Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1249] nadorp	2006-04-26 14:29:38
Először valami Gauss-görbéhez hasonlót vártam, ehelyett az f(x)=-xlgx-(1-x)lg(1-x)függvény jött ki.
Előzmény: [1248] Lóczi Lajos, 2006-04-24 02:40:11

[1248] Lóczi Lajos

2006-04-24 02:40:11

231. feladat.

Határértékben milyen alakúak az egymás alá írt binomiális együtthatók 10-es számrendszerben?

Pontosabban fogalmazva: valamely n pozitív egész esetén írjuk egymás alá az (a+b)ⁿ kifejtésekor kapott együtthatókat, pl. n=16 esetén

120

560

1820

4368

8008

11440

12870

11440

8008

4368

1820

560

120

(Készítsük ezt el nagyobb és nagyobb n-ekre is.) Ha most fejünket 90 fokkal jobbra döntjük és hunyorítunk, egy lapos oszlopsor rajzolódik ki az ábrán. Adjuk meg ennek a pontos alakját, ha n tart a végtelenbe.

A konkrétság kedvéért még pontosabban fogalmazva ("normálva"): tegyük át az ábrát a szokásos koordinátarendszerbe, úgy, hogy a [0,1] szakaszt n egyenlő részre felosztjuk, majd a k-adik (k=0,1,2,...,n) osztópontnál felmérjük azt a törtet, melynek nevezője éppen n, számlálója pedig $\binom{n}{k}$ 10-es számrendszerbeli jegyeinek száma. Így egy véges ponthalmazt nyerünk [0,1] felett minden egyes n esetén. Kérdés tehát, hogy e ponthalmaznak mi lesz a határértéke. Válaszként egy [0,1] $\to$ R valós függvényt várok.

[1247] Csimby

2006-04-22 00:07:26

230. feladat Bizonyítsuk be, hogy:

a.) ha 2p előáll legfeljebb 4 db. négyzetszám összegeként, akkor p is.

b.) ha 3p előáll legfeljebb 4 db. négyzetszám összegeként, akkor p is.

(p prím)

[1246] Lóczi Lajos

2006-04-08 23:05:50

229. feladat.

a.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett nem létezik az $\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f$ kettős Riemann-integrál a téglalapon, de létezik az $\int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) dx \right)dy$ iterált kétszeres integrál.

b.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett létezik az $\int\int_{[a,b]\times[c,d]} f$ kettős Riemann-integrál a téglalapon, de nem létezik az $\int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) dx \right)dy$ iterált kétszeres integrál.

c.) Adjunk példát olyan f(x,y) kétváltozós valós függvényre, hogy valamely a,b,c,d véges határok mellett léteznek ugyan az $\int_a^b \left(\int_c^d f(x,y) dx \right)dy$ és $\int_c^d \left(\int_a^b f(x,y) dy \right)dx$ iterált kétszeres integrálok, de nem egyenlőek.

[1245] Lóczi Lajos

2006-04-08 22:04:46

Sajnos nem világos még mindig. Veszem az f(x)=1, g(x)=x^.arctg(cos x) párt. Felírom: $\int f dg=[fg]-\int g df$ . Itt a jobboldali integrál 0 lesz az $\int g df=\int g f' dx$ azonosság miatt.

Hogyan marad tehát bent a jobb oldalon a bal oldali integrál, honnan jön a többi tag és a 2-es szorzók?

Előzmény: [1244] hobbymatekos, 2006-04-08 18:11:15

[1244] hobbymatekos	2006-04-08 18:11:15
Valamint $\int_a^b fdg = \int_a^b f g`dx$ Az első formula amit felirtál a két fv. felcserélése, ez pedig a d(*) cseréje.
Előzmény: [1243] Lóczi Lajos, 2006-04-08 15:04:38

[1243] Lóczi Lajos

2006-04-08 15:04:38

Nem egészen értem, hogyan jöttek ki ezek a formuláid. Gondolom, a parciális integrálás képletét használod benne:

$\int_a^b f dg=[f g]_a^b-\int_a^b g df.$

Hogyan lesz ebből az, amit írtál?

Amúgy ezzel a gondolatmenettel a Riemann-Stieltjes integrál teljesen kiküszöbölhető, a közönséges Riemann-integrál parciális integrálási képletét alkalmazzuk az f(x)=x és g(x)=arctg(cos x) párra, és használjuk fel, hogy a tükörszimmetria miatt $\int_0^\pi {\rm{arctg}}(\cos x)=0$ .

Előzmény: [1242] hobbymatekos, 2006-04-08 10:13:01

[1242] hobbymatekos

2006-04-08 10:13:01

persze elirás nélkül:

$\int_0^\pi 1 d(x arc~\tan(\cos(x))) = 2 [x arc ~\tan(\cos(x))] + 2I + \int_0^\pi 1 d(x arc~\tan(\cos(x)))$

$I= -[x arc ~\tan(\cos(x))]_0^\pi = \frac {\pi^2}{4}$

Előzmény: [1241] hobbymatekos, 2006-04-08 09:59:17

[1241] hobbymatekos

2006-04-08 09:59:17

Én arra jutottam: ha a kérdéses határozott integrált I jelöli,

$\int_0^\pi 1 d(xarc~\tan(\cos(x))) = [xarc~\tan(\cos(x))]_0^\pi +2I +\int_0^\pi 1 d(xarc~\tan(\cos(x)))$

$I=-[xarc~\tan(\cos(x))]_0^\pi = \frac {\pi^2}{4}$

Előzmény: [1240] Lóczi Lajos, 2006-04-07 17:52:00

[1240] Lóczi Lajos	2006-04-07 17:52:00
Egy válasz: mivel nincs megmondva, mi a másik g függvény, ami generálja a Riemann-Stieltjes integrált, ezért vehetjük azt, hogy g(x)=x. Ekkor az $\int_a^b f dg$ Riemann-Stieltjes integrál a közönséges Riemann-integrál lesz, és az [1205]-ben leírt megoldásom megoldja a 228-as feladatot.
Előzmény: [1233] hobbymatekos, 2006-04-06 22:25:57

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?