Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402] [403]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[2452] Lóczi Lajos

2007-11-25 22:46:37

Nem olyan nehéz ez.

Tudjuk, hogy x, y és z pozitívak. Az x $\mapsto$ g(x,y,z) egy pozitív főegyütthatós másodfokú polinom. A gyökképlettel fejezzük ki a gyökeit, és mondjuk végezzük el az Y:=y², Z:=z², továbbá az A:=Y+Z, B:=YZ helyettesítéseket. Nyilván A²-4B $\ge$ 0, A>0, B>0.

Azt kapjuk, hogy

$x_{\pm}=(*pozitiv*kifejezes*)\cdot (-A^4 + 2A^2 B + 16B^2 \pm {\sqrt{\left( A^2 - 4B \right) \left( A^2 + 4B \right) \left( A^4 - 4A^2B - 16B^2 \right) }}).$

Ki akarjuk zárni, hogy g<0 pozitív x-ekre.

Ha a diszkrimináns negatív, készen vagyunk.

Ha a diszkrimináns A²-4B miatt nulla, szintén készen vagyunk, mert ez annak felel meg, ha y=z, de $g(x,y,y)=4{\left( x - y \right) }^2 y$ .

Elég tehát az A⁴-4A²B-16B² $\ge$ 0 esetben megvizsgálni, hogy a nagyobbik gyök, x₊ lehet-e pozitív.

Elemi módon látszik, hogy A⁴-4A²B-16B² $\ge$ 0 és -A⁴+2A²B+16B² $\ge$ 0 és A²-4B $\ge$ 0 egyszerre nem teljesülhetnek a pozitív számpárok körében.

Az kell tehát csak megnézni, mi van, ha -A⁴+2A²B+16B² $\le$ 0 (a diszkrimináns előjelére nem is kell most figyelni). Ekkor átrendezve és négyzetre emelve az x₊>0 egyenlőtlenséget (mindkét oldal nemnegatív!), azt kapjuk, hogy A⁴B²<0, ami nem lehet. A bizonyítás készen van.

Előzmény: [2450] Lóczi Lajos, 2007-11-25 20:32:12

[2451] Róbert Gida

2007-11-25 20:51:55

Igen, ezt kell belátni, nem szabadott volna négyzetre emelnem, mert a jobb oldal negatív is lehet, köszönhetően annak, hogy: igaz, hogy R $\geq$ 2*r teljesül, de R bármekkora lehet rögzített r mellett.

Egyébként szabályos háromszögre egyenlőséggel, ez megfelel x=y=z-nek és g(x,x,x)=0

Előzmény: [2450] Lóczi Lajos, 2007-11-25 20:32:12

[2450] Lóczi Lajos

2007-11-25 20:32:12

Szerintem a bizonyítandó egyenlőtlenség a te jelöléseiddel ez:

$g(x,y,z):=x^2 y + x y^2 + x^2 z - 14 x y z + y^2 z + x z^2 + y z^2 + 2 x^2 {\sqrt{y z}} + 2 x y {\sqrt{y z}} + 2 x z {\sqrt{y z}} + 2 y z {\sqrt{y z}}\ge 0.$

Előzmény: [2449] Lóczi Lajos, 2007-11-25 20:18:31

[2449] Lóczi Lajos	2007-11-25 20:18:31
f(1,1/64,1)<0 nálam.
Előzmény: [2448] Róbert Gida, 2007-11-25 16:29:22

[2448] Róbert Gida

2007-11-25 16:29:22

Hm, a polinom lexikografikusan legnagyobb tagjának negatív az együtthatója, ergó számtani-mértani egyenlőtlenségekkel ezt nem lehet belátni.

A polinom egyébként homogén hatodfokú, így feltehető például, hogy x=1 teljesül. (Kicsivel rövidebb lesz akkor a képlet.)

Előzmény: [2446] Róbert Gida, 2007-11-25 16:14:49

[2447] Róbert Gida

2007-11-25 16:18:29

Tehát az kell, hogy

f(x,y,z) $\geq$ 0

, ha x,y,z pozitív valós számok. Persze még a Héron képletet is használtam:

T²=s(s-a)(s-b)(s-c)

Előzmény: [2446] Róbert Gida, 2007-11-25 16:14:49

[2446] Róbert Gida

2007-11-25 16:14:49

A következőkkel próbálkoztam:

$s=\frac {a+b+c}{2}, r=\frac Ts, R=\frac {abc}{4T}$

Majd egy háromszögekre való egyenlőtlenség bizonyításának ismert technikája: legyen

x=s-a,y=s-b,z=s-c

Ekkor x,y,z>0 teljesül, megfordítva minden pozitív x,y,z-re tartozik pontosan egy háromszög. (oldalaira a háromszög-egyenlőtlenség teljesül). Ezt beírva és négyzetre emelve és rendezve az oldalt kapjuk: f(x,y,z)=4yz(x+z)²(x+y)²-(16xyz-(x+y)(y+z)(z+x))² kell teljesülnie minden pozitív x,y,z számokra. Ez a polinom viszont a maple szerint irreducibilis a racionális többváltozós test felett. Egy nehéz módszer ilyenkor, hogy számtani-mértani egyenlőtlenségek tucattyaival igazolni, hogy f(x,y,z) pozitív, de ennek a megtalálása egyáltalán nem triviális, illetve van amikor nem is lehetséges, annak ellenére, hogy az egyenlőtlenség igaz.

Előzmény: [2443] Tody, 2007-11-25 13:26:07

[2445] Tody	2007-11-25 14:56:27
igen.pont igy néz ki!

[2444] SÁkos

2007-11-25 14:52:29

így gondoltad az egyenlőtlenséget:

$\frac a2\frac{4r-R}R\le\sqrt{(s-b)(s-c)}?$

Előzmény: [2443] Tody, 2007-11-25 13:26:07

[2443] Tody

2007-11-25 13:26:07

Sziasztok!

Lenne egy kis feladatom,amivel nem nagyon tudok megbirkozni:

adva van egy általános háromszög ahol r,R a szokásos dolgok.p=kerület fele,a,b,c az oldalak hossza. Bizonyítsuk be,hogy:

a/2*((4r-R)/R)=<gyok((p-b)(p-c).

Köszönettel:

Zsolt

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?