Fórum: Érdekes matekfeladatok

Egy kis érdekesség.

Továbbra is feltételezzük , hogy a vendégeknél 50-50% valószínűséggel van egyetlen 500 vagy egyetlen 1000 forintos bankjegy. A vendégek száma n, a jegyszedőnél kezdetben k darab 500 forintos van.

a) A vendégek véletlenszerűen sorbaállnak, fizetnek, a jegyszedő néni visszaad, ha tud. Jelöljük p₁-gyel annak a valószínűségét, hogy valamikor nem tud visszaadni.

b) A jegyszedő úgy dönt, hogy a sorban előrehívja azokat, akiknél 500 forintos pénz van. Jelöljük p₂-vel annak a valószínűségét, hogy így sem sikerül mindenkinek visszaadni.

34.c feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha n és k azonos paritású, akkor p₁=2p₂.

(A Catalan-számokat jól ismerők előnyben!)

Pontosítás az előzőhöz:

A következő vevőnek 50% eséllyel van 500 Ft-osa és 50%, hogy 1000 Ft-osa van. Ez végig állandó. (Nem függ attól, hányan fizettek már pl. 1000 Ft-al.)

Kedves Éva!

Egy újabb próbálkozás:

34.b feladat

n db füzetet szeretnénk eladni n embernek. A füzet ára 500 Ft. Az emberek felének van 500 Ft-ja, másik felének csak 1000 Ft-osa van.

1.Ha 1000 Ft-al akar fizetni valaki és nincs 500 Ft-unk vissza, akkor nem vesz, ha tudunk visszaadni, akkor vesz.

2.Ha 500 Ft-al fizet valaki, akkor persze vesz füzetet és lesz egy visszaadható 500 Ft-unk.

Mennyi a valószinüsége, hogy mind az n könyvet eladjuk:

1.Ha kezdetben nincs 500 Ft-osunk (k=0)

2.Ha k db 500 Ft-ossal indulunk.

Árázoljuk az eseményeket egy bináris fával. A csúcsokba írjuk az 500 Ft-osaink számát. Az élek szine kék ha vettek, piros, ha nem vettek füzetet. Ha jobbra lépek 500 Ft-al fizettek, ha balra akkor 1000 Ft-al. Piros a vonal, ha nullás pontból balra lépünk, különben kék. Az összes eset száma 2ⁿ. Ahány kék vonallal jutunk le, annyi füzetet adtunk el.

Próbáljátok általánosítani! n=5 esetén a következő értékek adódnak:

k=0 : 50%, k=1 : 62,5%, k=2 : 78%, k=3 : 93%, k=4 : 97%, k=5 : 100

Két újabb feladat:

41. feladat

Legyenek a,b,c,d,e egész számok. Tudjuk, hogy összegük és négyzetösszegük is osztható a páratlan p számmal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+e⁵-5abcde is osztható p-vel.

42. feladat

Legyenek P és Q pozitív páratlan relatív prím számok. Bizonyítsuk be, hogy

Kedves Mindenki!

Ajánlom figyelmetekbe a 34. feladatot, amit nem én találtam ki, hanem egy valóban létező probléma. (A színházat nem akartam megnevezni, nem az a lényeg.) És kíváncsi vagyok, együttes erővel lehet-e vele valamit kezdeni.

40. feladat: Tekintsük az ábra szerinti M*N-es lapocskát a kör helyekkel, melynek d szimmetriatengelye van. Képezzük az összes (n) olyan változatot, melyben k szinezett korongot helyeztünk el és sem tüktözéssel, sem forgatással két változatot nem lehet egymásba mozgatni. Mennyi n értéke M, N és k függvényében?

Kedves Topikolók!

Bevallom, a fenti feladatot kitaláltam, de a választ rá nem tudom, még nem találtam meg a pontos összefüggést, így szabad a gazda, a válasz engem is nagyon izgat. :o)

HK

Kedves Károly!

Igazad van. Annyira belelkesedtem, hogy az 5x5-ösből rögtön kijön a 7x7-es, hogy nem olvastam el az eredeti kiírást, miszerint záródnia kell. Majd próbálkozom...

Kedves László!

Elmesélem a feladattal kapcsolatos történetemet. Még elsős gimis lehettem, mikor feladták nekem, a feladója sem ismerte a megoldást. Fél évig görcsöltem rajta és kb. 12 vissza nem záródó megoldást találtam, míg meg nem leltem azt, amelyik az eredeti kiírásban is szerepel. Miszerint vissza kell záródnia a kiindulási pontba.

Tehát eddig a könnyebbik változata lett megoldva és sok sikert kívánok a nehezebbik megoldásához.

HK

és a 12. feladat behúzása 12 szakasszal.

Kedves Károly!

Adom a megoldást a 39. feladatra és így megvan az elmaradt 12. feladat is.