Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[1947] Cckek

2007-03-24 19:44:40

312.feladat Ha már integráloknál tartunk:

Számítsuk ki a következő integrált:

$\int_{0}^{\pi}\ln(1-2xcost+x^2)dt$

[1946] Cckek

2007-03-24 19:20:01

Legyen $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{\tan x}dx$

Jelöljük $\sqrt{\tan x}=t$ , tehát

$I=\int_{0}^{1}\frac{2t^2}{1+t^4}dt=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{1}\left(\frac{t}{t^2-\sqrt{2}t+1}-\frac{t}{t^2+\sqrt{2}t+1}\right)dt$

Írhatjuk:

$I=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{1}\left(\frac{t}{(t-\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}-\frac{t}{(t+\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}\right)dt$

ahonnan kiszámítható I értéke:

$I=\frac{\sqrt{2}}{4}\ln\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{(\sqrt{2}+1)}+\frac{\sqrt{2}}{2}arctg{(\sqrt{2}-1)}$

Előzmény: [1945] Lóczi Lajos, 2007-03-20 03:00:23

[1945] Lóczi Lajos	2007-03-20 03:00:23
311. feladat. Mekkora a tangensfüggvény négyzetgyökének görbe alatti területe 0 és $\pi$ /4 között?

[1944] Fálesz Mihály

2007-03-13 13:43:26

A zeta-függvény szorzat alakjából és néhány ismert értékéből kijön.

$\zeta(s)=\prod_p\frac1{1-\frac1{p^s}} ~~~~ ({\rm re}~s>1)$

$\prod_p\left(1-\frac1{p^2}\right)=\frac1{\zeta(2)}=\frac6{\pi^2},$

$\prod_p\left(1-\frac1{p^4}\right)=\frac1{\zeta(4)}=\frac{90}{\pi^4},$

$\prod_p\frac{p^2+1}{p^2-1}= \prod_p\frac{1-\frac1{p^4}}{\big(1-\frac1{p^2}\big)^2} =\frac{90/\pi^4}{(6/\pi^2)^2}=\frac52.$

Előzmény: [1941] Lóczi Lajos, 2007-03-10 18:10:09

[1943] Csimby

2007-03-11 13:39:10

309.feladat Van e olyan valós szám amelynek bármely egész számrendszerben felírt alakjában minden számjegy szerepel legalább egyszer.

310.feladat Igaz-e, hogy additív halmazfüggvények szorzata is additív?

Amúgy nincs kedvetek visszatérni a feladatok sorszámozásához? Szerintem az olyan jól bejött eddig...

[1942] ágica

2007-03-10 21:13:18

Eszerint az oldal szerint a szorzat értéke 5/2, és az eredmény Ramanujantól származik:

http://mathworld.wolfram.com/PrimeProducts.html

Az első 30-40 prímre kiszámolva a szorzatot egyébként már elég jól meg is sejthető az eredmény.

Előzmény: [1941] Lóczi Lajos, 2007-03-10 18:10:09

[1941] Lóczi Lajos	2007-03-10 18:10:09
Elképzelhető, hogy mi nem tudjuk megoldani a feladatot, mert nehéz; azért írtam be csak, mert meglepően egyszerű s szép a végeredménye. Inkább sejtsük meg numerikusan, vagy keressük meg az interneten az értékét, illetve, hogy ki az, aki rátalált erre a formulára. (Bár azt is el tudom képzelni, hogy igazából nem is számít, hogy pontosan prímekről van benne szó, és esetleg elég lenne egy alsó/felső becslés az n-edik prímszámra, és abból is ugyanaz az érték jönne ki?)
Előzmény: [1940] Cckek, 2007-03-10 17:25:37

[1940] Cckek

2007-03-10 17:25:37

Ha L-el jelöljük a határértéket:

$e^{\sum_{n\ge 1}\frac{2}{p_n^2+1}}\le L\le e^{\sum_{n\ge 1}\frac{2}{p_n^2-1}}$ , de innen tovább???

Előzmény: [1939] Lóczi Lajos, 2007-03-09 23:53:09

[1939] Lóczi Lajos

2007-03-09 23:53:09

Jelölje p_n az n-edik prímszámot.

Határozzuk meg a $\prod_{n=1}^\infty \frac{p_n^2+1}{p_n^2-1}$ végtelen szorzat értékét.

[1938] Cckek

2007-03-09 07:09:57

Felhasználva hogy

$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

kapjuk

$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\frac{2(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}=2\frac{\sqrt{1+\frac1n}+1}{\sqrt{1+\frac1n}+\sqrt{1-\frac1n}}$

Előzmény: [1936] lorantfy, 2007-03-07 10:06:58

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?