 Akkor megpróbálom mégegyszer elmondani, de még mindig szemléletesen, pontos indukciós feltétel nélkül.
Nyilván csak azokkal a számtani sorozatokkal kell foglalkozni, amiknek a kezdőeleme, és a differenciája is természetes szám (és az utóbbi nem nulla). Ilyen számtani sorozatból csak megszámlálható sok van, valahogy tehát sorba rendezzük őket úgy, hogy mindegyiket hozzárendeljük egyik eleméhez. Például legyen az első sorozat S0={0+1k}, a második S1={1+1k}, a harmadik S2={0+2k}, utána sorban S3={2+1k}, S4={1+2k}, S5={0+3k}, S6={3+1k}, S7={2+2k}, ... A sorrend nem is lényeges, csak az, hogy egy se maradjon ki, tehát minden ilyen számtani sorozat egyenlő Sn-nel valamely n -ra.
Utána a két halmazt lépésenként konstruáljuk meg úgy, hogy kiindulunk az A0={} és B0={} üres halmazokból, és bővítjük őket, amíg végül teljesítik a feltételeket. Azt szeretnénk elérni, hogy egyik halmaznak se legyen teljes egészében része valamelyik a fenti számtani sorozatokból, amit úgy érhetünk el, hogy minden számtani sorozatból berakunk egy elemet az A halmazba, és egyet a B halmazba. Ez elég, mert a két halmaz végig diszjunkt lesz.
Így aztán a következőképpen járunk el. Ha már megvan az An és Bn halmaz, akkor ezekből az An+1 és Bn+1 halmazokat egy-egy természetes szám hozzáadásával kapjuk meg, a két számot pedig úgy választjuk ki, hogy (1) mindkettő benne legyen az Sn számtani sorozatban, (2) különbözzenek egyástól és az An Bn elemeitől is. Ilyen két számot mindig lehet választani, mert az Sn-nek végtelen sok eleme van, de An Bn véges, így még mindig végtelen sok szám marad nekünk, amelyek közül kettőt ki kell választani.
Például tegyük fel, hogy A1={0},B1={1},A2={0,2},B2={1,3}. Utána S2={0+2k}={0,2,4,6,8,....} amiből ki kell válsztanunk két olyan elemet, ami az A2 B2-ben nincs benne, ezek lehetnek a 4 és a 6, így aztán A3={0,2,4},B3={1,3,6} stb.
Miután így minden n -ra megkaptuk az An és Bn halmazokat, legyen A*= nAn és B*= nBn. Ez a két halmaz diszjunkt, és mindkettő tartalmaz legalább egy elemet minden érdekes számtani sorozatból. Az viszont még nem feltétlenül teljesül, hogy együtt minden természetes számot tartalmaznának (noha úgy is könnyen végre lehetne hajtani az indukciós lépést, hogy ez is teljesüljön), ezért legyen A= -B* és B=B*. Mivel A* A és B* B, ezért továbbra is mindkét halmazban van minden sorozatból elem, viszont az is igaz, hogy A B= és A B=0. Ezért aztán az A és a B halmaz teljesíti a feltételeket.
|