[152] Hajba Károly | 2003-12-05 00:31:47 |
Megoldás a 29. feladatra:
Legyen # - fekete, míg O - fehér sapka, továbbá az ábra szerint 3-2-1 sorszámrend:
A)
# O O
3 (azonnal): [Mivel nem lehet több fehér sapka,] fekete.
# # O és O # O
2 (kicsit később): [Mivel 3 nem szólt azonnal, így 1 és én nem mind fehér, mivel 1 fehér,] fekete.
# O #, # # #, O O # és O # #
1 (kicsit később): [Mivel 3 nem szólt azonnal, így 1 és én nem mind fehér.] (kicsit később) [Mivel 2 nem szól, nem lehetek fehér,] fekete
B)
# O O = 1: fekete :O( - 2: fekete :O( - 3: fekete :O)
# # O = 1: fekete :O( - 2: fekete :O) - 3:O(
O # O = 1: fekete :O( - 2: fekete :O) - 3:O(
# O # = 1: fekete :O) - 2:O( - 3:O(
# # # = 1: fekete :O) - 2:O( - 3:O(
O O # = 1: fekete :O) - 2:O( - 3:O(
O # # = 1: fekete :O) - 2:O( - 3:O(
Tehát mindkét esetben 1 - | 2 - | 3 - , holott 1 nem lát senkit.
HK
|
Előzmény: [128] lorantfy, 2003-12-02 21:42:13 |
|
[151] Pach Péter Pál | 2003-12-04 23:35:55 |
Megoldás a 36. feladatra
Adjunk mindkét oldalhoz n-et!
Ez viszont éppen a számtani és harmonikus középek közti egyenlőtlenség. (Pozitív számokra írtuk fel.) Ekvivalens lépéseket hajtottunk végre, így bizonyítottuk az eredeti egyenlőtlenséget.
Ez a feladat speciális esete egy általánosabb (egyébként ukrán) feladatnak. A feladat a következő:
38. feladat
a1,a2,…,an pozitív valós számok és k<n.
Ha A={i1,i2,…,ik}{1,2,…,n}=Nn és {j1,j2,…,jn-k}=Nn\A, akkor legyen
Bizonyítsuk be, hogy
A 36. feladatban k=n-1 volt.
|
Előzmény: [148] SchZol, 2003-12-04 20:09:45 |
|
[150] lorantfy | 2003-12-04 23:01:54 |
Csak a [23]-as volt, amit [36]-ban Géza félmegoldásnak értékelt - fél túrórudival - azután más nem foglalkozott vele. Fálesz Mihályt hiányolom! A nemkockafejűek témában láttam utoljára aztán nyoma veszett. Hol vagy Mihály...?
|
Előzmény: [149] Pach Péter Pál, 2003-12-04 22:19:50 |
|
[149] Pach Péter Pál | 2003-12-04 22:19:50 |
A [23]-as hozzászólás után Fálesz Mihály készített egy felsorolást a még megoldatlan példákról [49]-ben, és ott szerepelt a 3. feladat is. Csak nem tudtam, hogy később érkezett-e rá teljes megoldás. Szerintem mindenki nevében köszönet illet benneteket a még megoldatlan példák felsorolásáért. :-)
|
Előzmény: [146] Hajba Károly, 2003-12-04 12:44:52 |
|
[148] SchZol | 2003-12-04 20:09:45 |
December 3-án került megrendezésre az idei Cornides István Matematika - Fizika Emlékverseny. Íme a 12.évfolyamosok matek feladatai:
35.feladat (A verseny 1.feladata)
Határozza meg, mely p valós számokra van az
x3+px2+2px=3p+1
egyenletnek három különböző ,, valós gyöke, amelyre .=2.
36.feladat (A verseny 2.feladata)
Jelölje s az a1,a2,...,an pozitív valós számok összegét. Igazoljuk, hogy
37.feladat (A verseny 3.feladata)
Az ABCD paralelogramma S belső pontjára teljesül, hogy az ASB=CSD=90o.
Bizonyítsuk be, hogy SBC=SDC.
|
|
|
|
|
[144] Pach Péter Pál | 2003-12-04 11:03:03 |
Megoldást írok a 13.feladatra.
Azt kellett bizonyítanunk, hogy:
Először is, a jobboldal nevezőjében a gyök alatt pozitív szám van, és így mindkét oldalon értelmes kifejezés áll, hiszen:
A nevezővel való átszorzás után mindkét oldalon nemnegatív szám áll, így a négyzetre emelés ekvivalens lépés:
Az a célunk, hogy mindkét egyik oldalon se szerepeljen szögfüggvények szorzata. Ehhez az ismert azosságokat fogjuk használni:
2cos220o=1+cos 40o
2cos220ocos 50o=(1+cos 40o)cos 50o=cos 50o+cos 50ocos 40o=
2cos280o=1+cos 160o=1-cos 20o
Ezeket beírva, és az egyenletet 2-vel szorozva a következőket kapjuk:
Mivel , ezért:
Ez valóban igaz, ugyanis:
2cos 40o+4cos 80o=2cos 40o+2cos 80o+2cos 80o=4cos 60ocos 20o+2cos 80o=2cos 20o+2cos 80o=
Végig ekvivalens állításokat hajtottunk végre, így bizonyítottuk az eredeti állítást.
|
Előzmény: [65] Lóczi Lajos, 2003-11-13 18:57:33 |
|
[143] lorantfy | 2003-12-04 08:44:23 |
Kedves Gyuri!
Szerintem az a gond a gondolatmenettel, hogy nem feltételezhetjük, hogy aznap este még életben van az elitélt, mert lehet, hogy aznap reggel már kivégezték. Tehát, ha pl. szombat reggel kivégzik, akkor nyugodtan lehetne vasárnap a kivégzés (de akkor már minek). Valójában a gondolatmenet igy szól: Ha szombat reggel nem végeznek ki, akkor szombat este még élek, így tudom, hogy a kivégzés már csak vasárnap lehet, tehát az utolsó nap amikor kivégezhetnek a szombat.
A kiinduló feltételezésnek nincs semmi alapja.
Na eddig jutottam vele.
|
Előzmény: [133] Gyuri, 2003-12-03 01:21:26 |
|