Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1378] Cckek

2006-09-24 20:39:23

Mindenesetre a példát érdemes volt kitűzni. Ilyen rövid idő alatt ennyi információ... Igy szép a forum. Itt van egy másik:

Számitsuk ki:

$\sum_{1 \le i \le n} \frac{1}{i}+\sum_{1 \le i<j \le n} \frac{1}{i \cdot j}+\sum_{1 \le i<j<k \le n}\frac{1}{i \cdot j \cdot k}+\cdots+\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot3 \cdots n}$

Előzmény: [1367] rizsesz, 2006-09-12 19:24:27

[1377] ágica	2006-09-24 20:35:34
Én meg vagy ötször átszámoltam, mert nem akartam elhinni hogy tényleg nem jön ki :)) Egyébként milyen más módszerrel lehetne az egyenlőtlenséget belátni?
Előzmény: [1376] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:21:21

[1376] Lóczi Lajos	2006-09-24 20:21:21
Igen, pont ez a tanulság. A gyengébb nem jön ki indukcióval, az erősebb igen. Ha tehát az indukcióban az "öröklődési tulajdonság" igazolása nem jár sikerrel, az még nem jelenti azt, hogy az eredeti állítás nem igaz.
Előzmény: [1375] ágica, 2006-09-24 20:19:16

[1375] ágica	2006-09-24 20:19:16
Hát bevallom, azt is próbáltam indukcióval, csak épp nem jártam sikerrel, úgyhogy hamar fel is adtam :)
Előzmény: [1372] Lóczi Lajos, 2006-09-24 20:05:36

[1374] epsilon	2006-09-24 20:08:39
Elnézést, a limesznél nem x hanem n tart a végtelenhez!

[1373] epsilon	2006-09-24 20:06:13
Elnézést, hogy képben szúrom be, de csak a Math Typpel szoktam dolgozni!

[1372] Lóczi Lajos	2006-09-24 20:05:36
Rendben, de [1369]-et épp azért pont úgy tűztem ki, hogy direkt azt próbálja az ember indukcióval megcsinálni :) Számomra tanulságos volt, amikor találkoztam ezzel a példával.
Előzmény: [1371] ágica, 2006-09-24 19:31:04

[1371] ágica

2006-09-24 19:31:04

Ez például teljes indukcióval könnyen igazolható: n=1-re, 2-re az állítás igaz. Tegyük fel, hogy valamilyen n-re is teljesül, és vizsgáljuk n+1-re a bal oldalt:

$\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}$

az indukciós feltevés miatt. Innen már elég belátni, hogy

$\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{1}{\sqrt{3(n+1)+1}}$

ez pedig teljesül, mivel átszorzás, négyzetre emelés és rendezés után azt kapjuk, hogy 19n $\le$ 20n.

(És ebből persze következik, hogy [1369] is igaz.)

Előzmény: [1369] Cckek, 2006-09-24 16:07:08

[1370] Lóczi Lajos

2006-09-24 18:26:12

Sőt, melyik az a legnagyobb a>0 szám, hogy egy alkalmas N indexszel minden n>N esetén

$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}<\frac{1}{\sqrt{a n}}?$

Előzmény: [1369] Cckek, 2006-09-24 16:07:08

[1369] Cckek

2006-09-24 16:07:08

Mitöbb minden pozitiv egészre fennáll:

$\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$

Bocs hogy közbeszóltam.

Előzmény: [1368] Lóczi Lajos, 2006-09-24 10:49:54

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?