Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2222] jonas2007-08-13 11:19:10

Tapasztalatom szerint a Google nagyon jól működik a KöMaL fórumra. Például ha beírod a keresőbe, hogy Ali győzelem-ünnepe, akkor egy hónap múlva meg fogja találni ezt a hozzászólást.

Előzmény: [2179] epsilon, 2007-07-29 13:10:22
[2221] Cckek2007-08-10 17:43:13

Köszi szépen Lajos a tanulmányokat, nagyon érdekesek, az említett azonosságra tudok egy indukciós bizonyítást, mely elég hosszú, ezért lettem volna kiváncsi más ötletekre...

Előzmény: [2220] Lóczi Lajos, 2007-08-09 23:36:02
[2220] Lóczi Lajos2007-08-09 23:36:02

Ezeknek az azonosságoknak nevük is van. Az említett speciális eset, úgy rémlik, egyszerűen abból jön ki, hogy (1+x)a+b=(1+x)a(1+x)b. De itt egy kombinatorikus érvelés is. Itt pedig általánosítások, többek között a híres "\zeta(3) irracionális" állításról is szól.

Előzmény: [2219] Cckek, 2007-08-09 23:01:34
[2219] Cckek2007-08-09 23:01:34

Bizonyítsuk be, hogy

\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^n\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}, a,b\in R,n\in N

[2218] Cckek2007-08-08 12:09:35

Gyönyörűszép levezetés, gratula. Azt hiszem, hogy Cesaro-Stolzzal is megy, mármint ha nem csesztem el valahol:)

Első Stolz után l=\lim_{n\to \infty}{\frac{ln(n+1)\sum_{k=2}^n\frac{1}{lnk}}{2n+1}}.

Második Stolz után: l=\lim_{n\to \infty}{\frac{ln(\frac{n+2}{n+1})\sum_{k=2}^n\frac{1}{lnk}+\frac{ln(n+2)}{ln(n+1)}}{2}}.

Már csak azt kell felhasználni, hogy \frac{ln(n+2)}{ln(n+1)}\to 1,n\to \infty és \frac{\sum_{k=2}^n\frac{1}{lnk}}{2(n+1)}\cdot ln\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 0.

Előzmény: [2217] nadorp, 2007-08-08 00:22:25
[2217] nadorp2007-08-08 00:22:25

Ennek nem lehet ellenállni :-) ( Remélem jó is lesz a megoldás)

Egy jelölés: Ha {an},{bn} két sorozat, akkor an\simbn jelölje az asszimptotikus egyenlőséget, tehát hogy \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1. Felhasználtam a következőket:

a.) \lim_{n\to\infty}\ln{n!}\sim n\ln{n}

b.) Ha {an},{bn} két pozitív sorozat, és an\simbn valamint \sum a_n=\infty, akkor \sum a_n\sim\sum b_n

A feladatban szereplő összeg az alábbiak szerint is írható

S_n=\sum_{k=2}^{n-1}\left(\frac{\ln{(k+1)}}{\ln k}+ ... +\frac {\ln n}{\ln k}\right)=\sum_{k=2}^{n-1}\frac{\ln n!-\ln k!}{\ln k}=\ln n!\sum_{k=2}^{n-1}\frac1{\ln k}-\sum_{k=2}^{n-1}\frac{\ln k!}{\ln k}=A_n-B_n

Belátjuk, hogy A_n\sim n^2 , B_n\sim\frac{n^2}2,innen már következik \frac{S_n}{n^2}\to\frac12

1.) A_n>\ln n!\frac{n-2}{\ln (n-1)}\sim n\ln n~\frac n{\ln n}=n^2

A_n=\ln n!\left(\frac1{\ln2}+\sum_3^{\frac n{\ln^2 n}}\frac1{\ln k}+\sum_{k>\frac n{\ln^2 n}}\frac1{\ln k}\right)

A_n<\ln n!\left(\frac1{\ln2}+\frac n{\ln^2 n}\cdot1+(n-\frac n{\ln^2 n})\frac1{\ln n-2\ln\ln n}\right)\sim n\ln n~\frac n{\ln n}=n^2

2.) Mivel \frac{\ln k!}{\ln k}\sim\frac{k\ln k}{\ln k}=k, ezért

B_n\sim\sum_{k=2}^{n-1}k\sim\frac{n^2}2

Előzmény: [2213] Lóczi Lajos, 2007-08-07 00:22:27
[2216] Cckek2007-08-07 17:47:22

Ez szép volt HoA.:)

Előzmény: [2215] HoA, 2007-08-07 15:33:23
[2215] HoA2007-08-07 15:33:23

Szemléletesen arról van szó, hogy a (0;0) (2;0) (2;3) (0;3) téglalapot kettévágjuk az f(x) = \sqrt{x^3+1} függvény görbéjével. A zöld rész területe T_1 = \int_0^2  \sqrt{x^3+1}dx . A kék rész területe "balról nézve" az inverz függvény integrálja 1 és 3 között: T_2 = \int_1^3 \root{3}\of{y^2-1}dy . Az apró trükk: y=t+1 helyettesítéssel (dt=dy) T_2 = \int_0^2 \root{3}\of{(t+1)^2-1}dt=\int_0^2 \root{3}\of{t^2+2t}dt . A második integrálban t helyett x-et írva a közös határok között végrahajtott integrálásra a feladat képletét kapjuk, és persze T1+T2=6

Előzmény: [2214] Cckek, 2007-08-07 12:23:30
[2214] Cckek2007-08-07 12:23:30

Tehát az eredmény valóban 6 :) Ha f:[a,b]\to[c,d] folytonos, növekvő, bijektív függvény akkor \int_a^bf(x)dx+\int_c^df^{-1}(x)dx=bd-ac.

A bizonyítás egyszerű, csak az f(x)=t jelölést kell használni.

Legyen

I_{1}=\int_{0}^{2}\sqrt{x^{3}+1}dx, I_{2}=\int_{0}^{2}\root{3}\of {x^{2}+2x}dx,

ekkor I=I1+I2. Jelölés \sqrt{x^{3}+1}=t+1 tehát x=\root{3}\of {t^{2}+2t}\implies  dx=(\root{3}\of {t^{2}+2t})'dt tehát I_{1}=\int_{0}^{2}(t+1)(\root{3}\of {t^{2}+2t})'dt=(t+1)\root{3}\of {t^{2}+2t}|_{0}^{2}-I_{2}

az-az I=6.

Természetesen észrevehető, hogy az előbb kijelentett tételt, egy kicsit más formában használtuk.

Ha f:[a,b]\rightarrow[a+\alpha,b+\alpha] folytonos, növekvő, bijektív akkor

\int_{a}^{b}\left[f(x)+f^{-1}(x+\alpha )\right] dx=(b-a)(b+a+\alpha )

Előzmény: [2212] Lóczi Lajos, 2007-08-06 20:56:35
[2213] Lóczi Lajos2007-08-07 00:22:27

Beírod, hogy jött ez ki? Kíváncsi vagyok rá...

Előzmény: [2149] nadorp, 2007-07-26 08:49:17

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]