|
| [2372] SmallPotato | 2007-10-08 21:44:00 |
 Értem, köszönöm!
(Az efféle "körszimmetrikus" egyenletrendszerekkel többnyire elakadok: érzem én, hogy ha pontosan egyformán fordulnak elő a változók, akkor egyenlőknek kell lenniük - csakhát az érzés nem bizonyítás, ugye ... :-)) )
|
| Előzmény: [2370] rizsesz, 2007-10-08 20:57:16 |
|
|
| [2370] rizsesz | 2007-10-08 20:57:16 |
 (a-y)ad2+(a+z)ad2 = (a-z)ad2+(a+x)ad2 = (a-x)ad2+(a+y)ad2
Ha a szobában vizsgálódunk, akkor feltehető, hogy x, y és z is egyaránt kisebb, mint "a". Ekkor az f(x)=(a-x)ad2 fv. szig. mon. csökkenő, míg g(x)=(a+x)ad2 szig. mon. nő a>0, x>0 miatt. Ha tehát x>=y, akkor (a-z)ad2+(a+x)ad2 = (a-x)ad2+(a+y )ad2 miatt (a-z)ad2<=(a-x)ad2 innen z>=x.
(a-y)ad2+(a+z)ad2 = (a-z)ad2+(a+x)ad2 is igaz viszont, és ebből teljesen hasonlóan y>=z, ami az előzőek miatt azt jelenti, hogy y>=z>=x>=y, ami azt jelenti, hogy csak az lehetséges, hogy a 3 szám egyenlő.
(valamiért nem megy semmi a teX-kel kapcsolatban :(). Az ad a hatvány-jel.
|
| Előzmény: [2353] SmallPotato, 2007-10-02 14:29:53 |
|
| [2369] epsilon | 2007-10-07 13:31:32 |
|
Kedves Róbert Gida! Valóban szórakozom, de nem mással, mint éppen ez utóbbi feladatnak egy másik megoldásával és az általánosításával. Ha észrevetted, a 2359-es hozzászólás ezt a feladatot általánosítja, éppen ezért, ott az n nem csak páros. Tehát, ha ez utóbbi annak a sajátos esete, akkor érthető, hogy sajátos számok, feltételek állnak ez esetben.
|
| Előzmény: [2367] Róbert Gida, 2007-10-07 13:14:52 |
|
|
| [2367] Róbert Gida | 2007-10-07 13:14:52 |
 Most szórakozol, vagy mi? Egyetlen szóval sem írtad, hogy páros nemnegatív számokra kérted csak az előállítást. Egyébként, ahogy megoldottam úgy is teljesen értelmes feladat volt. Gondolatolvasó pedig (még) nem vagyok.
Itt az új feladat megoldása, bár lövésem sincs, hogy most ezt akarod-e megoldani: x2+y2+2*x*y+x+3*y=2*n-nek keressük nemnegatív egész megoldását minden n 0-ra. x-re rendezve az egyenletet:
x2+(2*y+1)*x+(y2+3*y-2*n)=0
Ennek a megoldásai:
Legyen a az az egyértelműen meghatározott nemnegatív egész szám, amelyre teljesül, hogy (2*a+1)2 8*n+1<(2*a+3)2. Ekkor, mivel minden páratlan négyzetszám 8k+1 alakú, ezért van olyan nemnegatív y, amelyre: 8*(n-y)+1=(2*a+1)2, innen  azaz ya, ezért  és persze egész, ami kellett, így valóban minden nemnegatív páros egész előáll nemnegatív x,y segítségével, a bizonyításból egyébként az is kiderül,némi munkával, hogy az előállítás ráadásul egyértelmű.
|
| Előzmény: [2365] epsilon, 2007-10-07 09:37:55 |
|
| [2366] epsilon | 2007-10-07 10:07:22 |
|
Elfelejtettem pontosítani: x és y nemnegatív egészek lehetnek!
|
|
|
|
N függvényt, melyekre: 
m,n
N