Fórum: Csak logika

Adott n darab bolygó, ezek mindegyikén egy-egy csillagász (képzeletbeli, zárt rendszerről van szó). Mindegyik csillagász figyeli a hozzá legközelebb eső valamelyik bolygót (de nem azt, amelyiken van). Tudjuk, hogy minden bolygót valamelyik csillagász megfigyelés alatt tartja. Mennyi lehet n értéke, ha nincs két azonos bolygóközötti távolság?

Egy dobozban 2012 fehér golyónk van és még feleslegben piros és zöld golyó a dobozon kívül. Cserélgetjük a golyókat, ezt a következő módon tehetjük:

(1.) két zöldet két fehérre és fordítva,

(2.) három pirosat és egy fehéret egy zöldre,

(3.) egy zöldet és két fehéret két pirosra,

(4.) öt zöldet két pirosra és két fehérre, vagy végül

(5.) egy pirosat és egy zöldet egy fehérre cserélünk.

A feladat:

a) Tegyük fel, hogy valahány csere után három golyó marad a dobozban. Mutassuk meg, hogy ezek háromféle színűek!

b) Elérhető-e, hogy három golyó maradjon?

Azért ez nem ennyire egyszerű. Így fel sem tettem volna.

:o)

Szerintem a bolygók száma tetszőleges páros szám lehet.

És a kolléga állításában/nyilatkozatában/kijelentésében megbízunk 100

100%-osan?

a válasz, feltételes valószínűséggel kijön. De el is lehet "mesélni": 18 húzásból 9-szer otthon van a kulcs, míg a többi 1-1 esetben a fiókok egyikében. Ezek közül 8 eset kiment, hiszen 8 fiókban nincs kulcs, maradt 10 eset, ezek közül csak egyben van a kulcs a munkahelyen, így a valószínűség.

Kicsit http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem típusú a probléma azt is nézve, hogy sok válasz adható rá.

És ptlan nem lehet. Feltétel szerint a gráfban (irányított él van a megfigyelés szerint) minden pont befoka legalább egy, de n él van, így a befokok összege n, azaz minden befok 1 (és kifok is). Így a gráf irányított körök diszjunkt uniója lehet csak, különböző távolságok miatt 2-nél hosszabb kör nem lehet (nézzük a legrövidebb oldalt a körben). Így valahány (n/2) kettő hosszú kör uniója a gráf, azaz n ps.

Valamit nem értek. Mit jelent a hozzá legközelebb eső valamelyik bolygó ha nincs két azonos bolygóközötti távolság ? Ha viszont nem kötelező a legközelebbi bolygót figyelni, akkor miért nem jó n = 3, ahol A figyeli B-t, Bfigyeli C-t és C figyeli A-t ?

Először azonos távolságokkal is fel akartam tenni, de úgy badarság lett volna.

Egy másik "mesélős" megoldás: Feleségem megüzeni, hogy az otthon hagyott cuccaimat véletlenszerűen bepakolta a 9 fiókos komód fiókjaiba. A munkahelyi fiókok kihúzogatása előtt így 18 fiókban lehet egyforma valószínűséggel ( 1/18 ) a kulcs, a 8 fiók kihúzása után csak 10-ben. ( 1/10 )

Nem kicsit hasonlít az MH problémára, hanem az rejtezik benne. Emiatt a válasz sem jó.

Ha mindet én nyitottam volna ki, én próbálkoztam volna vele, akkor persze igaz.

Akkor talán úgy kellene átfogalmazni, hogy a két legközelebbiből az egyiket. S talán azt is ki kellene kötni, hogy legalább 4 bolygó létezik.

Tetszik. És akkor ez - legalábbis számomra - egy új megközelítés az MH probléma megoldásának magyarázatára. A kolléga információja : "mondok 3 fiókot, ami üres" , nem egyenértékű azzal, hogy "véletlenszerűen kihúztam 3 fiókot és egyikben sem volt" .

Tehát akkor úgy kell érteni, hogy az a 3 fiók, mintha nem is lett volna. És akkor marad az eddigi okoskodás 6 fiókkal, így 1/7 a megoldás. Bár szerintem ez elég matematikus megoldás, az 1/10 természetesebb (ha a kollégám azt mondja, hogy abban a háromban nincs, akkor inkább arra gondolok, hogy megnézte azt a hármat és nem találtam, mint arra hogy mindent megnézett és csak ennyit árul el nekem).

Szerintem ha "az MH probléma rejtezik benne", akkor arról van szó, hogy a kolléga mondott 3 fiókot, ahol BIZTOSAN nincs a kulcs. Lehet, hogy egy másikban megtalálta. Az állítás csak arról szól, hogy ebben a háromban nincs.

Igen. Akkor lesz olyan mintha azok a fiókok nem is lettek volna, és így jön ki az 1/7.

"Fele-fele valószínűséggel a munkahelyemen vagy otthon lehetséges" Ez hol derül ki a módszeredből? A módosított feladatra, akkor a tippem, Monty-t követve marad valószínűség, hogy az egyik fiókban van, de mivel 6 fiók marad a kolléga kijelentése után, ezért lesz a valószínűsége, hogy az utolsóban van.

OK, a megoldás, mint Erdőst engem is egy szimuláció győzött meg. 10⁵ kisérletből 58518 olyan eset volt, amikor nem találtam meg 5 húzás után a kulcsot, és ezek közül 8442 estben az utolsó fiókban volt a kulcs. (Tapasztalati) valószínűség itt: .

A Monty Hall wiki-oldalon idézett vos Savant-féle módosítással itt is segíteni lehet az intuíciónkat, ha az arányokat eltorzítjuk: legyen a munkahelyi fiókok száma kezdetben 1000000, és tegyük fel, hogy a kolléga 999994-ről nyilatkozott.

Elég észrevenni, hogy mivel a kolléga megmondja, hogy úgysincs bennük, ezért olyan mintha nem is léteztek volna. Tehát ha alapból 1000000 fiók van, de abból 999994 alapból ki van zárva (mindent tudó kolléga elárulta), akkor ez olyan mintha csak 6 fiók lenne.

Nem teljesen így van. Mert ha azokat eleve kizárjuk, ha azt mondjuk róla, hogy nem is volt, amiről a kolléga nyilatkozott, akkor ezzel elvileg az otthoni 'virtuális' fiókjaink számának is csökkennie kellene. De azok nem csökkenhetnek azzal, hogy a munkahelyen a kolléga nyilatkozott pár a kulcsot nem tartalmazó fiókról. S az ügy szempontjából lényegtelen a vizsgálódás előtti fióknyitogatásom és kollégám megmondásának sorrendje.

Szerintem egy kicsit feleslegesen elbonyolítod ezzel. A virtuális fiókokat csak azután vezetjük be, miután a kizárt fiókokat töröltük. Az utolsó állításod meg egyszerűen hamis, nem lényegtelen a sorrend (ha a kolléga nyilatkozik először 1/7 jön ki, míg ha a próbálkozás van először akkor 4/13)

Kérlek részletesen vezesd le és győzzél meg az igazadról!

Még egy tipp - mert az előzmények után megoldást már nem merek mondani.

Remélem elfogadjátok [444]-es modellemet az otthoni 9 fiókos komóddal. Kezdetben mind a 18 fiókban 1/18 valószínűséggel van a kulcs - összhangban azzal, hogy otthon az otthoni fiókok valószínűségének összegével, 9/18 = 1/2 valószínűséggel van .

A három "megmondott" irodai fiók kiesése után szerintem sem változik annak a valószínűsége, hogy otthon hagytam a kulcsot, hiszen a kolléga mindig tud mutatni 3 üres fiókot, akár otthon van a kulcs akár nem. Változik viszont az egyes munkahelyi fiókokban a kulcs valószínűsége 1/18-ról 1/12-re.

Hogy ne kelljen törtekkel vesződni, mondjuk azt, hogy 36 egyforma valószínűségű esetből 2-2 -ben az otthoni O₁,O₂,...,O₉ fiókok valamelyikében ( 18 eset ) , 3-3 -ban a munkahelyi M₁,M₂,...,M₆ fiókok egyikében van a kulcs ( szintén 18 eset )

Mind a 36 fenti helyzethez tekintsük azt a 6 esetet, ahányféleképpen a 6 munkahelyi fiókból ötöt ki lehet választani ( = ahányféleképpen ki lehet választani azt az egyet, amelyiket NEM húzom ki ) . Így képezhetjük a [ kulcs helye ; ki nem húzott M fiók ] párokat. Ez 6 * 36 = 216 darab, egyforma valószínűségű páros. Ezek közül annál az 108 párosnál, ahol az első tag O fiók, mindig 5 üres munkahelyi fiókot találunk. Abból a 108 párosból, ahol mindkét tag M fiók, csak 18 esetben kapunk 5 üres fiókot : mind a 6 fiókra az a 3 pár jó, ahol a pár két tagja megegyezik, vagyis éppen azt a fiókot nem húzzuk ki, amelyikban a kulcs van. Tehát ha 5 üres fiókot húzunk ki, akkor a 108 + 18 = 126 egyforma valószínű eset egyike következett be. Ezek közül 18 esetben van az irodában a kulcs, a keresett valószínűség tehát 18/126 = 1/7.