Fórum: Érdekes matekfeladatok

Mivel eddig senki sem szólt hozzá, leírok egy megoldást.

Racionáls a,b0 -ra x pontosan akkor racionális, ha w=x/a , és y pontosan akkor, ha z=y/b is az. x=wa-t és y=zb-t helyettesítve w²+z²=1 adódik. Legyen , , ahol p,q,r,s egészek. ; p²s²+r²q²=q²s² Legyen q és s legnagyobb közös osztója n, q=tn, s=un, ahol t és u relatív prímek.

p²u²n²+r²t²n²=t²u²n⁴ ; p²u²+r²t²=t²u²n² A baloldalon t és u relatív prím volta miatt p² osztható t² -tel és r² osztható u² -tel. Legyen p=kt, r=mu. k²t²u²+m²u²t²=t²u²n²

k²+m²=n²

Vagyis tetszőleges k,m,n pithagoraszi számhármashoz kapunk megoldást. Visszafelé haladva tetszőleges relatív prím t-t és u-t véve , , ,

Az ellipszis racionális koordinátájú pontjai tehát a pontnégyesek, ahol a és b az ellipszis tengelyei, k,m,n pithagoraszi egészek, ahol a nemnulla hármasokon kívül 1;0;1 és 0;1;1 is megengedett. Könnyen belátható, hogy ha k,m,n primitív pithagoraszi számhármas, akkor minden pontot csak egyszer kapunk meg.

Ezek "ideális" szolgák. ;o)

Tehát minden rabnak ötszáz üveg borból kell innia? Nem fognak meghalni alkoholmérgezésben?

Minden üveg sorszáma elfér 10 számjegyen binárisan (<1024). Minden bináris helyiérték 1-1 halálraitélthez tartozik. Minden borral megitatja azokat az embereket, ahol ez a helyiérték 1, tehát az 1. borbol csak az első szolga, a 100. borbol(64+32+4) tehát a 3. 5. 6. halálraitéltek isznak. 30. nap után az összes halottbol kiszámítha, hogy melyik bor volt a mérgező.

Kellemes ünnepeket mindenkinek. És... a következő kis feladatot: Egy császár 1000 üveg borából 1 mérgezett. A császár kiadja a nagyvezérnek a parancsot, 40 nap alatt állapítsa meg melyik üveg mérgezett. Ehez kap 10 halálraítéltet akikkel a borokat kostoltathatja. A méreg 30 nap mulva hat. Hogyan jár el a nagyvezér?

303.feladat Az említett forgóajtó 4 kézzel már kinyitható.

Mivel a rendszer nem engedi feltölteni a 343 bájtos ábrámat (ami jóval a maximum alatt van) a kitöltetlen ábrádon fogok magyarázni. 4 különböző eset van a kézbedugásra:

3 szomszédos állásba (612)

2 szomszédos állásba, (124 ill. 614-ezek forgatással nyilván nem vihetők át egymásba)

0 szomszédos állásba (246)

Az össze további eset ezek közül valamelyiknek az elforgatottja.

A kapcsolók állása nyilván csak goldolatban van megszámozva, különben nem feladat. Ezzel a 4 félével, ha nincs szerencsénk, akkor kijöhet, hogy csak az 1246 kapcsolókhoz nyúlunk hozzá.

Tehát, ha a 3-as, és az 5-ös kapcsoló különböző állású, akkor elvileg az is előfordulhat, hogy sose nyúlunk hozzájun, és az ajtó is zárva maradhat az idők végezetéig.

Tehát áltaéános algoritmus nem létezik.

Eddig jutottam:

Jelöljük a kapcsoló két állását 1-gyel és 2-vel!

Jelöljük a kapcsolókat 1-6, a felsőtől az óramutató járásával megegyezően.

[Ekkor az első kapcsoló jelölése legyen 1(1) vagy 1(2) attól függően, hogyan áll a kapcsoló 1 vagy 2 állásban, bizonytalan helyzetben 1 (1/2).]

Minden továbblépés előtt feltételezzük, hogy nem nyílik ki.

[Szerencsés esetben persze bármikor kinyílhat, akár induláskor is :*-) ]

1. Fogjunk meg három egymás melletti kapcsolót, és állítsuk mindhármat 2-re, ha nem az volt! [1(2),2(2),3(2) kapcsolóállás jön létre]

2.A pörgetés után fogjunk meg három nem egymás mellettit, és állítsuk 2-re, ha nem az volt!

A lehetséges esetek:

hely----Biztos--------------------bizonytalan

1,3,5--1(2),2(2),3(2),5(2)--------4(1/2),6(1/2)

2,4,6--1(2),2(2),3(2),4(2),6(2)---5(1/2)

Tehát két pörgetés után mindkét esetben legalább egy bizonytalan helyem van. Innentől én is bizonytalan vagyok.

Mivel a pörgetés véletlenszerű kezdőpontú felállásokat hoz, elvben bármeddig pörgethetek, nézhetem, hogy van-e átállítandó (ha 1 akkor átállítom), de mi garantálja, hogy a három kezem közül valamelyik alá kerül a hátralévő (1 vagy 2) a maradék 3 pörgés alatt?

Nem látom értelmét annak sem, hogy az 1,2,3 és a 2,4,6 után egy újabb lépésvariációt vezessek be (mondjuk 1,2,4).

Ötlet?

Az egyszerűség kedvéért a 81-es példa itt érhető el (jobb alsó sarok):

Csernobili probléma néven a 81.-eshez hasonlót adtak fel a lányomnak az iskolába, de 6 lyuk és 3 kéz (sic!) esetén. Ez lehet 81/a vagy valami újabb, de a lényeg, hogy van-e ötletetekt ötlépéses megoldásra, vagy annak cáfolatára.