Fórum: Érdekes matekfeladatok

Sajnálom, elsiettem:)) De az csak jó lehet ha egy feladatra két szép megoldás is van a forumon. Amúgy azt hiszem az a_n1,n határértékből és

összefüggésből már következik, hogy p_n nullsorozat.

Itt van még egy:

.

Konvergens-e az y_n=n-(x₀+x₁+...+x_n-1) sorozat?

Melyik a több? Fél tucat tucat tucat tucat, vagy hat tucat tucat tucat tucat? A második vagy az első vagy egyenlőek?

Varhattal volna meg egy fel napot a leirassal :) de mivel tegnap 2 orat gondolkodtam a feladaton, beirom az en megoldasomat is.

Jeloljon n mindvegig nemnegativ egeszt. Konnyu latni, hogy a_n monoton no es minden n-re 0<a_n<1.

Legyen es szokas szerint p₀:=1. A rekurziv osszefuggesbol kapjuk, hogy 1-a_n+1=(1-a₁)^.p_n².

Mivel 0<p_n monoton fogyo, ezert konvergens. Indirekten tegyuk fel, hogy p_np>0. A monotonitas miatt ekkor persze minden n-re p_n>p, azaz -p_n²<-p².

Mivel tetszoleges valos x eseten x=1-(1-x)e^-(1-x), ezert

e^{(1-a₁)(-1-p2.n)}.

Ha most n, a jobb oldal tart 0-hoz. Az adodo ellentmondas mutatja, hogy p_n valoban nullsorozat.

Ez a feladat túl szép ahoz, hogy megoldatlanul maradjon:

a₁(0,1) Ha a_k(0,1) akkor a_k+1=a_k²(a_k-1)+1, de -1<a_k-1<0 tehát 1-a_k²<a_k²(a_k-1)+1<1 az-az a_k+1(0,1). A matematikai indukció elve szerint a_n(0,1),nN.

a_n+1-a_n=a_n³-a_n²-a_n+1=(a_n-1)²(a_n+1)>0 tehát a_n növekvő. Legyen a_n határértéke l. Ekkor l=l³-l²+1,l[0,1] tehát l=1. Tehát létezik egy b_n csökkenő sorozat, b_n0 úgy hogy a_n=1-b_n. Írhatjuk:

1-b_n+1=(1-b_n)³-(1-b_n)²+1b_n+1=b_n(1-b_n)² ezért

ahonnan tagonként felírva majd összeszorozva kapjuk, hogy

ahonnan .

Tehát

A feladatot nem találtam meg, de az állítást a Járai-könyvben igen (162. oldal).

Ez azt állítja, hogy a racionális számok halmaza nem áll elő megszámlálhatóan sok nyílt halmaz metszeteként.

Mint matektanárunk szokta mondani, az eredmény közlése nem egyenlő a feladat megoldásával. Ha valakinek kell egy kis segítség az ilyen típusú feladatok megoldásához, hát lássuk: 1. megközelítés. Ki mond igazat?

I: Az első ajtó mond igazat -> a nyeremény a 2. mögött van -> a 2. is igazat mond -> ellentmondás azzal, hogy csak egy mond igazat

II: a második ajtó mond igazat -> mivel csak egy ajtó mond igazat, az 1. ajtó hazudik -> a 3. is igazat mond -> ellentmondás azzal, hogy csak egy mond igazat

III. a harmadik ajtó mond igazat -> mivel csak egy ajtó mond igazat, az 2. ajtó hazudik -> a nyeremény a 3. mögött van -> az 1. hazudik -> JÓ MEGOLDÁS

2. megközelítés: Hol a nyeremény?

I: Az első ajtó mögött -> 1. hazudik, 2. igazat mond, 3. igazat mond -> két igazmodó: ellentmondás

II: A második ajtó mögött -> 1. igazat mond, 2. igazat mond -> két igazmodó: ellentmondás

III: A harmadik ajtó mögött -> 1. hazudik, 2. hazudik, 3. igazat mond -> JÓ MEGOLDÁS

Az sorozat a következőképpen adott:

a₁(0,1), a_n+1=a_n³-a_n²+1.

Számítsuk ki a következő határértéket:

.

a 3-as mögött.

Sziasztok!

3 ajtó közül az egyik mögött nyeremény rejtőzik. Ám az ajtók közül csak az egyik mond igazat. Melyik ajtó mögött találod a nyerményed? 1.ajtó: "A 2-es mögött van." 2.ajtó: "Nem a 3-as mögött van." 3.ajtó: "Az 1-es hazudik!"

Lehetőségek:

1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó nem lehet meghatározni, hogy melyik mögött van egyik mögött sincs

Valóban szép interpolációs polinom, akkor az ajánlom szerkesszük meg trigonometrikus interpolaciós polinomját is, úgy hogy 1,2,3,...,8 helyeken a polinom ezeket az értékeket vegye fel:)