Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1544] ScarMan

2006-11-26 13:41:17

Szerintem ebben az esetben a határérték csak 0 lehet.

Ha a_n-nek végtelen sok pozitív és negatív tagja van, akkor ez na_n-re is igaz, de ekkor a két részsorozat közös határértéke csak a 0 lehet.

Ha valamelyik előjelű tagból csak véges sok van, akkor azokat hagyjuk el. Ha most csak negatív tagjaink maradtak, akkor szorozzuk az egészet -1-gyel. Most csak pozitív tagjanik vannak. Itt találunk egy szig. mon. csökkenően 0-hoz tartó részsorozatot, ez legyen a_N. Nyilván $\sum a_N$ is konvergens, mert pozitív tagokat hagytunk el. Ekkor a Cauchy-féle ekvikonvergencia tétel miatt $\sum 2^Na_{2^N}$ sor is konvergens, ezért az általános tag 0-hoz tart. Ez Na_N-nek részsorozata, ami viszont na_n-nek részsorozata, tehát na_n-nek 0 torlódási pontja.

Előzmény: [1543] Cckek, 2006-11-26 12:12:20

[1543] Cckek	2006-11-26 12:12:20
Nagyon szép, az én hibám hogy nem követeltem meg: na_n határérték létezzen.
Előzmény: [1542] jonas, 2006-11-26 12:06:44

[1542] jonas	2006-11-26 12:06:44
Ez nem nehéz: a_2^k=2^-k minden k egészre, a többi a_n=0. Ilyenkor 2^ka_2^k=1 így na_n-nek nincs határértéke, viszont $\sum_{1\le n} a_n = \sum_{0\le k} 2^{-k} = 2$ .
Előzmény: [1541] Cckek, 2006-11-26 11:52:55

[1541] Cckek	2006-11-26 11:52:55
Adjunk páldát olyan a_n sorozatra, melyre $\sum_{n\ge 1}a_n$ konvergens, de na_n határértéke nem 0.

[1540] Cckek	2006-11-25 23:02:45
Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet: 2^m-1=xⁿ

[1539] jenei.attila	2006-11-23 20:55:29
Valóban, ez esetben a hányados tényleg 2, azonban a lényegen mit sem változtat. Egyébként ez az eset is benne van az előző hozzászólásomban, l=0-val. Az ez előtti megjegyzésem szerint, minden páratlan számra igaz, hogy a $\varphi$ (n) nem osztója n-nek, vagyis elég csak a páratlan számok reciprok összegéről belátni, hogy divergens. Ez pedig közismert. A legutóbbi megjegyzésem már egy erősebb állítást tartalmaz.
Előzmény: [1538] S.Ákos, 2006-11-23 20:09:58

[1538] S.Ákos

2006-11-23 20:09:58

Igen, ez lenne a megoldás.De nem jó, mert 2^k-ra is igaz, és itt a hányados 2. Megpróbálom helyesen:

Jelöljük azokat a számokat h₁;h₂;...vel, melyek Euler-féle $\varphi$ -függvény értékére teljesül a következő $\{\frac{n}{\varphi (n)}\}>0$ ({}=törtrész). Mutassuk meg, hogy $\sum_{i=1}^n\frac{1}{h_i}$ nem véges!

Előzmény: [1537] jenei.attila, 2006-11-23 13:44:38

[1537] jenei.attila	2006-11-23 13:44:38
$\varphi$ (n) csak akkor osztója n-nek (ez esetben a hányados 3), ha n=2^k3^l, ahol k>=1 és l>=0. Ezen n-ek reciprok összege viszont konvergens (vagyis nincsenek túl sokan), és 3/2-hez konvergál.
Előzmény: [1536] jenei.attila, 2006-11-23 12:01:16

[1536] jenei.attila	2006-11-23 12:01:16
Sőt. A páratlan számokhoz relatív prímek száma páros, vagyis nem lehet osztója a páratlan számnak. A páratlan számok reciprok összege pedig divergál. Szerintem kérdezzük meg Ákost, pontosam mire gondolt. Ákos! A kérdés adott: légyszíves pontosítsd a feladatot. Köszi.
Előzmény: [1535] jenei.attila, 2006-11-23 11:24:47

[1535] jenei.attila	2006-11-23 11:24:47
Én sem egészen értem a feladatot, de ha azon számok reciprok összegéről van szó, amelyeknek a náluk kisebb relatív prímek száma nem osztója, akkor a páratlan prímekre ez biztos igaz. Ezek reciprok összege, pedig valóban divergens, és következik belőle, hogy a szóban forgó számok reciprok összege is divergens. A prímekre vonatkozóan a bizonyítás nem túl könnyű, és lehet, hogy az Ákos által megfogalmazott gyengébb állítás bizonyítása könnyebb. Szerintem ez lehet a feladat.
Előzmény: [1534] Lóczi Lajos, 2006-11-23 10:15:36

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?