[1213] nadorp | 2006-03-21 20:09:06 |
 Szerintem a példát az összes hozzászólásával együtt át kéne tenni a "Nehezebb matematikai problémák" közé ( Géza légy szíves ), de azért itt válaszolok, hogy egyben legyen.
Tekintsük az komplex függvényt. Integráljuk a (0,0),(R,0),(R,i ),(0,i ) (R>0) téglalap kerületén. A téglalap határán és belsején a függvénynek nincs pólusa ( a 0 sem pólus, mert ott folytonossá tehető), ezért a Cauchy integráltétel miatt az integrál 0. Ha most R , akkor az (R,0),(R,i ) oldalon vett integrál tart 0-ba (itt felhasználjuk a komplex integrálra érvényes, G görbén vett összefüggést). Ha a valós és képzetes részt szétválasztjuk - mindkettő 0 kell hogy legyen -, akkor a képzetes rész éppen lesz. "Melléktermékként" a valós részből adódik, hogy
. Mivel pedig
, ezért .
Az pedig ismert, hogy
|
Előzmény: [1212] Lóczi Lajos, 2006-03-20 21:33:00 |
|
[1212] Lóczi Lajos | 2006-03-20 21:33:00 |
 Hm, köszönöm a javaslatot, erre eddig nem is gondoltam. Tehát parciális integrálással átírjuk (közben a kiintegrált részben limeszt képzünk, ami ugye 0*végtelen-típus), és marad a kotangenses rész. De ezzel mit csinálsz, milyen integrációs utat választasz?
(Én tegnap László példájánál is hasonló "komplex" utat követtem, de sehogyan sem jött ki eleinte a numerikusan megsejtett 2/4, aztán jöttem csak rá, hogy a transzformációm után benne maradó komplex arkusz-tangens függvény nem is analitikus a felső félsíkon -- az i-nél szingularitása van, de ez sem segített, mert a reziduuma nulla volt, és csak legvégül jöttem rá, hogy van egy "branch-cut" bemetszése is, ami i-től felfelé halad a képzetes tengelyen...kellemetlen mellékvágány volt.)
Az elemi trükkös megoldás lényege a logaritmusos feladatban pl. az, hogy , majd használunk egy szimmetria-érvelést és egy lineáris helyettesítést az integrálban, amiből egy integrálegyenlet adódik a keresett integrálra, és az jön ki, amit írtál.
A vonalintegrálos megoldásod vázlatára kíváncsi vagyok.
|
Előzmény: [1209] nadorp, 2006-03-20 14:36:24 |
|
[1211] nadorp | 2006-03-20 18:21:05 |
 Kedves Iván88 !
Van egy kis hiányosság. Egyrészt a p=7 nem az egyedüli megoldás. Másrészt a (2) lépésben, nem p=x, hanem p|x következik. Harmadrészt nem egyértelmű, hogy a 7p p3 milyen modulusra vonatkozik.
|
Előzmény: [1210] Iván88, 2006-03-20 17:02:37 |
|
[1210] Iván88 | 2006-03-20 17:02:37 |
 Kedves László!
Tetszik a feledat. A kis-Fermat tétel (ha p prím, akkor minden c egészre cp-c osztható p-vel) miatt 7x osztható p-vel.
Ez kétféleképpen lehet.
(1) p=7, ekkor x=361
(2) x=p, ekkor
3p-3=7p-p3
Mivel 7p p3, így p=3.
Ez viszont nem megoldás, tehát p=7 és x=361
|
Előzmény: [1202] lorantfy, 2006-03-19 15:55:20 |
|
|
|
|
|
[1205] Lóczi Lajos | 2006-03-19 22:43:26 |
 Erről jut eszembe a következő
223. feladat. Számítsuk ki az

integrált.
|
|
|