Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1876] Lóczi Lajos

2007-02-06 02:52:19

Ez a feladat nem más, mint apró általánosítása annak a jól ismert elemi állításnak, hogy egy konvergens sorozat limesze azonos a sorozatból képezett számtaniközép-sorozat limeszével.

Jelölje x_n limeszét X, Y jelentése hasonló. Jelölje K a két sorozat abszolútértékének egy közös felső korlátját.

Nyilván azt kell igazolni, hogy

$\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i y_{n+1-i}-XY\right|$

nullsorozat. De ezt -- az AB-CD=A(B-D)+D(A-C) összefüggés figyelembe vételével -- nyilván felülről becsülhetjük az alábbival:

$\frac{1}{n} |Y|\sum_{i=1}^{n} |x_i-X|+ \frac{1}{n} K \sum_{i=1}^{n} |y_i-Y|.$

A befejezéshez elég megmutatni, hogy ezek nullsorozatok. Nyilván elég azt belátni, hogy ha x_n $\to$ X, akkor $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i-X| \to 0$ .

Rögzítsünk egy $\varepsilon$ >0 számot, és legyen N( $\varepsilon$ ) az a küszöbindex, melyre minden n>N( $\varepsilon$ ) esetén |x_n-X|< $\varepsilon$ . Legyen n>N( $\varepsilon$ ). Ekkor

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |x_i-X| \le \frac{(K+|X|) N(\varepsilon)+\varepsilon\cdot n}{n}\le 2\varepsilon,$

ha n elég nagy.

Előzmény: [1874] Cckek, 2007-02-05 17:27:15

[1875] pogre

2007-02-05 17:41:49

nah én tök béna vok a matekhoz tehát ne nevessetek ki a feladatommal!!! A sugarak intenzitása exponenciálisan csökken anyagokba való behatoláskor! 6mm mélységben az intenzitás az eredeti 10 százalékára csökken csökken!

a) Írj fel formulát az intenzitás csökkenésére b)mekkora lesz az intenzitás 2mm mélységben

[1874] Cckek	2007-02-05 17:27:15
$lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_iy_{n+1-i}=lim_{n\to \infty}x_ny_n$
Előzmény: [1872] Cckek, 2007-02-05 16:59:26

[1873] Sirpi	2007-02-05 17:21:37
Valami itt nem jó... Ha pl. x_i=y_i $\equiv$ 1, akkor jobb oldal 1, a bal pedig $\infty$ .
Előzmény: [1872] Cckek, 2007-02-05 16:59:26

[1872] Cckek

2007-02-05 16:59:26

Találkoztam egy nagyon érdekes feladattal, persze nem tudom megoldani:(

Legyenek x_n, y_n konvergens sorozatok. Bizonyítsuk be, hogy

$lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n{x_iy_{n+1-i}}=lim_{n\to \infty}{x_ny_n}$

[1871] Mhari

2007-02-05 15:44:28

Sziasztok!

Köszönöm Nektek - Lóczi Lajos és Cckek - a gyors megoldást,tetszik mindkettőtöké, de a lelkivilágomhoz mégis Cckek-é áll közelebb, az olyan "hagyományos", rendezgetős, számolgatós. Én próbálkoztam mindennel, ami a fejemből kifért, de erre az egyszerű dologra nem is mertem gondolni, hogy a 4xy így bontsam fel. Hát hiába, aki tud, az tud. Üdv: Attila

[1870] Cckek

2007-02-05 05:10:02

A legegyszerűbb talán ha a baloldali kifejezést tényezőkre bontjuk:

3x²+4xy+y²=3x²+3xy+xy+y²=3x(x+y)+y(x+y)=(3x+y)(x+y).

Mivel p prímszám ezért csak a következőképpen írható fel egész számok szorzataként:

1^.p, p^.1, (-1)^.(-p), (-p)^.(-1).

Tehát négy egyenletrendszert kell megoldanunk:

3x+y=1,x+y=p vagy 3x+y=p,x+y=1, 3x+y=-1,x+y=-p vagy 3x+y=-p,x+y=-1, ahonnan kapjuk a megoldáspárokat:

$(x,y)\in\left \{ (\frac{1-p}{2},\frac{3p-1}{2}),(\frac{p-1}{2},\frac{3-p}{2})(\frac{p-1}{2},\frac{1-3p}{2})(\frac{1-p}{2},\frac{p-3}{2})\right \}.$

Előzmény: [1867] Mhari, 2007-02-04 20:28:38

[1869] Lóczi Lajos

2007-02-04 21:17:47

A megoldás:

Fejezzük ki a 3x²+4xy+y²=p egyenletből y-t a másodfokú egyenlet megoldóképletével. A gyökjel alatt x²+p áll, melynek nyilván teljes négyzetnek kell lennie, tehát valamely t egész számmal x²+p=t². Itt p-re rendezve és faktorizálva kapjuk, hogy

1. t-x=1 és t+x=p

vagy

2. t-x=-1 és t+x=-p

3. t-x=p és t+x=1

4. t-x=-p és t+x=-1, amivel megoldottuk a kérdést.

Előzmény: [1868] Lóczi Lajos, 2007-02-04 20:58:25

[1868] Lóczi Lajos	2007-02-04 20:58:25
Talán segít, ha látjuk, mit keresünk. Legyen p adott páratlan pozitív prím, x és y egészek. Ekkor az állítás az, hogy a 3x²+4xy+y²=p egyenlet (x,y) megoldásai $\pm \left(\frac{p-1}{2},\frac{3-p}{2}\right)$ és $\pm \left(\frac{p-1}{2},\frac{1-3p}{2}\right)$ .
Előzmény: [1867] Mhari, 2007-02-04 20:28:38

[1867] Mhari

2007-02-04 20:28:38

Sziasztok! ...hát gyerekek, én csak ámulok és bámulok a sok rajzszög láttán, de nekem sokkal prózaibb gondom van már megint. Ahogy elnézlek benneteket, az én problémám nem is probléma (csak nekem). Szóval a probléma: 3*x*x+4*x*y+y*y=p Ahol x,y egészek, p pedig prím szám. Mi a megoldás?

Van ennek egy édestestvére, x*y*y+2*x*y+x-243*y=0 ahol x,y pozitív természetes szám, de azt simán meg lehet oldani, nehézség nélkül.(Még nekem is sikerült!)

De az elsővel sehogyan sem boldogulok. Próbáltam megoldani, mint felületet, még ábrázoltam is a Derive-val, jól is nézett ki, de nem sokra mentem vele. (Megjegyzem tudom a megoldást, 4 pár van belőle, de megoldani nem tudom.) Ha valaki tud, segítsen megoldani!

Üdv: Attila

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?