[2369] epsilon | 2007-10-07 13:31:32 |
Kedves Róbert Gida! Valóban szórakozom, de nem mással, mint éppen ez utóbbi feladatnak egy másik megoldásával és az általánosításával. Ha észrevetted, a 2359-es hozzászólás ezt a feladatot általánosítja, éppen ezért, ott az n nem csak páros. Tehát, ha ez utóbbi annak a sajátos esete, akkor érthető, hogy sajátos számok, feltételek állnak ez esetben.
|
Előzmény: [2367] Róbert Gida, 2007-10-07 13:14:52 |
|
|
[2367] Róbert Gida | 2007-10-07 13:14:52 |
Most szórakozol, vagy mi? Egyetlen szóval sem írtad, hogy páros nemnegatív számokra kérted csak az előállítást. Egyébként, ahogy megoldottam úgy is teljesen értelmes feladat volt. Gondolatolvasó pedig (még) nem vagyok.
Itt az új feladat megoldása, bár lövésem sincs, hogy most ezt akarod-e megoldani: x2+y2+2*x*y+x+3*y=2*n-nek keressük nemnegatív egész megoldását minden n0-ra. x-re rendezve az egyenletet:
x2+(2*y+1)*x+(y2+3*y-2*n)=0
Ennek a megoldásai:
Legyen a az az egyértelműen meghatározott nemnegatív egész szám, amelyre teljesül, hogy (2*a+1)28*n+1<(2*a+3)2. Ekkor, mivel minden páratlan négyzetszám 8k+1 alakú, ezért van olyan nemnegatív y, amelyre: 8*(n-y)+1=(2*a+1)2, innen azaz ya, ezért és persze egész, ami kellett, így valóban minden nemnegatív páros egész előáll nemnegatív x,y segítségével, a bizonyításból egyébként az is kiderül,némi munkával, hogy az előállítás ráadásul egyértelmű.
|
Előzmény: [2365] epsilon, 2007-10-07 09:37:55 |
|
[2366] epsilon | 2007-10-07 10:07:22 |
Elfelejtettem pontosítani: x és y nemnegatív egészek lehetnek!
|
|
|
|
|
|
[2361] nadorp | 2007-10-06 18:19:25 |
Ha x2+y2=8n+10, akkor x és y azonos paritású, tehát, miatt 4n+5 is két egész szám négyzetösszege. Ismert, hogy egy egész szám akkor lehet két egész négyzetösszege, ha a prímtényezős felbontásában minden 4k-1 alakú prím páros kitevőn szerepel. Ebből következik, hogy például a
3.7(2x-1)2=21(2x-1)2
alakú számok nem állnak elő két egész négyzetösszegeként, tehát a 42(2x-1)2 alakúak sem, pedg 8n+10 alakúak
|
Előzmény: [2357] epsilon, 2007-10-06 08:57:35 |
|
[2360] Róbert Gida | 2007-10-06 16:47:17 |
x=0,y=0 esetén p(x,y)=0
x>0 vagy y>0-ra p(x,y)>1 Azaz már az 1 sem áll elő. A helyzet még ennél is rosszabb, ugyanis végtelen sok pozitív egész szám nem áll elő, ezt a megoldások számának triviális felső becslésável lehet belátni, n=K2-ig tekintve a megoldásokat.
|
Előzmény: [2359] epsilon, 2007-10-06 13:40:30 |
|