Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: Érdekes matekfeladatok

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[2459] Hajba Károly2007-11-27 01:09:54

A 396-os csúcs.

Legalábbis ennyit találtam. Gyanítom, hogy végtelen lehet a felső határ.

Előzmény: [2457] Hajba Károly, 2007-11-27 00:40:58
[2458] Hajba Károly2007-11-27 01:05:44

Még ezeket találtam, mely a témához érdekes lehet:

Polyominoes in Rectangles

Rectifiable polyomino page

Előzmény: [2456] Sirpi, 2007-11-26 15:38:24
[2457] Hajba Károly2007-11-27 00:40:58

396 a csúcs.

Michael Reid's box collection

Az elején ott a 10-es is, míg a 396-os egy 14 egységes elem 66*84-es kockában, lent, majdnem a végén. Persze a rajz nincs közölve. Lehet görcsölni.

Előzmény: [2456] Sirpi, 2007-11-26 15:38:24
[2456] Sirpi2007-11-26 15:38:24

Igazad van, ez kimaradt. Én úgy vettem, hogy lehet tükrözni. Bár az is érdekes lehet, hogy milyen különbség adódhat egy adott alakzat esetén, ha megengedjük, illetve ha nem engedjük meg a tükrözést.

És igen, én is 10-est találtam még az 1,2,4-en kívül. Vajon van más?

Előzmény: [2454] Hajba Károly, 2007-11-26 14:26:42
[2455] Hajba Károly2007-11-26 14:35:45

Találtam egy tükrözés nélküli 10-est. Lehet, hogy ez a tied is? 1 perc alatt összejött.

Gyanítom, hogy az 1 kivételével ezek a számok csak párosak lehetnek.

Előzmény: [2453] Sirpi, 2007-11-26 12:53:02
[2454] Hajba Károly2007-11-26 14:26:42

Tükrözni lehet? Vagy csak tolás-forgatás?

Előzmény: [2453] Sirpi, 2007-11-26 12:53:02
[2453] Sirpi2007-11-26 12:53:02

Felmerült bennem egy probléma, egyelőre csak ízlelgetem. Az egyszerűség kedvéért nevezzünk rácsidomnak rácsnégyzetekből álló, élek mentén illeszkedő, összefüggő alakzatokat (gondoljatok a tetrisre, de nem feltétlen kell 4 kis négyzetből állnia az alakzatnak). Ezek között vannak olyanok, amiket többször felhasználva ki lehet rakni egy téglalapot, másokból meg nem. Az előbbiekhez rendeljük hozzá az ehhez szükséges minimális darabszámot. Tehát ha az alakzat eleve téglalap, akkor 1-et, a tetrisben pedig pl. az L-alakhoz 2-t, a T-alakhoz 4-et rendelünk.

A kérdés az, hogy mekkora lehet maximálisan ez a szám? Vagy egyáltalán, milyen más értékek adódhatnak így?

Mindenesetre találtam 4-nél nagyobbat már, innen jött az ötlet.

[2452] Lóczi Lajos2007-11-25 22:46:37

Nem olyan nehéz ez.

Tudjuk, hogy x, y és z pozitívak. Az x\mapstog(x,y,z) egy pozitív főegyütthatós másodfokú polinom. A gyökképlettel fejezzük ki a gyökeit, és mondjuk végezzük el az Y:=y2, Z:=z2, továbbá az A:=Y+Z, B:=YZ helyettesítéseket. Nyilván A2-4B\ge0, A>0, B>0.

Azt kapjuk, hogy

x_{\pm}=(*pozitiv*kifejezes*)\cdot (-A^4 + 2A^2 B + 16B^2 \pm  {\sqrt{\left( A^2 - 4B \right) \left( A^2 + 4B \right) 
      \left( A^4 - 4A^2B - 16B^2 \right) }}).

Ki akarjuk zárni, hogy g<0 pozitív x-ekre.

Ha a diszkrimináns negatív, készen vagyunk.

Ha a diszkrimináns A2-4B miatt nulla, szintén készen vagyunk, mert ez annak felel meg, ha y=z, de g(x,y,y)=4{\left( x - y \right) }^2 y.

Elég tehát az A4-4A2B-16B2\ge0 esetben megvizsgálni, hogy a nagyobbik gyök, x+ lehet-e pozitív.

Elemi módon látszik, hogy A4-4A2B-16B2\ge0 és -A4+2A2B+16B2\ge0 és A2-4B\ge0 egyszerre nem teljesülhetnek a pozitív számpárok körében.

Az kell tehát csak megnézni, mi van, ha -A4+2A2B+16B2\le0 (a diszkrimináns előjelére nem is kell most figyelni). Ekkor átrendezve és négyzetre emelve az x+>0 egyenlőtlenséget (mindkét oldal nemnegatív!), azt kapjuk, hogy A4B2<0, ami nem lehet. A bizonyítás készen van.

Előzmény: [2450] Lóczi Lajos, 2007-11-25 20:32:12
[2451] Róbert Gida2007-11-25 20:51:55

Igen, ezt kell belátni, nem szabadott volna négyzetre emelnem, mert a jobb oldal negatív is lehet, köszönhetően annak, hogy: igaz, hogy R\geq2*r teljesül, de R bármekkora lehet rögzített r mellett.

Egyébként szabályos háromszögre egyenlőséggel, ez megfelel x=y=z-nek és g(x,x,x)=0

Előzmény: [2450] Lóczi Lajos, 2007-11-25 20:32:12
[2450] Lóczi Lajos2007-11-25 20:32:12

Szerintem a bizonyítandó egyenlőtlenség a te jelöléseiddel ez:

g(x,y,z):=x^2 y + x y^2 + x^2 z - 14 x y z  + y^2 z + 
  x z^2 + y z^2 + 2 x^2 {\sqrt{y z}} + 
  2 x y {\sqrt{y z}} + 2 x z {\sqrt{y z}} + 
  2 y z {\sqrt{y z}}\ge 0.

Előzmény: [2449] Lóczi Lajos, 2007-11-25 20:18:31

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]    [41]    [42]    [43]    [44]    [45]    [46]    [47]    [48]    [49]    [50]    [51]    [52]    [53]    [54]    [55]    [56]    [57]    [58]    [59]    [60]    [61]    [62]    [63]    [64]    [65]    [66]    [67]    [68]    [69]    [70]    [71]    [72]    [73]    [74]    [75]    [76]    [77]    [78]    [79]    [80]    [81]    [82]    [83]    [84]    [85]    [86]    [87]    [88]    [89]    [90]    [91]    [92]    [93]    [94]    [95]    [96]    [97]    [98]    [99]    [100]    [101]    [102]    [103]    [104]    [105]    [106]    [107]    [108]    [109]    [110]    [111]    [112]    [113]    [114]    [115]    [116]    [117]    [118]    [119]    [120]    [121]    [122]    [123]    [124]    [125]    [126]    [127]    [128]    [129]    [130]    [131]    [132]    [133]    [134]    [135]    [136]    [137]    [138]    [139]    [140]    [141]    [142]    [143]    [144]    [145]    [146]    [147]    [148]    [149]    [150]    [151]    [152]    [153]    [154]    [155]    [156]    [157]    [158]    [159]    [160]    [161]    [162]    [163]    [164]    [165]    [166]    [167]    [168]    [169]    [170]    [171]    [172]    [173]    [174]    [175]    [176]    [177]    [178]    [179]    [180]    [181]    [182]    [183]    [184]    [185]    [186]    [187]    [188]    [189]    [190]    [191]    [192]    [193]    [194]    [195]    [196]    [197]    [198]    [199]    [200]    [201]    [202]    [203]    [204]    [205]    [206]    [207]    [208]    [209]    [210]    [211]    [212]    [213]    [214]    [215]    [216]    [217]    [218]    [219]    [220]    [221]    [222]    [223]    [224]    [225]    [226]    [227]    [228]    [229]    [230]    [231]    [232]    [233]    [234]    [235]    [236]    [237]    [238]    [239]    [240]    [241]    [242]    [243]    [244]    [245]    [246]    [247]    [248]    [249]    [250]    [251]    [252]    [253]    [254]    [255]    [256]    [257]    [258]    [259]    [260]    [261]    [262]    [263]    [264]    [265]    [266]    [267]    [268]    [269]    [270]    [271]    [272]    [273]    [274]    [275]    [276]    [277]    [278]    [279]    [280]    [281]    [282]    [283]    [284]    [285]    [286]    [287]    [288]    [289]    [290]    [291]    [292]    [293]    [294]    [295]    [296]    [297]    [298]    [299]    [300]    [301]    [302]    [303]    [304]    [305]    [306]    [307]    [308]    [309]    [310]    [311]    [312]    [313]    [314]    [315]    [316]    [317]    [318]    [319]    [320]    [321]    [322]    [323]    [324]    [325]    [326]    [327]    [328]    [329]    [330]    [331]    [332]    [333]    [334]    [335]    [336]    [337]    [338]    [339]    [340]    [341]    [342]    [343]    [344]    [345]    [346]    [347]    [348]    [349]    [350]    [351]    [352]    [353]    [354]    [355]    [356]    [357]    [358]    [359]    [360]    [361]    [362]    [363]    [364]    [365]    [366]    [367]    [368]    [369]    [370]    [371]    [372]    [373]    [374]    [375]    [376]    [377]    [378]    [379]    [380]    [381]    [382]    [383]    [384]    [385]    [386]    [387]    [388]    [389]    [390]    [391]    [392]    [393]    [394]    [395]    [396]    [397]    [398]    [399]    [400]    [401]    [402]