Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[151] Pach Péter Pál

2003-12-04 23:35:55

Megoldás a 36. feladatra

Adjunk mindkét oldalhoz n-et!

$\sum_{i=1}^n{\frac{s}{a_i}}\ge n^2$

$s\sum_{i=1}^n{\frac{1}{a_i}}\ge n^2$

$\frac{s}{n}\ge \frac{n}{\sum_{i=1}^n{\frac{1}{a_i}}}$

Ez viszont éppen a számtani és harmonikus középek közti egyenlőtlenség. (Pozitív számokra írtuk fel.) Ekvivalens lépéseket hajtottunk végre, így bizonyítottuk az eredeti egyenlőtlenséget.

Ez a feladat speciális esete egy általánosabb (egyébként ukrán) feladatnak. A feladat a következő:

38. feladat

a₁,a₂,…,a_n pozitív valós számok és k<n.

Ha A={i₁,i₂,…,i_k} $\subset$ {1,2,…,n}=N_n és {j₁,j₂,…,j_n-k}=N_n\A, akkor legyen

$q(A)=\frac{a_{i_1}+...+a_{i_k}}{a_{j_1}+...+a_{j_{n-k}}}.$

Bizonyítsuk be, hogy

$\sum_A{q(A)}\ge\frac{k}{n-k}\binom{n}{k}$

A 36. feladatban k=n-1 volt.

Előzmény: [148] SchZol, 2003-12-04 20:09:45

[150] lorantfy	2003-12-04 23:01:54
Csak a [23]-as volt, amit [36]-ban Géza félmegoldásnak értékelt - fél túrórudival - azután más nem foglalkozott vele. Fálesz Mihályt hiányolom! A nemkockafejűek témában láttam utoljára aztán nyoma veszett. Hol vagy Mihály...?
Előzmény: [149] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:19:50

[149] Pach Péter Pál	2003-12-04 22:19:50
A [23]-as hozzászólás után Fálesz Mihály készített egy felsorolást a még megoldatlan példákról [49]-ben, és ott szerepelt a 3. feladat is. Csak nem tudtam, hogy később érkezett-e rá teljes megoldás. Szerintem mindenki nevében köszönet illet benneteket a még megoldatlan példák felsorolásáért. :-)
Előzmény: [146] Hajba Károly, 2003-12-04 12:44:52

[148] SchZol

2003-12-04 20:09:45

December 3-án került megrendezésre az idei Cornides István Matematika - Fizika Emlékverseny. Íme a 12.évfolyamosok matek feladatai:

35.feladat (A verseny 1.feladata)

Határozza meg, mely p valós számokra van az

x³+px²+2px=3p+1

egyenletnek három különböző $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ valós gyöke, amelyre $\alpha$ ^. $\beta$ = $\gamma$ ².

36.feladat (A verseny 2.feladata)

Jelölje s az a₁,a₂,...,a_n pozitív valós számok összegét. Igazoljuk, hogy

$\sum_{i=1}^n{\frac{s-a_i}{a_i}}\ge n(n-1).$

37.feladat (A verseny 3.feladata)

Az ABCD paralelogramma S belső pontjára teljesül, hogy az ASB $\angle$ =CSD $\angle$ =90^o.

Bizonyítsuk be, hogy SBC $\angle$ =SDC $\angle$ .

[147] Lóczi Lajos	2003-12-04 17:53:21
Kitartó voltál :-) Szép megoldás. (Annak idején, igaz teljesen más úton megközelítve, nekem sem sikerült kisebb terjedelemben leírni a megoldást.)
Előzmény: [144] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:03:03

[146] Hajba Károly

2003-12-04 12:44:52

A [23] hozzászólásban adtak rá választ, de igaz, nem vizsgáltam megfelelőségét. Ha hibás, jöhet a helyes megoldás. :o)

Előzmény: [145] Pach Péter Pál, 2003-12-04 11:03:59

[145] Pach Péter Pál

2003-12-04 11:03:59

Kedves Károly!

Az emberevős példára (3. feladat - [3]) volt már megoldás?

Előzmény: [132] Hajba Károly, 2003-12-03 00:46:20

[144] Pach Péter Pál

2003-12-04 11:03:03

Megoldást írok a 13.feladatra.

Azt kellett bizonyítanunk, hogy:

$\cos{20^o}=\frac{1-\cos{80^o}}{\sqrt{3-2\sqrt{3}\cos{50^o}}}$

Először is, a jobboldal nevezőjében a gyök alatt pozitív szám van, és így mindkét oldalon értelmes kifejezés áll, hiszen:

$3-2\sqrt{3}\cos{50^o}>3-2\sqrt{3}\cdot\cos{30^o}=3-2\sqrt{3}\frac{\sqrt{3}}{2}=3-3=0$

A nevezővel való átszorzás után mindkét oldalon nemnegatív szám áll, így a négyzetre emelés ekvivalens lépés:

$3\cos^2{20^o}-2\sqrt{3}\cos^2{20^o}\cos{50^o}=1-2\cos{80^o}+\cos^2{80^o}$

Az a célunk, hogy mindkét egyik oldalon se szerepeljen szögfüggvények szorzata. Ehhez az ismert azosságokat fogjuk használni:

2cos²20^o=1+cos 40^o

2cos²20^ocos 50^o=(1+cos 40^o)cos 50^o=cos 50^o+cos 50^ocos 40^o=

$=\cos{50^o}+\frac12 \cos{90^o}+\frac12 \cos{10^o}=\cos{50^o}+\frac12 \cos{10^o}$

2cos²80^o=1+cos 160^o=1-cos 20^o

Ezeket beírva, és az egyenletet 2-vel szorozva a következőket kapjuk:

$3+3\cos{40^o}-2\sqrt{3}\cos{50^o}-\sqrt{3}\cos{10^o}=3-4\cos{80^o}-\cos{20^o}$

$3\cos{40^o}+4\cos{80^o}+\cos{20^o}=2\sqrt{3}\cos{50^o}+\sqrt{3}\cos{10^o}$

Mivel $\cos{40^o}+\cos{20^o}=2\cos{30^o}\cos{10^o}=\sqrt{3}\cos{10^o}$ , ezért:

$2\cos{40^o}+4\cos{80^o}=2\sqrt{3}\cos{50^o}$

Ez valóban igaz, ugyanis:

2cos 40^o+4cos 80^o=2cos 40^o+2cos 80^o+2cos 80^o=4cos 60^ocos 20^o+2cos 80^o=2cos 20^o+2cos 80^o=

$=4\cos{50^o}\cos{30^o}=2\sqrt{3}\cos{50^o}$

Végig ekvivalens állításokat hajtottunk végre, így bizonyítottuk az eredeti állítást.

Előzmény: [65] Lóczi Lajos, 2003-11-13 18:57:33

[143] lorantfy

2003-12-04 08:44:23

Kedves Gyuri!

Szerintem az a gond a gondolatmenettel, hogy nem feltételezhetjük, hogy aznap este még életben van az elitélt, mert lehet, hogy aznap reggel már kivégezték. Tehát, ha pl. szombat reggel kivégzik, akkor nyugodtan lehetne vasárnap a kivégzés (de akkor már minek). Valójában a gondolatmenet igy szól: Ha szombat reggel nem végeznek ki, akkor szombat este még élek, így tudom, hogy a kivégzés már csak vasárnap lehet, tehát az utolsó nap amikor kivégezhetnek a szombat.

A kiinduló feltételezésnek nincs semmi alapja.

Na eddig jutottam vele.

Előzmény: [133] Gyuri, 2003-12-03 01:21:26

[142] lorantfy

2003-12-04 00:37:11

34.a) megoldása:

Legyen m az 1000 Ft-ossal fizetők száma.

1. Legyen m $\ge$ 0,1n

Legrosszabb esetben sajnos ez az m ember a sor elején áll és 1000 Ft-ossal fizetne. Ha tartani akarjuk a 90%-os eladást akkor ezek közül csak 0,1n nem vehet könyvet. Tehát k=m-0,1n db 500 Ft-ossal kell indulni.

2. Ha m $\leq$ 0,1n

Ekkor pedig biztos, hogy meglesz a 90%, nem kell befektetés.

Hát ez túl egyszerű közelítés. Nincs mit optimalizálni, ha ragaszkodunk a 90 %-os eladáshoz.

Előzmény: [141] lorantfy, 2003-12-03 22:00:56

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?