[112] SchZol | 2003-11-29 21:46:42 |
26.feladat (A verseny 2. feladata)
Legfeljebb hány részre oszthatja fel a síkot, a sík egy rögzített pontján áthaladó k darab kör és n darab egyenes, ha k és n pozitív egész szám? Határozza meg a részek maximális számát megadó R(k;n) függvényt!
|
|
[111] SchZol | 2003-11-29 21:44:23 |
November 28-án és 29-én került megrendezésre Zalaegerszegen az Izsák Imre Gyula komplex verseny. Íme a matematika példák a versenyről:
25.feladat: (A verseny 1. feladata)
Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán:
|
|
[110] lorantfy | 2003-11-29 00:33:28 |
Kedves Nádor P. és Károly!
Köszönet a megoldásokért! Természetesen A=0, C=0 nem megengedett, mint az az ilyen feladatoknál lenni szokott. Gyakorlatilag megvan a megoldás - persze nem ártana ha valaki szépen összefoglalná. Külön köszönet a 24.c-ért. Én úgy gondoltam a további általánosítást, hogy a "tengelyesen szimmetrikus" számok 7-tel való oszthatóságát kellene vizsgálni, csak még nem volt időm rá.
|
Előzmény: [108] nadorp, 2003-11-28 12:24:24 |
|
[109] Hajba Károly | 2003-11-28 13:14:36 |
Kedves László!
A 24/a feladattal foglalkoztam egy kicsit, s mivel találtam rá példát, így a válasz: lehetséges (pl.: 168 - 861). Ha ragaszkodunk a háromjegyű számhoz, akkor |A-C|=7, tehát a számokpárok 1 és 8-cal ill. 2 és 9-cel kezdődhetnek.
(1) ABC -> 100*A+10*B+C=7*N
(2) CBA -> 100*C+10*B-C=7*M
(2)-(1) 99*(A-C)=7*(M-N)
Mivel 99 nem osztható 7-tel, továbbá M-N oszthatósága jelen esetben közömbös, így A-C mindenképpen osztható 7-tel. Ebből az is következik, hogy M-N osztható 99-cel.
Más a helyzet a 24/b feladattal. Ha a fenti levezetést minden n-re elvégezzük, találunk 7-tel osztható első számot pl.: 9009. Ekkor egyéb vizsgálatok is szükségesek, de most nincs időm rá.
HK
Ui.: A CBA egyes kis- és középboltok egyfajta országos tömörülése, felénk is van(/volt?).
|
Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42 |
|
[108] nadorp | 2003-11-28 12:24:24 |
Kedves László !
Gondolom, a 24.b feladatban a kérdést úgy értetted, hogy bármely n-re léteznek-e megfelelő A,B,C számjegyek. Én arra jutottam, hogy ha megengeded az A=0 vagy C=0 eseteket, akkor csak n=6k+4 esetén nincs megoldás, ha nem, akkor n=6k és n=6k+4 esetén nincsenek megfelelő számok. A megoldás leírásával még várnék. Viszont csatlakoznék egy hasonló feladattal:
24.c feladat: Keressünk olyan A pozitív egész számot, melyre igaz, hogy önmaga után leírva még egyszer (pld A=12264 esetén 1226412264) a kapott szám négyzetszám.
|
Előzmény: [107] lorantfy, 2003-11-28 00:45:42 |
|
[107] lorantfy | 2003-11-28 00:45:42 |
24.a feladat: Legyenek ABC és CBA tizes számrendszerbeli számok, ahol A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy mindkét szám osztható 7-tel?
24.b feladat: Legyenek ABB...BBC és CBB...BBA tizes számrendszerbeli számok, ahol "A" és "C" számjegyek között n darab "B" számjegy áll és A,B,C különböző számjegyeket jelölnek. Lehetséges-e, hogy bármely n-re mindkét szám osztható 7-tel?
Megjegyzés1: Sajnos felülvonást nem tudok húzni, ha valaki tud, kérem írja be a TeX témába!
Megjegyzés2: Mifelénk az ABC áruházakból CBA-k lesznek. Erről jutott eszembe ez a feladat.:-)
|
|
|
[105] oroszgy | 2003-11-25 15:09:39 |
Kedves Jenei Attila!
gyök2(TeX még folyamatban...) hosszúságú szakaszt lehet kapni ha egy 1 egység oldalú négyzetnek behúzzuk az átlóját.
|
|
[104] lorantfy | 2003-11-24 12:00:57 |
Kedves Károly!
Köszönet a kimerítő megoldásért! Szépen rámutattál miért nem lehet 45 fokkal forgatni - minthogy a sarkokban csak páros számok állhatnak. (Én a tükrözésről megfeledkeztem.)
|
Előzmény: [103] Hajba Károly, 2003-11-24 10:08:25 |
|
[103] Hajba Károly | 2003-11-24 10:08:25 |
Megoldás a 23. feladatra:
Legyen (S) a négyzetbe írandó számok összege és (K) az egy sor-oszlop-átló összege. Végezzük el a következő műveletet:
A két átló kétszereséhez adjuk hozzá a középső oszlop és sort és vonjuk ki belőle a szélső oszlopokat és sorokat. Így egyrészről a középső elem 6-szorosát, mésrészről 2*K-t kaptunk. Tehát a középső elem ill. -cel egyenlő.
A mi esetünkben a középső szám 5 és K=15. Mivel mindkét szám páratlan, így az egy sor-oszlop-átlóba írandó másik két szám vagy mindkettő páros vagy mindkettő páratlan. Továbbá az oszlopok és sorok szélső elemeinek összege páratlan, ez vagy 3 páratlan, vagy 2 páros és 1 páratlan szám összege. Ebből következik, hogy a 4 páros szám csak a sarkokba kerülhet.
A bűvös négyzetnél a nem egy sor-oszlop-átlóba írt 3 szám, mely egyéb keretfeltételeknek is megfelel, egyértelműen meghatározza a többi számot. Így a négy sarokszámot kétféle irányultsággal tudom beírni, hogy ne lehessen egymásba forgatni. Ha a tükrözéssel kialakult állapotot is azonosnak tekintjük, csak egy megoldás létezik. Tehát a megoldás az alábbi és a tükörképe:
Hajba Károly
|
Előzmény: [102] lorantfy, 2003-11-23 09:15:26 |
|