Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[1691] nadorp2007-01-06 12:56:32

Legyen bn=an+2an+1. Ekkor

a_2=\frac{b_1-a_1}2

a_3=\frac{b_2-a_2}2=\frac{b_2}2-\frac{b_1-a_1}4

a_4=\frac{b_3-a_3}2=\frac{b_3}2-\frac{b_2}4+\frac{b_1-a_1}8

...

a_{n+1}=\frac{b_n-a_n}2=\frac{b_n}2-\frac{b_{n-1}}4+\frac{b_{n-2}}8-...(-1)^n\frac{b_2}{2^{n-1}}+(-1)^{n+1}\frac{b_1-a_1}{2^n}.

Mivel \lim_{n\to\infty}b_n=0, ezért n>N esetén |bn|<\epsilon, azaz

|a_{n+1}|\leq\epsilon\left(\frac12+\frac14+...\frac1{2^{n-N}}\right)+\frac1{2^{n-N+1}}K<\epsilon+\frac1{2^{n-N+1}}K, ahol K a |b1-a1|,|b2|,|b3|... egy közös felső korlátja. ( Ez létezik, mert bn konvergens). Innen már látszik, hogy \lim_{n\to\infty}a_n=0

Előzmény: [1687] Lóczi Lajos, 2007-01-04 22:25:16
[1690] Sirpi2007-01-06 01:17:04

Nem feltételezek ilyet. Mindössze annyit, hogy van egy bm\neq0, ahol m>N, ahol N az \varepsilon-hoz tartozó korlát (azaz |bn/2-bn+1|<\varepsilon minden n>N-re). Ekkor beláttam, hogy m-et növelve bm előbb-utóbb bemegy a [-3\varepsilon;3\varepsilon] intervallumba (vagyis lehet bármilyen előjelű, megfelelően kis abszolútértékű szám), és utána viszont már nem megy ki belőle. Azaz minden \varepsilon-ra van olyan N' index, hogy |bn|<\varepsilon minden n>N'-re. Tehát bn\to0 és így an\to0.

Várom a következő kérdést :-).

Előzmény: [1689] Lóczi Lajos, 2007-01-06 00:20:29
[1689] Lóczi Lajos2007-01-06 00:20:29

Sajnos nem értem a bizonyításod.

Számomra úgy tűnik, mintha azt feltételeznéd, hogy a bn sorozat állandó előjelű már. Ha tévedek, akkor mondom a következő kérdésem :)

Előzmény: [1688] Sirpi, 2007-01-04 23:47:54
[1688] Sirpi2007-01-04 23:47:54

Igaznak tűnik :-)

Tegyük fel, hogy an nem azonosan 0 egy adott indextől kezdve, és teljesül rá a feltétel. Cseréljük ki an-et egy bn sorozatra úgy, hogy bn=an, ha n páros, és bn=-an, ha n páratlan. Ekkor a feltétel ekvivalens bn/2-bn+1 konvergenciájával (ezzel egyszerűbb talán dolgozni, mert nem "oszcillál").

Legyen \varepsilon>0. Ekkor a konvergencia miatt van olyan N, hogy minden n>N-re |bn/2-bn+1|<\varepsilon.

Mivel bn nem azonosan nulla valamilyen indextől, ezért van olyan m>N, amire bm\neq0 (feltehetjük, hogy pozitív, különben a bn sorozat helyett vegyük az ellentettjét). Ekkor bm/2-\varepsilon\leqbm+1\leqbm/2+\varepsilon, vagyis (és ez a lényeg) a sorozot bm-től kezdve előbb-utóbb bemegy a [-3\varepsilon;3\varepsilon] intervallumba, és onnan már nem is tud kijönni, így 3\varepsilon-hoz van megfelelő N' korlát.

Az, hogy ha bemegy, akkor nem tud kijönni, triviális, hiszen 0/2-\varepsilon\leqbn+1\leq3/2\varepsilon+\varepsilon, azaz a következő elem abszolútértéke 5/2\varepsilon lesz maximum. Az pedig, hogy valóban be is megy, következik abból, hogy ha nem menne be, akkor végig 3\varepsilon felett maradna, valamint monoton módon csökkenne (ezt is könnyű látni), tehát konvergens lenne, de 2\varepsilon-nál nagyobb értékhez nem tud konvergálni.

Tudom, ez így kicsit kusza, meg hosszú volt, de már kezd késő lenni. Nem tudom, van-e sokkal egyszerűbb(en leírható) megoldás.

Előzmény: [1687] Lóczi Lajos, 2007-01-04 22:25:16
[1687] Lóczi Lajos2007-01-04 22:25:16

Bizonyítsuk be vagy cáfoljuk meg az alábbi állítást:

"Ha an egy olyan korlátos valós számsorozat, amelyre an+2an+1 nullához tart, akkor an konvergens" (és ekkor persze maga is nullsorozat).

[1686] Cckek2007-01-04 10:09:57

Ez a feladat az enyém ugyan, de persze nem eredeti ötletből. Én is úgy "kaptam" az u_{n+1}=1+\frac{n}{u_n},u_1=1, sorozat esetén az u_n-\sqrt{n} határérték kiszámítását. \left(\frac{1}{2}\right). Ezt általánosítottam egy kicsit, persze még rengeteg általánosítás lehetséges. A megoldáshoz viszont gratulálok.

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26
[1685] Lóczi Lajos2007-01-04 00:32:52

Sőt:

u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+\frac{64}{243 n^2}+\frac{112}{2187 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right).

Előzmény: [1684] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:13:59
[1684] Lóczi Lajos2007-01-04 00:13:59

A pontosítás:

u_n=2 n-\frac{4}{3}+\frac{8}{27 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).

Előzmény: [1683] Lóczi Lajos, 2007-01-04 00:00:26
[1683] Lóczi Lajos2007-01-04 00:00:26

A válasz:

-\frac{19}{12}.

A bizonyításhoz célszerű megsejteni un aszimptotikus sorfejtésének az elejét. Ez némi számítógépes kísérletezést igényelt. Az alábbi állítás igaz:

2n-\frac{4}{3}-\frac{1}{n}\le u_n \le 2n-\frac{4}{3}+\frac{1}{n}.

(Itt a 2n-es nagyságrendet maga a feladat sugallta. A \frac{4}{3}-ot "kézzel" ki lehet találni, ha felveszünk egy alkalmas próba-alakot. A finomabb \frac{1}{n}-hez a számítógépre volt szükségem.) A fenti állítás bizonyítása teljes indukcióval történhet, n\le36-ra direkt látszik, az indukció n\ge36-tól működik (a 36 valójában csak az egyik irányú egyenlőtlenséghez kell, a másik n\ge1 esetén is teljesülni tud az indukció végrehajtása során).

Az állításomból a -\frac{19}{12} már standard módon adódik a közrefogási elv felhasználásával.

Amúgy honnan származik ez a szép feladat? Az általánosítás látszik: folytassuk az aszimptotikus sorfejtést, megkeresve \frac{1}{n} pontos együtthatóját (nekem kb. 0.297351-nek adódott, de ez nem pontos), és \frac{1}{n^2} együtthatóját, stb.

Előzmény: [1681] Cckek, 2007-01-02 21:47:31
[1682] rizsesz2007-01-03 19:24:48

remek időzítés Ákos. :) intuíció nélkül eszembe sem jutott vola elosztani 123456789-et 3607-tal.

Előzmény: [1680] S.Ákos, 2007-01-02 14:38:13

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]