Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[111] SchZol2003-11-29 21:44:23

November 28-án és 29-én került megrendezésre Zalaegerszegen az Izsák Imre Gyula komplex verseny. Íme a matematika példák a versenyről:

25.feladat: (A verseny 1. feladata)

Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán:

\frac{2x^2}{1+x^2}=y

\frac{2y^2}{1+y^2}=z

\frac{2z^2}{1+z^2}=x

[110] lorantfy2003-11-29 00:33:28

Kedves Nádor P. és Károly!

Köszönet a megoldásokért! Természetesen A=0, C=0 nem megengedett, mint az az ilyen feladatoknál lenni szokott. Gyakorlatilag megvan a megoldás - persze nem ártana ha valaki szépen összefoglalná. Külön köszönet a 24.c-ért. Én úgy gondoltam a további általánosítást, hogy a "tengelyesen szimmetrikus" számok 7-tel való oszthatóságát kellene vizsgálni, csak még nem volt időm rá.

Előzmény: [108] nadorp, 2003-11-28 12:24:24
[109] Hajba Károly2003-11-28 13:14:36

Kedves László!

A 24/a feladattal foglalkoztam egy kicsit, s mivel találtam rá példát, így a válasz: lehetséges (pl.: 168 - 861). Ha ragaszkodunk a háromjegyű számhoz, akkor |A-C|=7, tehát a számokpárok 1 és 8-cal ill. 2 és 9-cel kezdődhetnek.

(1) ABC -> 100*A+10*B+C=7*N

(2) CBA -> 100*C+10*B-C=7*M

(2)-(1) 99*(A-C)=7*(M-N)

Mivel 99 nem osztható 7-tel, továbbá M-N oszthatósága jelen esetben közömbös, így A-C mindenképpen osztható 7-tel. Ebből az is következik, hogy M-N osztható 99-cel.

Más a helyzet a 24/b feladattal. Ha a fenti levezetést minden n-re elvégezzük, találunk 7-tel osztható első számot pl.: 9009. Ekkor egyéb vizsgálatok is szükségesek, de most nincs időm rá.

HK

Ui.: A CBA egyes kis- és középboltok egyfajta országos tömörülése, felénk is van(/volt?).

Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42
[108] nadorp2003-11-28 12:24:24

Kedves László !

Gondolom, a 24.b feladatban a kérdést úgy értetted, hogy bármely n-re léteznek-e megfelelő A,B,C számjegyek. Én arra jutottam, hogy ha megengeded az A=0 vagy C=0 eseteket, akkor csak n=6k+4 esetén nincs megoldás, ha nem, akkor n=6k és n=6k+4 esetén nincsenek megfelelő számok. A megoldás leírásával még várnék. Viszont csatlakoznék egy hasonló feladattal:

24.c feladat: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.

Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42
[107] lorantfy2003-11-28 00:45:42

24.a feladat: Legyenek ABC és CBA tizes számrendszerbeli számok, ahol A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy mindkét szám osztható 7-tel?

24.b feladat: Legyenek ABB...BBC és CBB...BBA tizes számrendszerbeli számok, ahol "A" és "C" számjegyek között n darab "B" számjegy áll és A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy bármely n-re mindkét szám osztható 7-tel?

Megjegyzés1: Sajnos felülvonást nem tudok húzni, ha valaki tud, kérem írja be a TeX témába!

Megjegyzés2: Mifelénk az ABC áruházakból CBA-k lesznek. Erről jutott eszembe ez a feladat.:-)

[106] Lóczi Lajos2003-11-25 19:14:24

Kedves Oroszgy,

Attila olyan kérdésre válaszolt (lásd lejjebb), ahol csak körző használata megengedett, tehát az "átló behúzása" nem, lévén, hogy nincs vonalzónk.

Előzmény: [105] oroszgy, 2003-11-25 15:09:39
[105] oroszgy2003-11-25 15:09:39

Kedves Jenei Attila!

gyök2(TeX még folyamatban...) hosszúságú szakaszt lehet kapni ha egy 1 egység oldalú négyzetnek behúzzuk az átlóját.

[104] lorantfy2003-11-24 12:00:57

Kedves Károly!

Köszönet a kimerítő megoldásért! Szépen rámutattál miért nem lehet 45 fokkal forgatni - minthogy a sarkokban csak páros számok állhatnak. (Én a tükrözésről megfeledkeztem.)

Előzmény: [103] Hajba Károly, 2003-11-24 10:08:25
[103] Hajba Károly2003-11-24 10:08:25

Megoldás a 23. feladatra:

Legyen (S) a négyzetbe írandó számok összege és (K) az egy sor-oszlop-átló összege. Végezzük el a következő műveletet:

A két átló kétszereséhez adjuk hozzá a középső oszlop és sort és vonjuk ki belőle a szélső oszlopokat és sorokat. Így egyrészről a középső elem 6-szorosát, mésrészről 2*K-t kaptunk. Tehát a középső elem \frac K3 ill. \frac S9 -cel egyenlő.

A mi esetünkben a középső szám 5 és K=15. Mivel mindkét szám páratlan, így az egy sor-oszlop-átlóba írandó másik két szám vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan. Továbbá az oszlopok és sorok szélső elemeinek összege páratlan, ez vagy 3 páratlan, vagy 2 páros és 1 páratlan szám összege. Ebből következik, hogy a 4 páros szám csak a sarkokba kerülhet.

A bűvös négyzetnél a nem egy sor-oszlop-átlóba írt 3 szám, mely egyéb keretfeltételeknek is megfelel, egyértelműen meghatározza a többi számot. Így a négy sarokszámot kétféle irányultsággal tudom beírni, hogy ne lehessen egymásba forgatni. Ha a tükrözéssel kialakult állapotot is azonosnak tekintjük, csak egy megoldás létezik. Tehát a megoldás az alábbi és a tükörképe:

4 9 2
3 5 7
8 1 6

Hajba Károly

Előzmény: [102] lorantfy, 2003-11-23 09:15:26
[102] lorantfy2003-11-23 09:15:26

23.a) feladat Írd be az 1,2,3,4,5,6,7,8,9 számokat egy 3x3 bűvös négyzetbe!

(Úgy, hogy a sorok, oszlopok és átlók összege is azonos legyen.)

.... . .
. .... .
. . ....

23.b) feladat Hányféle beírás lehetséges, ha az egymásba forgathatókat nem tekintjük különbözőnek?

(Elemi forgatás (45 fok): amikor a főátló (....) oszlopba, a másik sorba megy át.)

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]