Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[2141] Csimby

2007-07-07 04:02:03

327.feladat Az f:R $\to$ R fv. n-edik hatványa legyen fⁿ=fo...of - n db f összekomponálva (tegyük fel, hogy R_f^k $\subset$ D_f^k+1, k $\ge$ 1 vagy k $\ge$ 0 - ez esetben f⁰:=id, még nem tudom hogy lesz érdekesebb a feladat 0-val vagy 1-gyel. Megj.: Ha k $\ge$ 0 akkor f az egész R-en értelmezett és így fⁿ=id-ből következik, hogy f összes hatványa is egész R-en értelmezett). Egy f R $\to$ R fv. rendje legyen az a legkisebb n pozitív egész, melyre fⁿ=id.

a. feladat Keressünk minden n-re n-rendű f:R $\to$ R függvényt.

A Cckek által [2116]-ban kitűzött feladatban pl. az $x,1-x,\frac1x,\frac{x-1}x,\frac1{1-x},\frac{x}{x-1}$ függvények az R-{0,1} értelmezési tartományban csoportot alkotnak a kompozícióra nézve az R $\to$ R fv.-ek terében. Ebben a csoportban $\frac1x$ rendje 2, $\frac1{1-x}$ rendje 3, a csoport 6 elemű, így ez a csoport izomorf S₃-mal.

b. feladat Mely G csoportoknak adható meg ilyen R $\to$ R fv.-ekkel reprezentációja? (keressünk ilyen reprezentációkat) Megj.: Az a. feladat tehát azt kéri, hogy adjuk meg minden n-re Z_n egy reprezentációját és n=2,3-ra már mutattunk példát, igaz egyik sem volt az egész R-en értelmezve, kérdés: van-e ilyen?.

u.i.: Most egy hétig nem leszek, pedig kíváncsi vagyok miket fogtok írni, mindenesetre még én sem gondolkoztam a feladatokon, csak a [2116]-ban kitűzött feladat kapcsán vetődtek fel bennem ezek a kérdések.

[2140] Csimby	2007-07-06 11:23:16
Egy kis segítség: legyen $\alpha$ =inf{\|g\|,g $\in$ G-{0}}.
Előzmény: [2139] Cckek, 2007-07-06 09:03:52

[2139] Cckek

2007-07-06 09:03:52

Helló Csimby

Igazad van, elsiettem, nem gondoltam át eléggé.

Előzmény: [2138] Csimby, 2007-07-05 17:33:57

[2138] Csimby

2007-07-05 17:33:57

Szia!

2/A-ban card a számosságot jelenti? És ha igen, akkor abból hogy ez alef0 miért következik, hogy Z? (Pl. Q nem izomorf Z-vel hiszen nem ciklikus)

Előzmény: [2137] Cckek, 2007-07-05 10:42:17

[2137] Cckek

2007-07-05 10:42:17

Természetesen ki kell zárni a G={0} esetet. Először bebizonyítjuk, hogy G nem korlátos. Legyen

g $\in$ G,g $\neq$ 0.Mivel G csoport,(g $\in$ G $\implies$ -g $\in$ G) vehetjük g>0 és ng $\in$ G minden n $\in$ N esetén. Ekkor az arkhimédészi axioma értelmében minden r $\in$ R-re van olyan n $\in$ N melyre ng>r. Tehát G nem korlátos, és G nem véges.

1. Ha G-nek nincs torlodási pontja mivel G zárt és nem korlátos, ugyanakkor nG $\subset$ G igy G megszámlálható végtelen sok izolált pontból áll, tehát izomorf Z-vel.

2. Ha x $\in$ G torlodási pontja G-nek, akkor ha V környezete x-nek,(V végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből)akkor minden y $\in$ G esetén (y-x)+V környezete y-nak (és végtelen sok pontot tartalmaz a G-ből), tehát y szintén torlodási pont. Tehát ebben az esetben G minden pontja torlodási pont. Két lehetségünk van:

A. G egyetlen pontjának sincs G-beli környezete. Ekkor G minden pontjának a környezetei megszámlálható végtelen sok pontot tartalmaznak G-ből, tehát cardG= $\aleph$ ₀ igy izomorf Z vel.

B. Létezik x $\in$ G úgy, hogy V=(x- $\epsilon$ ,x+ $\epsilon$ ) $\subset$ G. Ekkor V-x=(- $\epsilon$ , $\epsilon$ ) $\subset$ G és az archimédészi axioma értelmében

(-n $\epsilon$ ,n $\epsilon$ ) $\subset$ G, $\forall$ n $\in$ N tehát G=R

Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32

[2136] Csimby	2007-07-03 22:19:22
:-))) De igen!
Előzmény: [2134] Lóczi Lajos, 2007-07-03 19:53:20

[2135] Lóczi Lajos	2007-07-03 20:04:42
Ezek a karakterek nekem évek óta hiányoznak itt...
Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32

[2134] Lóczi Lajos	2007-07-03 19:53:20
Nincs ennek köze a diff. egyenlet vizsgához? :)
Előzmény: [2133] Csimby, 2007-07-03 16:56:32

[2133] Csimby	2007-07-03 16:56:32
326. feladat Bizonyítsuk be, hogy egy G $\subset$ R zárt (t_n $\in$ G, t_n $\to$ t esetén t $\in$ G) részcsoport vagy maga az R vagy izomorf Z-vel. (Megj.: Csak most tűnt fel, de jól látom, hogy nincs a a valós ill. egész számok jelölésére használatos dupla szárú R ill. Z?)

[2132] jonas	2007-07-03 12:54:41
A csudába, én meg elírtam a komplex gyököket, $(1\pm\sqrt3i)/2$ helyett hibásan * $1\pm\sqrt3i$ -t írtam, pedig számolás közben rájöttem, hogy az első a jó.
Előzmény: [2129] HoA, 2007-07-02 16:53:25

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?