Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1145] Yegreg

2005-12-06 17:35:29

A feladat átfogalmazható úgy is, hogy a csoporton belülire vezető élek száma bármely csúcsnál legfeljebb egy.

Oszzuk két csoportba a csúcsokat tetszőlegesen! Ha a kívánt elrendezés lép fel, akkor készen vagyunk, ha nem, akkor van olyan csúcs, amelyből a saját csoportjába vezető élek száma legalább kettő, ez azt jelenti, hogy a másik csoportba vezető él(ek :)) száma legfeljebb egy, hiszem minden pont foka legfeljebb három. Ekkor a következőt tesszük: ezt a csúcsot áthelyezzük a másik halmazba. Ezzel ezen csúcs korábbi csoportjában legalább 2-vel csökkent, új csoportjában pedig legfeljebb 1-gyel nőtt a csoporton belüli összes él száma, ez azt jelenti, hogy ez a lépés csökkenti a két csoport összes csoporton belüli éleinek számát.

Ha ezzel a lépéssel a kívánt helyzethez jutunk, akkor kész, ha nem, akkor folytatjuk az eljárást.

Mivel az eljárások során a két csoport összes csoporton belüli éleinek száma szigorúan monoton csökken, és ha nem a kívánt helyzet áll fennt, akkor biztosan folytathatjuk az eljárást, ezért következik, hogy egyszer biztosan véget ér, hiszen az két csoport összes csoporton belüli éleinek száma természetes szám mindig, és pl. 0-nál triviálisan a kívánt helyzet alakul ki.

Ennek a feladatnak viccesebb változata, amikor a politikusok vágják pofon egymást...:)

Üdv:

Szűcs Gergely

[1144] Csimby	2005-12-05 16:16:32
210. feladat Bizonyítsuk be, hogy ha egy gráfban minden pont foka legfeljebb 3, akkor a gráf csúcsai két részre oszthatóak úgy, hogy ha a két rész között menő éleket töröljük, minden pont foka legfeljebb 1 lesz.

[1143] Lóczi Lajos	2005-11-29 15:28:22
Igen, ilyesmire gondoltam én is, tehát az algebra alaptétele itt minden további nélkül nem igaz.
Előzmény: [1142] jonas, 2005-11-28 21:17:56

[1142] jonas	2005-11-28 21:17:56
Vagy ix-xi=i.
Előzmény: [1141] jonas, 2005-11-28 21:15:34

[1141] jonas	2005-11-28 21:15:34
Talán ix+xi=j?
Előzmény: [1139] Lóczi Lajos, 2005-11-17 19:30:54

[1140] jonas

2005-11-28 19:42:12

Van pár diszkrét matek feladatom. Feladom őket itt, hátha valakit érdekel.

209. Legyen s₀=0; s₁,P,Q tetszőleges egészek. Definiáljuk az s_n sorozatot az s_n+1=Ps_n-1+Qs_n rekurzióval.

Lássuk be, hogy ekkor minden n,k egészre

(s_n,s_k)=s_(n,k)

ahol (n,k) jelöli a két szám legnagyobb közös osztóját. Speciális esetként s_k osztója s_n-nek akkor és csak akkor, ha k osztja n-et.

Érdemes megnézni, milyen sorozatokat kapunk s₁=P=Q=1 illetve az s₁=1,P=-2,Q=3 esetén.

A másik két feladatot majd később feladom, ha van érdeklődés (a nevek a másodikban Catalan és Hankel, a harmadikban Catalan és Csebisev).

[1139] Lóczi Lajos	2005-11-17 19:30:54
208. feladat. Adjunk példát olyan (pontosan) elsőfokú egyenletre, aminek nincs megoldása a kvaterniók között.

[1138] Lóczi Lajos	2005-11-17 19:16:27
Igen, itt is az 1/2 bukkant fel. (De a legjobban arra lennék kíváncsi, hogy ennek vajon van-e bármiféle köze ahhoz az eredményhez, ami az "ujjgyakorlatok" 88-as feladatában fog kijönni: "szimmetria és extrémum" egybeesése, amire más helyeken is sok példát láttam már...)
Előzmény: [1137] nadorp, 2005-11-17 11:43:02

[1137] nadorp

2005-11-17 11:43:02

Biztos van elemibb megoldás is,ez a következőt használja:

Ha 0<x<1, akkor nyilván

$0<1-x+x^2-x^3<\frac1{1+x}<1-x+·x^2$ ,azaz mindkét oldalt 0-tól x-ig integrálva

$x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4<ln(1+x)<x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3$

$\left(1+\frac1n\right)^{n+\alpha}-e=e(e^{(n+\alpha)ln(1+\frac1n)-1}-1)=e(e^{a_n}-1)$ . Mivel az e^x függvény szigorúan monoton nő,a 0-ba történő konvergencia sebességét nyilván az dönti el, hogy a_n milyen gyorsan tart nullába.

$a_n<(\alpha+n)(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3})-1=(\alpha-\frac12)\frac1n-(\frac\alpha2-\frac13)\frac1{n^2}+\frac\alpha3\frac1{n^3}$ .

$a_n>(\alpha+n)(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\frac1{4n^4})-1=(\alpha-\frac12)\frac1n-(\frac\alpha2-\frac13)\frac1{n^2}+(\frac\alpha3-\frac14)\frac1{n^3}-\frac{\alpha}{4n^3}$ .

Látszik, hogy ha $\alpha\neq\frac12$ ,akkor $\lim_{n\to\infty}na_n=\alpha-\frac12\neq0$ ,azaz a_n konvergenciájának nagyságrendje $\frac1n$ ,

$\alpha=\frac12$ esetén pedig $\lim_{n\to\infty}n^2a_n=\frac1{12}$ ,azaz a_n konvergenciájának nagyságrendje $\frac1{n^2}$ és ez gyorsabb.

Előzmény: [1133] Lóczi Lajos, 2005-11-16 12:19:00

[1136] xviktor

2005-11-16 17:50:57

Az x_n sorozat hatarerteke vegtelenben $\frac12$ .

Udv: Viktor

Előzmény: [1135] Sirpi, 2005-11-16 16:46:50

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?