Fórum: Érdekes matekfeladatok

Ha és g(x)=x²-5, akkor az f(x)=g(x) egyenletet kell megoldani.Ekkor

g(f(x))=g(g(x) is teljesül. De g(f(x))=x, ezért

g(g(x))=x

Ha g(x)=x, akkor g(g(x))=x is teljesül, ezért az x²-5=x egyenlet gyökei az eredetinek is gyökei, azaz x²-x-5 a Csimby által említett egyik tényező.

Vagy megkérdezed Káli gúlát, hogyan lehet fejből megmondani a gyököket :-)

A lényeg, hogy valahogy kitalálod a szorzattá bontást:

x⁴-10x²-x+20=(x²-x-5)(x²+x-4)

És mivel a szorzat akkor 0, ha valamelyik tényező 0, ezért elég ezt a két másodfokú egyenletet megoldanod.

esetleg nincsen valami ojan megoldási lehetőség,amit 10dikes fejjel meglehet csinálni.....ugyanis nemigazán vettünk minden ojan anyagot,ami az általad leírt megoldásban szerepel.....

Az érdekes feladat : felrajzolni a két parabolát, azután letenni a ceruzát, és fejből mondani a gyököket.

Négyzetre emeljük mindkét oldalt és egy oldalra rendezzük:

f(x)=x⁴-10x²-x+20=0

Próbáljuk meg két másodfokú szorzatára bontani (mindkét tényezőben a főegyüttható 1, hiszen a szorzat főegyütthatója a tényezők főegyütthatójának szorzata):

(x²+ax+b)(x²+cx+d)

Végezzük el a szorzást! Két polinom akkor egyenlő, ha az együtthatóik egyenlőek, tehát az alábbi egyenleteket írhatjuk fel:

0=a+c

-10=d+b+ac

-1=ad+cb

20=db

A Második Gauss Lemma szerint ha f egész együtthatós polinomot felbontottuk a racionális együtthatós g és h polinomok szorzatára, akkor g és h megszorozható alkalmas racionális számokkal úgy, hogy a kapott g₀ és h₀ polinomok egész együtthatósak legyenek és f=g₀h₀ teljesüljön.

Ezért tehettük föl, hogy h és g főegyütthatója 1 (vagy asszociáltja) és kereshetjük a kapott egyenletrendszer megoldását az egész számok körében. Amit innentől szerintem be tudsz fejezni.

Ha kijöttek az együtthatók, megoldod a két másodfokú egyenletet a megoldóképlettel, így 4 gyököt fogsz kapni. De 2 gyök nem elégíti ki az eredeti egyenletet, hiszen ott a bal oldal pozitív -> a jobboldal is pozitív ->

Sziasztok!Lehet ,hogy nem az érdekes feladatok közé tartozik,de segítség kellene ennek az egyenletnek a megoldásában...A segítséget előre is köszönöm!

Kíváncsi vagyok, hogy csináltad abban az esetben, ha pl. f nem folytonos, mondjuk, megszámlálhatóan végtelen sok pontban szakad (persze szigorúan monoton növő).

Sőt,akkor is jó marad, ha f-ről csak annyit teszünk fel, hogy monoton [0,1]-en ( tehát semmi folytonosság,netán differenciálhatóság).

Na, ez a feladat nagyon tetszett, nem hallottam még korábban, csak mindenféle elcsépelt egyféle bábos felpakolásokat.

8x8-asra k=5, 10x10-re k=7 (tovább még nem volt időm vizsgálódni), mindkettőre van konstrukcióm, és könnyű látni, hogy többet nem lehet felrakni. Utóbbinak leírom a bizonyítását, ábrát egyelőre nem teszek fel.

Szóval ha egy nxn-es sakktáblára fel lehet tenni k db bástyát és futót egyszerre, akkor teljesülnie kell az (n-k)²k egyenlőtlenségnek. Ez úgy jön ki, hogy a k db bástya mind külön sort és oszlopot kell, hogy elfoglaljon, így a futóknak már csak egy (nem feltétlen egybefüggő) (n-k)x(n-k)-s részrácson marad hely. Itt el kell férnie mind a k futónak, innen jön, hogy (n-k)²k, ahonnan viszont adódik, hogy , ez pedig n=8-ra , tehát ekkor k<6, vagyis k5. Hasonlóan adódik n=10-re, hogy k7.

Ez utóbbi nehezebb különben, mert míg 8-ra 5 db futónak kell elférnie egy 3x3-as területen, addig 10-re ugyanígy egy 3x3-as részre 7 futót kell bepréselni.