Fórum: Csak logika

Kedves Dávid!

Beleestél az újoncok csapdájába. :o) Ti. olyan feladatot adtál fel, melyet már alaposan kiveséztünk az "Érdekes matekfeladatok" topikban 32. feladat [133].

Baráti javaslatom, hogy tanulmányozd át azt a topikot is, mivel korábban a logikai feladatok is ott lettek feladva, s talán még mindig akad néhány megoldatlan.

HK

18. feladat: Amikor A azt mondja, hogy nem tudja B számát, kiderül, hogy a>100, különben nyilván b=a+100 volna, hiszen a-100 már nempozitív. Utána B sem tudja a számot, tehát b-100 és b+100>100, különben ki tudná választani a kettő közül A számát. Tehát b>200. A következő két állításból ugyanígy kiderül, hogy a>300 és b>400.

Ebből azonban A már tudja b-t. Tehát a-100 és a+100 közül az egyik nagyobb 400-nál, a másik nem, azaz a[301..500]. Innen már B is tudja a-t, tehát b[401..600] B akkor nem tudná a-t, ha az nagyobb volna 500-nál, mert akkor a negyedik állítás után sem tudta volna kitalálni b-t, tehát a=500 és b=600.

Mondjuk annyi nem világos, hogy mit jelent az, hogy "ha egyel nagyobb számra gondoltál volna". Én feltételeztem, hogy ez azt jelenti, hogy akkor B is automatikusan egyel nagyobb számra gondolt volna. Ugyanis egyébként az elejétől fogva érvénytelen lett volna az a megállapítás, hogy a két szám különbsége 100, tehát nem lehetett volna felhasználni.

Na jó, ez nem helyesíró topik, de azért egyel->eggyel természetesen.

Kedves Dávid!

Az első bekezdésed jó, de innen szerintem nem jól gondolkodtál. Nekem például az A=349 és B=449-re is kijött, amikor visszapróbáltam. (Puding próbája az evés :o)

Ezeket a feladatokat meta-feladatoknak nevezik és én is csak Gyuri által feladva találkoztam először vele az "Érdekes matekfeladatok" topikban. Azóta máshol is belebotlottam, át is másoltam ide a talált két példát.

HK

Kedves Károly!

Az a=349 és b=449 behelyettesítve nem jó, mert az a=350 és b=450-re B ugyanúgy ki tudta volna találni a-t. Tehát nem volna igaz az az állítása, miszerint ha A eggyel nagyobb számra gondolt volna, akkor nem tudta volna kitalálni a-t.

Kedves Dávid!

Direkt írtam ezt a számot, ami nem jó. Így már tudod, hogy a pótmegjegyzés miért született, s van értelme. Azaz a jó megoldás A=400 és B=500, s nem a Te általad írt A=500 és B=600. S az A=401-nél ill. B=501-nél, még nem áltak volna le.

Üdv: HK

Kedves Károly!

Bocs, hogy értetlenkedem, de nézzük meg: A negyedik válasz után A tudja, hogy b>400, és B tudja, hogy a>300.

1. a=400 és b=500: Most A van soron. Két lehetősége van b-re, 300 és 500. Tudja, hogy b>400, és mivel ez 300-ra nem igaz, ezért tudja, hogy b=500. B-nek is két lehetősége van A-ra, 400 és 600. De tudja, hogy nem lehet 600, mert ha annyi lenne, akkor A nem tudott volna választani a két lehetősége közül (500 és 700), mert mind a kettő nagyobb 400-nál és csak ennyit tud b-ről. Tehát B tudja, hogy a = 400.

2. a=401 és b=501: A lehetőségei 301 és 501. Ezek közül csak 501 nagyobb 400-nál, tehát tudja, hogy b=501. B lehetőségei 401 és 601. De tudja, hogy nem lehet 601, mert akkor A nem tudott volna választani a két lehetősége közül (501 és 701), tehát B tudja, hogy a=401. Nem igaz tehát, hogy ebben az esetben B nem tudta volna kitalálni a-t.

Kedves Dávid!

Mikor kívülről hallgatjuk András és Béla párbeszédjét, akkor csak 100-as tartományban sejthetjük az általuk gondolt számot. A=301-400 és B=401-500. De a feladat szerint pontosan kell kitalálni. Ezt pontosítja az utolsó megjegyzés - "de ha eggyel nagyobb számra gondoltál volna, még mindig nem tudnám." - amit véletlenül Andrásnak lett írva, holott Béla mondta logikusan.

Ha ez az elírás zavart meg, elnézésed kérem.

HK

Kedves Károly!

Észrevettem, hogy az utolsó mondatot Béla mondta, és ezt feltételezve oldottam meg a feladatot. Továbbra sem látok hibát a gondolatmenetemben. Mikor mi kívülállóként hallgatjuk A és B beszélgetését, persze nem tudjuk pontosan a-t és b-t. Csak az által tudjuk meg, hogy Béla nem tudta volna kitalálni a-t, ha a eggyel nagyobb lett volna. De a=401 és b=501-re még ki tudta volna találni, tehát a=400 és b=500 nem lehet megoldás. E nélkül csak annyit tudunk, hogy a[301..500] és b[401..600].

Kedves Dávid!

Rájöttem, hogy egyikünk megoldása sem jó. Az nyílvánvaló, hogy a kisebb számot gondoló fogja előbb kitalálni, mivel ő fog hamarabb olyan helyzetbe jutni, hogy sajátszám-100 nem lehet a másik száma.

Mikor B először nem tudja, abból csak az következik, hogy b>100. Ha ezt a gondolatmenetet végigkövetjük az alábbi következik a négy még nem tudom válaszból: a[201..300]b[301..400].

Mivel elhangzott az a kijelentés, hogy "eggyel nagyobb számra történő gondolás esetén nem tudtam volna kitalálni", így a=300 és b=400. A kijelentést feltehetően András mondhatta.

(A feladatot átmásoltam, így az eredeti beírója is hibásan írhatta be. Mea culpa ... :o)

HK

Kedves Károly és Dávid!

Gratula, ez már tényleg a jó megoldás. Minden nemleges válaszpár 100-al tolja felfelé az intervallumot, amiben a gondolt számok közül a kisebb van, aztán aki a kisebb számot gondolta az találja ki. Szerintem mindegy ki mondja az eggyel nagyobb számos szöveget, az csak nekünk, külső megfigyelőknek szól, hogy mi is megtudjuk, a legnagyobb számról van szó az intervallumban.

A 18-ashoz (A=András, B=Béla, a=A által gondolt szám, b=B által gondolt szám):

1. A: "Nem tudom b-t" -> b>0 a feltétel szerint. A azért nem tudja b-t, mert mindkét lehetősége: a-100 és a+100 is lehetséges tipp b-re. b>0, eddig csak ennyit tud róla. Tehát akkor nem tud választani, ha a-100>0 és a+100>0, azaz ha a>100.

2. B: "Nem tudom a-t" -> B tudja, hogy a>100. Neki most két tippje van a-ra, b-100 és b+100, és azért nem tud választani, mert mindkettőre igaz, hogy >100. Tehát b-100>100 és b+100>100, azaz b>200.

3. A: "Még mindig nem tudom b-t" -> A tudja, hogy b>200, két tippje (a-100 és a+100) közül azért nem tud választani, mert mindkettőre igaz, hogy >200. a-100>200 és a+100>200, tehát a>300.

4. B: "Még mindig nem tudom a-t" -> B tudja, hogy a>300, két tippjére b-100>300 és b+100>300 teljesül, azaz b>400.

5. A: "Már tudom b-t" -> A azért tudja b-t, mert két tippje (a-100 és a+100) közül az egyikre igaz, hogy >400, de a másikra nem. Tehát két eset van:

5/1: a-100>400 és a+100<=400 -> a>500 és a<=300, ez lehetetlen.

5/2: a-100<=400 és a+100>400 -> a<=500 és a>300, azaz a[301..500] Ha ez nem teljesül, akkor A ebben a lépésben nem tudja kitalálni b-t.

6. B: "Már én is tudom a-t" -> B azért tudja a-t, mert két tippje (b-100 és b+100) közül az egyik [301..500], a másik nem. A két eset:

6/1: b-100[301..500] de b+100 nincs [301..500]-ban -> b[401..500] és b nincs [201..400]-ban, összevetve b[401..500]

6/2: b+100[301..500] de b-100 nincs [301..500]-ban -> b[201..300] és b nincs [401..600]-ban, de ezt az esetet kizárhatjuk, mert b>400. Tehát b[401..600].

7. B: "Ha a eggyel nagyobb lenne, még mindig nem tudnám". Ha a+1[301..500], akkor B úgy is ki tudta volna találni. Tehát a+1 kívül esik [301..500]-on -> a=500 és b=600.

Kedves Dávid!

Kristálytiszta levezetésed meggyőző. :o)

Gondolom a 6/1 és 6/2-t így gondoltad:

6/1: b-100[301..500] de b+100 nincs [301..500]-ban -> b[401..600] és b nincs [201..400]-ban, összevetve b[401..600]

6/2: b+100[301..500] de b-100 nincs [301..500]-ban -> b[201..400] és b nincs [401..600]-ban, de ezt az esetet kizárhatjuk, mert b>400. Tehát b[401..600].

Üdv: HK

Kedves Károly!

Persze, 6/1-ben és 6/2-ben elírtam a számokat, de a végkövetkeztetést ("Tehát b[401..600]") szerencsére nem.

20. feladat:Gyuri "Érdekes matekfeladatok" topikbeli 81. feladata, László ábrájával:

Egy körlap alakú zárat kell kinyitni. Szimmetrikusan, 4 lyuk található a körlapon. Mindegyik lyukban van egy kétállású kapcsoló, melyek nem látszanak. A zár akkor nyit, ha mindegyik kapcsoló azonos állásban van. A kapcsolók állása viszont kitapintható! Lehetöségünk van kiválasztani két lyukat, majd oda egy-egy kezünkkel benyúlni, majd a kapcsolók kitapintása után azokon állítani. Miután ezt megtettük, a körlap alakú kapcsolótábla forgásnak indul, majd újra megáll. De hogy az eredeti helyzetéhez képest miként, arról semmit nem tudunk, hisz a forgás nagyon gyors volt. Ezután ismét kiválaszthatunk két lyukat, és az elöbb leírt módon operálhatunk. Ismét forgás következik. És így tovább!

Kinyitható-e a zár biztosan? Feltéve persze, hogy nem jelölhetjük meg a lyukakat!

A feladatra készült egy 7 lépéses megoldás, de a feladat beírója szerint létezik egy 5 lépéses megoldás is.

Kedves Dávid!

Engem is meggyőztél! Okos levezetés.

Kedves Onogur!

Leirok egy ötlépéses kombinációt, szerintem ez működik:

Jelöljük a kapcsoló két állását 1-gyel és 2-vel! Minden lépés után feltételezzük, hogy nem nyilik ki.

1. Fogjunk meg két szemközti kapcsolót, és állitsuk mindkettőt 2-re! 2. Fogjunk meg két egymás melletit, és állitsuk 2.re!

3. Fogjunk meg két szemköztit, és ha megfogtuk a maradék 1-est, készen vagyunk, egyébként állitsunk egy 2-est 1-re!

4. Fogjunk meg két egymás mellettit, és mindkettot állitsuk a másikra.

5. Ha nem nyilt ki, fogjunk meg két szemköztit, állitsuk a másikakra oket, és muszáj kinyilnia.

A bizonyitást nem irom le, ha az összes lehetséges helyzetet fégigfuttatjuk, mindegyik kinyilik valahol ...

Egy újabb történet, nem tudom, menniyre ismert: 21. feladat: Az antik gyertyatartó: A helyszín egy híres londoni műkereskedés. Egy Rolls-Royce érkezik, és a libériás sofőr egy választékos külsejű idős úrnak nyitja ki a kocsi ajtaját, aki belép az üzletbe (nem a kocsi, hanem az úr :-)). Egy 17. sz.-ból való gyertyatartóra mutat a kirakatban. Közelről is megvizsgálja, majd élénk párbeszédet folytat a kereskedővel. Végül megír egy csekket 5000 fontról, majd távozik a gyertyatartóval. Röviddel ezután a kereskedő lebonyolít néhány telefonhívást, mielőtt bezárna. Két nappal később valaki felhívja telefonon, aminek láthatóan örül. Ezalatt a választékos külsejű úr gondosan becsomagolta a vásárolt gyertyatartót. Egy fiatalabb férfi, Robert érkezik az idős úr Ritz szállóbeli lakosztályába, majd a becsomagolt gyertyatartót taxival elszállítja ugyanahhoz a műkereskedőhöz, akitől az idősebbik vette. A kereskedő 9000 fontot fizet neki készpénzben a gyertyatartóért. Mi történt?

Kedves Suhanc!

Gratula! Leellenőriztem és működik.

HK

22.Feladat: Oldjuk meg Onogur 20. feladatát úgy, hogy a kapcsolók helyén gombok vannak, azaz, nem tudjuk, hogy milyen állású a kapcsoló!

megoldás a 22. feladatra:

A zár csak akkor nyitható ki biztosan, ha nem kötelező minden esetben 2 gombot megnyomni (elég csak egyet), különben, amennyiben induláskor egy kapcsoló állása tér el a többitől, a zár sosem fog kinyílni.

Így egy hétlépéses megoldát találtam:

1. lépés: 2 szemközti gombot megnyomunk

2. lépés: 2 szomszédos gombot megnyomunk

3. lépés: ismét 2 szomszédos gombot nyomunk meg

4. lépés: 1 gombot nyomunk meg

5. lépés: 2 szemközti gombot nyomunk meg

6. lépés: 2 egymás melletti gombot nyomunk meg

7. lépés: 2 szemköztit nyomunk meg

Mivel minden kapcsoló kétállású, a különböző állások száma 2⁴. Azonban mindegy, hogy melyik állásban vannak a kapcsolók, a lényeg, hogy egyformán álljanak, ezt a számot osztani kell kettővel, így tehát 8 lehetséges eset van.

Tehát mind a 8 lehetséges esetet végigjártunk (beleértve a kezdő helyzetet is), így egyik esetben biztosan ki kell nyílnia az ajtónak.

23. feladat: Egy hajón 100 rabot szállítanak egy börtönszigetre, ahonnan lehetetlen megszökni. Életfogytiglan szabadságvesztésre ítélték őket, de van egy lehetőségük a szabadulásra. A rabokat a börtönben ki szokták vinni sétálni egy kis udvarba. Véletlenszerűen választják ki, hogy kit visznek ki sétálni, mindig egyszerre csak egyet. Ha valamikor egy rab biztosan meg tudja mondani, hogy már mindenki volt kint sétálni, akkor mindannyian megszabadulnak. Az udvarban van egy lámpa, amelynek a kapcsolóját csak a rabok kezelhetik, amikor éppen sétálnak. A szigetre tartó hajón a rabok beszélgethetnek, kialakíthatnak valamilyen stratégiát, a szigeten azonban semmi módon nem érintkezhetnek, és nem látják a cellájukból a lámpát.

Megszabadulhatnak?

Kedves ScarMan!

A 23. feladat gyakorlatilag megegyezik Gyuri 82. feladatával az Érdmatfel-ben. Ez persze ne tartson vissza senkit, hogy itt megoldja!

24. feladat:

Nekeresd sziget Sokszög falvában élő 90 embert háromféle csoportba lehet besorolni. Vannak igazmondók, kik hatszög alakú házban élnek és mindig igazat mondanak;hazugok, kik ötszög alakú házban élnek és mindig hazudnak; s köpönyegforgatók, kik négyszög alakú házban élnek és nem lehet tudni, mikor mondanak igazat.

Egyik nap összegyűltek a falu közepén három 30 fős csoportban. Az egyik csak egyféléket, a másik egyenlően kétféléket, a harmadik egyenlően mindegyikből tartalmazott.

Valamely csoportból mindenki azt mondja: - Én igazmondó vagyok.

Egy másik csoportból mindenki azt kiáltja: - Én hazug vagyok.

A harmadik csoportból pedig mindenki ezt: - Én köpönyegforgató vagyok.

Hányan élnek ötszög alakú házban?

HK