[189] lorantfy | 2003-12-11 22:40:16 |
 Megoldás a 43. feladatra:
A háromszög körülírt körének O középpontja csak akkor van a háromszög kerületén, ha az derékszögű. Ekkor viszont az M magasságpont a derékszögű csúcsba esik. Így OM = R= AB/2, OM csak a rövidebbik befogóval egyezhet meg. Tehát a háromszög szögei 30-60-90 fok. Szerkesztése: 2OM=AB fölé Thálesz kört, aztán A-ból OM=R-el körözve kimetszük a C pontot. (A feladat szövegében ez áll:„tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is” - ez csak annyit jelent, hogy azt még nem tudjuk, hogy a másik végpontja is (De mostmár tudjuk!), nem pedig azt, hogy a másik végpontja nem lehet a háromszög pontja)
Euler egyenes: A háromszög O, S, M ponjai erre az egyenesre esnek. Ráadásul MS=2OS.
Aki kíváncsi az Euler egyenes nevezetes pontjai és a beírt kör K középpontjának kapcsolatára, nézze meg a „Nehezebb matematikai problémák” témában Rácz Béla 7. feladatát.
|
 |
Előzmény: [188] Hajba Károly, 2003-12-11 01:06:29 |
|
[188] Hajba Károly | 2003-12-11 01:06:29 |
 Elnézést, pontosítok:
43. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!
HK
|
Előzmény: [187] Hajba Károly, 2003-12-11 01:03:40 |
|
[187] Hajba Károly | 2003-12-11 01:03:40 |
 35. feladat: Legyen adott egy háromszög Euler-féle OM szakasza; tudjuk, hogy e szakasz egyik végpontja egyben a háromszög egyik pontja is ill. a háromszög egyik oldalhossza megegyezik az OM szakasz hosszával. Szerkesszük meg a háromszöget!
HK
|
|
[186] lorantfy | 2003-12-10 13:41:47 |
 Kedves Fórumosok!
Reméltem, hogy valakinek megtetszik ez a bináris fa, de még nem késő! Felírtam a csúcsokhoz az eladások számát. A táblázatban az első oszlopban az n értéke, a következő oszlopokban az áll, hogy adott n esetén hány esetben volt 0,1,2,3,4,5 füzet eladás.
n |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
3 |
1 |
1 |
3 |
3 |
|
|
4 |
1 |
1 |
4 |
4 |
6 |
|
5 |
1 |
1 |
5 |
5 |
10 |
10 |
|
Ezek a számsorok mindenkinek ismerősek (Pascal hrsz. Binomiális tétel) A sorrend kicsit más. Remélhetőleg valaki be is bizonyítja, én most csak ebből a pár értékből általánosítok: Legyen egész része: m. Ekkor a 2n esetből esetben fogunk n db füzetet eladni k=0 befektettéssel. Következik k értékének 1-el való növelése. Ekkor ennek a fának a jobb oldali (fél) részfájára kell áttérni.
|
 |
Előzmény: [184] lorantfy, 2003-12-09 12:37:33 |
|
[185] Kós Géza | 2003-12-10 13:16:34 |
 Egy kis érdekesség.
Továbbra is feltételezzük , hogy a vendégeknél 50-50% valószínűséggel van egyetlen 500 vagy egyetlen 1000 forintos bankjegy. A vendégek száma n, a jegyszedőnél kezdetben k darab 500 forintos van.
a) A vendégek véletlenszerűen sorbaállnak, fizetnek, a jegyszedő néni visszaad, ha tud. Jelöljük p1-gyel annak a valószínűségét, hogy valamikor nem tud visszaadni.
b) A jegyszedő úgy dönt, hogy a sorban előrehívja azokat, akiknél 500 forintos pénz van. Jelöljük p2-vel annak a valószínűségét, hogy így sem sikerül mindenkinek visszaadni.
34.c feladat. Bizonyítsuk be, hogy ha n és k azonos paritású, akkor p1=2p2.
(A Catalan-számokat jól ismerők előnyben!)
|
Előzmény: [138] Ratkó Éva, 2003-12-03 14:33:47 |
|
[184] lorantfy | 2003-12-09 12:37:33 |
 Pontosítás az előzőhöz:
A következő vevőnek 50% eséllyel van 500 Ft-osa és 50%, hogy 1000 Ft-osa van. Ez végig állandó. (Nem függ attól, hányan fizettek már pl. 1000 Ft-al.)
|
Előzmény: [183] lorantfy, 2003-12-09 01:07:25 |
|
[183] lorantfy | 2003-12-09 01:07:25 |
 Kedves Éva!
Egy újabb próbálkozás:
34.b feladat
n db füzetet szeretnénk eladni n embernek. A füzet ára 500 Ft. Az emberek felének van 500 Ft-ja, másik felének csak 1000 Ft-osa van.
1.Ha 1000 Ft-al akar fizetni valaki és nincs 500 Ft-unk vissza, akkor nem vesz, ha tudunk visszaadni, akkor vesz.
2.Ha 500 Ft-al fizet valaki, akkor persze vesz füzetet és lesz egy visszaadható 500 Ft-unk.
Mennyi a valószinüsége, hogy mind az n könyvet eladjuk:
1.Ha kezdetben nincs 500 Ft-osunk (k=0)
2.Ha k db 500 Ft-ossal indulunk.
Árázoljuk az eseményeket egy bináris fával. A csúcsokba írjuk az 500 Ft-osaink számát. Az élek szine kék ha vettek, piros, ha nem vettek füzetet. Ha jobbra lépek 500 Ft-al fizettek, ha balra akkor 1000 Ft-al. Piros a vonal, ha nullás pontból balra lépünk, különben kék. Az összes eset száma 2n. Ahány kék vonallal jutunk le, annyi füzetet adtunk el.
Próbáljátok általánosítani! n=5 esetén a következő értékek adódnak:
k=0 : 50%, k=1 : 62,5%, k=2 : 78%, k=3 : 93%, k=4 : 97%, k=5 : 100
|
 |
Előzmény: [181] Ratkó Éva, 2003-12-08 17:17:54 |
|
[182] Pach Péter Pál | 2003-12-08 20:18:19 |
 Két újabb feladat:
41. feladat
Legyenek a,b,c,d,e egész számok. Tudjuk, hogy összegük és négyzetösszegük is osztható a páratlan p számmal. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a5+b5+c5+d5+e5-5abcde is osztható p-vel.
42. feladat
Legyenek P és Q pozitív páratlan relatív prím számok. Bizonyítsuk be, hogy
![\sum_{0<x<\frac{Q}{2}}{\left[\frac{Px}{Q}\right]}+\sum_{0<y<\frac{P}{2}}{\left[\frac{Qy}{P}\right]}=\frac{(P-1)(Q-1)}{4}.](keplet.cgi?k=13B286BB2A4BD346)
|
|
[181] Ratkó Éva | 2003-12-08 17:17:54 |
 Kedves Mindenki!
Ajánlom figyelmetekbe a 34. feladatot, amit nem én találtam ki, hanem egy valóban létező probléma. (A színházat nem akartam megnevezni, nem az a lényeg.) És kíváncsi vagyok, együttes erővel lehet-e vele valamit kezdeni.
|
Előzmény: [142] lorantfy, 2003-12-04 00:37:11 |
|
[180] Hajba Károly | 2003-12-08 10:43:39 |
 40. feladat: Tekintsük az ábra szerinti M*N-es lapocskát a kör helyekkel, melynek d szimmetriatengelye van. Képezzük az összes (n) olyan változatot, melyben k szinezett korongot helyeztünk el és sem tüktözéssel, sem forgatással két változatot nem lehet egymásba mozgatni. Mennyi n értéke M, N és k függvényében?
Kedves Topikolók!
Bevallom, a fenti feladatot kitaláltam, de a választ rá nem tudom, még nem találtam meg a pontos összefüggést, így szabad a gazda, a válasz engem is nagyon izgat. :o)
HK
|
 |
|