[2539] Enkidu | 2008-01-09 12:48:33 |
Ja igen! Elírtam, de én is igazoltam (sajnos csak magamnak) a multiplikativitást, úgyhogy ez rendben van. Igazából azért bizonytalanodtam el korábban, mert a kapott megoldás "nem valami szép" és nem tudom, hogy Cckek akar(t)-e valami szépet mutatni azzel a feladattal kapcsolatban. Én már ezen agyaltam. Csá!
|
Előzmény: [2537] nadorp, 2008-01-09 08:32:10 |
|
[2538] nemtommegoldani | 2008-01-09 11:21:52 |
Sziasztok! Azt szeretném kérni, valaki írjon ide a fórumra pár "nívósabb" számelméleti feladatot legnagyobb közös osztó, ill. legkisebb közös többszörös témakörben, illetve diofantoszi egyenletek témakörben (pl. olyanokra gondolok, amik OKTV-n, vagy más tanulmányi versenyeken előfordultak már)megoldással együtt. NAgyon köszönöm a segítséget!!! Már több helyen keresgéltem, de nem nagyon találok.
|
|
|
[2536] Enkidu | 2008-01-07 13:05:07 |
A következő definícióval élve: S(m) egy számelméleti függvény. Így prímhatványhelyeken felvett helyettesítési értékei meghatározzák. Ha m=pn,S(m)=pn-1(np+p-n) egyébként pedig a szokásos módon ha (m,n)=1, akkor S(mn)=S(m)S(n).
Most így megnézve lehet, hogy valamit félreértettem, mert túl egyszerű amit írok, de ha már végigszenvedtem a TeX tanfolyamot csak bennhagyom. Hello!
|
Előzmény: [2535] Cckek, 2008-01-05 12:33:11 |
|
[2535] Cckek | 2008-01-05 12:33:11 |
Valóban ez a megoldás, gratulálok, mert ez egyáltalán nem egy könnyű feladat:D, legalábbis számomra nem volt az. Ha már Euler számelméleti függvényénél vagyunk, akkor itt van mégegy:
Számítsuk ki a következő összeget:
|
Előzmény: [2534] nadorp, 2008-01-04 23:18:53 |
|
[2534] nadorp | 2008-01-04 23:18:53 |
Nem volt unalmas,de szerencsém volt :-). Mindkét oldal "e" alapú logaritmusát véve,bizonyítandó, hogy
Felhasználva, hogy |q|>1 és a logaritmus függvény hatványsorát ez ekvivalens a következővel
.
Most vizsgáljuk meg (n1) együtthatóját a bal oldalon. Ha ez mindig 1, akkor készen vagyunk.
Nyilván ha n=ab, akkor lesz olyan tag, ahol az együttható . Tehát együtthatója a bal oldalon
( Itt felhasználtuk, hogy a (n) számelméleti függvény összegzési függvénye az "n" függvény)
|
Előzmény: [2532] Cckek, 2008-01-04 18:12:30 |
|
[2533] Lóczi Lajos | 2008-01-04 20:33:11 |
"Itt elég a második tagról belátni, hogy pozitív, mert az első az. x=1+t helyettesítéssel t3-ig kiírt Taylor-sorral látszik, nem tudom, van-e rá egyszerűbb módszer, ez az út elég gány ahhoz, hogy végigírjam."
Mivel csak polinom és logaritmus van benne, ilyenkor érdemes még egyszer deriválni:
, ha x>1, de x-1/x-2ln x az 1 helyen 0, tehát ha x>1, akkor mindig pozitív a kérdéses kifejezés.
|
Előzmény: [2529] Sirpi, 2008-01-04 17:15:02 |
|
[2532] Cckek | 2008-01-04 18:12:30 |
Igen ez is gyors, szép megoldás, az eredeti feladat így szólt: Számitsuk ki -t.
De mivel látom unatkoztok itt van egy sokkal nehezebb feladat amivel rengeteget kinlódtam: Bizonyítsuk be, hogy
ahol az Euler indikátor, qZ\{-1,0,1}
|
|
[2531] Róbert Gida | 2008-01-04 17:57:20 |
Kijön ez deriválgatásokkal, nálam legyen x:=- (érdemesebb ezt az utat követni, mert akkor log nem jön be). x a továbbiakban mindig legyen (0,1)-ben.
Ekkor, mivel csak az egészrésze kell a függvénynek, ezért elég igazolni, hogy 2 és 3 közé esik az értéke: , ha 0<x<1. A nevező pozitív, így felszorzás és rendezés után kapjuk, hogy kell: 0<(3-x)ex-(3+x)=:g(x), de g(0)=0, továbbá g'(x)=(2-x)ex-1, amire g'(x)>ex-1>0, így g szigorúan monoton nő (0,1) intervallumban, de g(0)=0, így g(x)>0 itt, ami kellett. (g folytonossága is kellett itt még, mert sajnos g'(0)=0).
Másik irányú becsléshez: , felszorozva és rendezve kell: 0(x-2)ex+(x+2)=:h(x), itt h(0)=0, továbbá: h'(x)=(x-1)ex+1, tehát h'(0)=0, továbbá h''(x)=xex0, így h' monoton nő, de h'(0)=0, így h'(x)0, de akkor h monoton nő, de h(0)=0 miatt h(x)0 teljesül, ami kellett.
|
Előzmény: [2529] Sirpi, 2008-01-04 17:15:02 |
|
|