Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1687] Lóczi Lajos

2007-01-04 22:25:16

Bizonyítsuk be vagy cáfoljuk meg az alábbi állítást:

"Ha a_n egy olyan korlátos valós számsorozat, amelyre a_n+2a_n+1 nullához tart, akkor a_n konvergens" (és ekkor persze maga is nullsorozat).

[1686] Cckek	2007-01-04 10:09:57
Ez a feladat az enyém ugyan, de persze nem eredeti ötletből. Én is úgy "kaptam" az $u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n},u_1=1$ , sorozat esetén az $u_n-\sqrt{n}$ határérték kiszámítását. $\left(\frac{1}{2}\right)$ . Ezt általánosítottam egy kicsit, persze még rengeteg általánosítás lehetséges. A megoldáshoz viszont gratulálok.
Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26

[1685] Lóczi Lajos

2007-01-04 00:32:52

Sőt:

$u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+\frac{64}{243 n^2}+\frac{112}{2187 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).$

Előzmény: [1684] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:13:59

[1684] Lóczi Lajos

2007-01-04 00:13:59

A pontosítás:

$u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26

[1683] Lóczi Lajos

2007-01-04 00:00:26

A válasz:

$-\frac{19}{12}.$

A bizonyításhoz célszerű megsejteni u_n aszimptotikus sorfejtésének az elejét. Ez némi számítógépes kísérletezést igényelt. Az alábbi állítás igaz:

$2n-\frac{4}{3}-\frac{1}{n}\le u_n \le 2n-\frac{4}{3}+\frac{1}{n}.$

(Itt a 2n-es nagyságrendet maga a feladat sugallta. A $\frac{4}{3}$ -ot "kézzel" ki lehet találni, ha felveszünk egy alkalmas próba-alakot. A finomabb $\frac{1}{n}$ -hez a számítógépre volt szükségem.) A fenti állítás bizonyítása teljes indukcióval történhet, n $\le$ 36-ra direkt látszik, az indukció n $\ge$ 36-tól működik (a 36 valójában csak az egyik irányú egyenlőtlenséghez kell, a másik n $\ge$ 1 esetén is teljesülni tud az indukció végrehajtása során).

Az állításomból a $-\frac{19}{12}$ már standard módon adódik a közrefogási elv felhasználásával.

Amúgy honnan származik ez a szép feladat? Az általánosítás látszik: folytassuk az aszimptotikus sorfejtést, megkeresve $\frac{1}{n}$ pontos együtthatóját (nekem kb. 0.297351-nek adódott, de ez nem pontos), és $\frac{1}{n^2}$ együtthatóját, stb.

Előzmény: [1681] Cckek, 2007-01-02 21:47:31

[1682] rizsesz	2007-01-03 19:24:48
remek időzítés Ákos. :) intuíció nélkül eszembe sem jutott vola elosztani 123456789-et 3607-tal.
Előzmény: [1680] S.Ákos, 2007-01-02 14:38:13

[1681] Cckek	2007-01-02 21:47:31
Adott a következő sorozat $u_{n+1}=n+\frac{2n^2}{u_n}, u_1=1$ . Számítsuk ki az $u_n-\sqrt{n(4n+1)}$ sorozat határértékét!

[1680] S.Ákos	2007-01-02 14:38:13
304.c) legfeljebb hány azonos számjegyre végződhet egy 3607-hatvány 123456789-es számrendszerben?
Előzmény: [1666] Python, 2007-01-01 15:29:09

[1678] S.Ákos	2007-01-02 13:31:17
Még annyit ki kell kötni, hogy létezzen olyan p prím, amelyre p\|n, de p\|m nem teljesül.
Előzmény: [1674] S.Ákos, 2007-01-01 19:20:28

[1677] Mumin

2007-01-01 20:36:57

Akkor bocsánat, megengedem, hogy az egyszerű megoldást is közölje a szerző.

:))))

Előzmény: [1676] Csimby, 2007-01-01 20:25:49

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?