a pontokra legjobban illeszkedő y = ax + b egyenes megadása. Mint tudjuk, ha az eltérés mértékének a -t vesszük, ahol yaz egyenes x_i -beli y koordinátájának és y_i -nek a különbsége, akkor az eltérés a ill b szerinti deriváltját 0-nak véve az egyenes a ás b paramétereire elsőfokú egyenletrendszert kapunk.

Egyszerűség kedvéért vegyünk először egy síkbeli példát 3 ponttal. Legyenek adva az A,B,C pontok, valamint az A*, B*, C* pontok koordinátái. Feltesszük, hogy az ABC és A*B*C* háromszögek nagyjából hasonlóak és keressük azt a transzformációt, mely ABC-t az A*B*C*-t jól közelítő A'B'C'-be viszi át. Ha AB és A'B' különböző hosszúak és nem párhuzamosak, ez egy nyújtva forgatás. Ha alakzatainkat a komplex számsíkon ábrázoljuk, a nyújtva forgatásnak egy z'=z₀+wz transzformáció felel meg, - ld. Pl. Reimann István:Geometria és határterületei - és itt is az a feladat, hogy határozzuk meg a z₀ és w számokat úgy, hogy az A,B,C pontok képei, A'B'C' a "legközelebb" legyenek az A* B* C* pontokhoz. A hiba mértékének talán itt is tekinthetjük az A'A* ... távolságok négyzetösszegét. Azt persze nem mondom, hogy z₀-ra és w-re itt is elsőfokú egyenletrendszert kapunk, de ha máshogy nem, közelítő módszerekkel a feladat megoldható.

Térbeli transzformációnál még bonyolultabb a helyzet, de ott is megtalálható az a transzformáció, mely két hasonló alakzat egyikét a másikba átviszi (tenzor?) és ott is felírható a megadott A*, B* , ... és a transzformáció által létrehozott A', B', ... pontok távolságának négyzetösszege, illetve ennek az összegnek a transzformációs objektum paramétereitől való függése. Utána már csak néhány deriválás és egyenletrendszer megoldás van hátra..

Tisztelt Fórumozók!

Nem egy konkrét feladatot, kérdezek, hanem csak azt, hogy ismer-e valaki olyan segédletet, anyagot, módszert, ami alapján el tudnék készíteni egy térbeli transzformációt, hogy: - adott egy térbeli alakzat elméleti alakjának koordinátái egy globális rendszerben - adott ugyanennek az alakzatnak a koordinátái egy lokális koordinátarendszerben, és a pontjai kis mértékben eltérnek az elméleti alakzattól - és ezt a lokális rednszert szeretném a globálisba transzformálni közös pontok felhasználásával úgy, hogy közben lehessen látni az ellentmondásokat, eltéréseket, hibákat, és ki lehessen venni a transzformációs paraméterek számításából azokat a pontokat, amik nagy mértékben eltérnek. Előre is köszönnettel: farkasb

Kettővel ezelőtti hozzászólásomban E-t és F-et végig felcseréltem. Elnézést!

Érdemes tudni, hogy egy AB szakasz látókörének két íve nem teljesen egyenértékű. Ha az egyikről AB fí szögben látszik, akkor a másikról -fí-ben.

Tekintsük HoA [978] ábráját! Ott lényeges a feladat szempontjából, hogy F-ből DA és CB ugyanolyan irányítású egyforma szögben látszik, ez a DEA(=CEB) szöggel egyenlő.

Köszönöm HoA!

A 129. feladat kitűzésekor valóban arra gondoltam, ha minden olyan ABCD négyszögre igaz, melyben AB nem egyenlő CD-vel, azaz valódi hasonlósággal (körüljárástartó) kaphatjuk AB-ből CD-t, akkor E a megfelelő forgatva nyújtásnsak a kp-ja, tehát a fixpontja is.

Ehhez minden lehetőségre meg kell mutatni, hogy E mindig a körök AFD ill. BFC ívén van. (Pl. akkor is, ha F az AB szakaszon van. )

Még azzal is, kell kezdeni valamit, ha a két kör érinti egymást - F-ben.

Sőt Az AB párhuzamos CD-t is vizsgálni kell. Mindezt a fórumon pontosan leírni nem érdemes - a következő hozzászólásban egy dologról még írok-, de:

Ha mindent megmutattunk, akkor bebizonyítottuk, hogy minden valódi hasonlóságnak van fixpontja. A feladat - a speciális eseteket kivéve - lehetőséget mutat a fixpont szerkesztésére.

Igen, ezt így tudtam én is, de nem ez volt a feladat, amit nem tudtam. De azért köszi. Hidd el a másik is lehetséges, hisz az egyetemen kérik. De ha megtudom, közre adom!!

Na látod, ez az, amiről eddig szó sem volt: adott a szakasz felezőponja is. Egy megoldás: P az AS egyenes szabadon választott pontja, PN és SB metszéspontja Q, AQ és PB metszéspontja R, SR a keresett egyenes.

Hogy "adott pontból adott pontra állítson merőlegest" azt meghagyom neked.

Tisztelt Fórumozók! Látom galibát okoztam, bár nem állt szándékomban. A feladatom amit nem tudok megoldani, az az volt és nem több, hogy adott pontból adott pontra állítson merőlegest. sajnos nincs itt semmiféle körkp és egyebek. Eljutottunk a párhuzamos szerkeszthetősége vonalzóval vitájához, amit konkrétan nem fejtettem ki, mert nem ez volt a feladatom, pusztán reagáltam Jónásnak arra, hogy lehetséges. De most megteszem. A feladat: adott egy AB szakasz, annak N felező pontja és S pont mely nem illeszkedik a szakaszra. Húzzon S-en át párhuzamost az AB szakasszal. Mivel a (csak)vonalzós szerkesztésekhez 4 adott pontra van szükség így egy 4. pontot tetszőlegesen veszünk föl (az A és S pontot összekötő egyenesen). HA több időm lesz megpróbálom itt megszerkeszteni de legalábbis leírni a menetét, de épp geo. vizsgára készülök.

Az ábra szerinti elrendezésben az ABF és CDF háromszögek B-nél ill. C-nél lévő szögei (piros) a k₂ körben, A-nál ill. D-nél lévő külső szögei (zőld) a k₁ körben az EF húrhoz tartozó kerületi szögek. Úgy vélem, BohnerGéza nem a nehézsége miatt adta fel ezt a feladatot, hanem valamilyen érdekes észrevétele van - talán a forgatva nyújtással vagy a négy háromszög tételével kapcsolatban?

Én meg úgy gondolom, hogy egy geometria fórumon a szerkesztési feladatokat szabatosan illik megfogalmazni. Mi adott és mit kell szerkeszteni? Ha például kiderül, hogy az egyenesen és ponton kívül még egy kör meg a középpontja is adott, akár merőlegest is szerkeszthetsz az adott ponból az adott egyenesre csak vonalzóval.

Elnézést, legközelebb nem csak az egy hozzászólást nézem meg. :) Ennek így valóban előfeltétele egy és más. Bubókának drukkolok a vonalzóval szerkesztéshez!

Igen, de ott meg van adva egy párhuzamos, és egy másikat kell szerkeszteni. Azt tényleg meg lehet csinálni.

Adott a két párhuzamos fekete egyenes, és a fekete pont. Meghúzod tetszőlegesen a két piros egyenest, az egyiket a fekete ponton keresztül. Utána meghúzod a három narancssárga egyenest a megfelelő metszéspontokat összekötve, utána a zöld egyenest, majd a kéket, végül a rózsaszínt. A rózsaszín párhuzamos lesz a két feketével.

(Nem vagyok benne biztos, hogy ez a legegyszerűbb szerkesztés, lehet, hogy egy egyenest meg lehet spórolni.)

Ha viszont nincs másik párhuzamos adva, csak egy fekete egyenes és egy pont, akkor csak egyenes vonalzóval szerintem nem lehet megszerkeszteni a rózsaszín párhuzamost. A 969. hozzászólást egyszerűen nem gondoltam át.

Az a feladat is így kezdődik: "Adott egy trapéz,...", azaz nem csak egy egyenes és egy pont adott síkon,hanem egy párhuzamos egyenespár és egy pont. Jonas épp azt kérdezte [969], hogy Bubóka eredeti feladatában nincs-e más is megadva a ponton és az egyenesen kívül.

Jaja, bár nincsen ott a megoldásnál, de a 2001/2002 február B. 3527. is ezen alapult.