Fórum: Érdekes matekfeladatok

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90] [91] [92] [93] [94] [95] [96] [97] [98] [99] [100] [101] [102] [103] [104] [105] [106] [107] [108] [109] [110] [111] [112] [113] [114] [115] [116] [117] [118] [119] [120] [121] [122] [123] [124] [125] [126] [127] [128] [129] [130] [131] [132] [133] [134] [135] [136] [137] [138] [139] [140] [141] [142] [143] [144] [145] [146] [147] [148] [149] [150] [151] [152] [153] [154] [155] [156] [157] [158] [159] [160] [161] [162] [163] [164] [165] [166] [167] [168] [169] [170] [171] [172] [173] [174] [175] [176] [177] [178] [179] [180] [181] [182] [183] [184] [185] [186] [187] [188] [189] [190] [191] [192] [193] [194] [195] [196] [197] [198] [199] [200] [201] [202] [203] [204] [205] [206] [207] [208] [209] [210] [211] [212] [213] [214] [215] [216] [217] [218] [219] [220] [221] [222] [223] [224] [225] [226] [227] [228] [229] [230] [231] [232] [233] [234] [235] [236] [237] [238] [239] [240] [241] [242] [243] [244] [245] [246] [247] [248] [249] [250] [251] [252] [253] [254] [255] [256] [257] [258] [259] [260] [261] [262] [263] [264] [265] [266] [267] [268] [269] [270] [271] [272] [273] [274] [275] [276] [277] [278] [279] [280] [281] [282] [283] [284] [285] [286] [287] [288] [289] [290] [291] [292] [293] [294] [295] [296] [297] [298] [299] [300] [301] [302] [303] [304] [305] [306] [307] [308] [309] [310] [311] [312] [313] [314] [315] [316] [317] [318] [319] [320] [321] [322] [323] [324] [325] [326] [327] [328] [329] [330] [331] [332] [333] [334] [335] [336] [337] [338] [339] [340] [341] [342] [343] [344] [345] [346] [347] [348] [349] [350] [351] [352] [353] [354] [355] [356] [357] [358] [359] [360] [361] [362] [363] [364] [365] [366] [367] [368] [369] [370] [371] [372] [373] [374] [375] [376] [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] [384] [385] [386] [387] [388] [389] [390] [391] [392] [393] [394] [395] [396] [397] [398] [399] [400] [401] [402]

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[2639] Sirpi	2008-05-15 13:06:23
A példaábrához képest (ami elsőre optimálisnak tűnt számomra) 3-at tudtam javítani (24 -> 27), nem tudom, lehet-e jobbat csinálni.
Előzmény: [2637] Lóczi Lajos, 2008-05-13 12:14:17

[2638] Enkidu

2008-05-15 12:41:43

Ha jól számoltam az első két szám: 1729 és 2465 (a harmadik a 15841). A "bizonyításom" egy program, ami végigfut a Carmichael-számokon (csak ilyenek lehetnek a feladatban kitűzött számok).

Hogy miért éppen a Carmichael-számok?! Azok az n számok, melyekre minden lnko(a,n) = 1 esetén a^n-1 $\equiv$ 1(modn) azok éppen a prímek és a Carmichael-számok. Prímek esetén viszont van olyan a<n, amely primitív gyök, erre az a-ra nem teljesülhet a feladatban kitűzött egyenlőség.

Most hirtelenjében csak azokon a számokon fut a progi, amik beleférnek a szabvány 16-bites (max 32000) egész szám fogalmába. Arra nem merek tippelni, hogy véges, vagy végtelen sok ilyen szám van.

Üdv!

Előzmény: [2633] Róbert Gida, 2008-04-28 19:11:45

[2637] Lóczi Lajos	2008-05-13 12:14:17
Egy 7x7-es autóparkolóba legfeljebb hány darab autót helyezhetünk el, ha azt akarjuk, hogy bármelyik ki tudjon jönni a többitől függetlenül? (A kijárat bal fölül van, és egyszerre mindig csak 1 autó mozog. 1 autó 1 teljes négyzetet foglal el és csak a négyzetrács mentén mozoghatnak függőlegesen vagy vízszintesen.)

[2636] Róbert Gida	2008-05-12 02:06:51
Ah, megvan a pontos érték: $1-\frac {\Pi ^2}{12}$ Érdemes felbontani az integrált y<x és y>x részekre. Mivel az integrálandó x,y-ban szimmetrikus ezért elég az egyiket kiszámolni, például y<x-et, ekkor az egyik tag persze: frac(y/x)=y/x, a másik miatt viszont a [0,x] intervallumot fel kell osztani. Végén kapunk egy kellemes szummát, amit egy apró trükkel lehet explicit alakban felírni. Bár a $\Pi$ ² gondolom így sokat segít.
Előzmény: [2635] Róbert Gida, 2008-05-12 01:35:06

[2635] Róbert Gida	2008-05-12 01:35:06
Ha valaki ki akarná számolni: Monte Carlo módszere kb. 0.177-et ad az integrálra, 1 millió pontot használva az egységnégyzetből, ez így kb. 1/sqrt(1000000)=1/1000-ed pontosságot jelent.
Előzmény: [2634] Gyöngyő, 2008-05-12 00:58:33

[2634] Gyöngyő

2008-05-12 00:58:33

Mennyi a következő integrál értéke: Ahol a kapcsos zárójel törtrészt jelent:

$\int_0^{1} \int_{0}^{1} \left\{ \frac{x}{y} \right\} \left\{ \frac{y}{x} \right\} dx dy$

Üdv.: Zsolt

[2633] Róbert Gida	2008-04-28 19:11:45
Találjuk meg a két legkisebb pozitív egész 1-nél nagyobb páratlan N számot, melyre teljesül, hogy: minden lnko(a,N)=1 esetén $a^{\frac {N-1}{2}}\equiv 1$ mod N teljesül! Mi a sejtésünk: végtelen vagy véges sok ilyen N szám van?

[2632] Róbert Gida	2008-04-28 18:32:20
Fazekas felvételi feladatsora a 6 osztályos spec. mat. tagozatra.

[2631] Róbert Gida

2008-04-27 00:52:00

Egy megoldás rá: Legyen s=a₁+a_n rögzített, ekkor, ha s fix, akkor a jobb oldal is fix. De mi lesz a bal oldal maximuma (rögzített s esetén)? Legyen x=a₂...a_k és y=a_n-k+1...a_n-2, a bal oldalon elég az első és utolsó tagot nézni:

max(a₁*x+y*a_n)=max(x,y)*s, ha s=a₁+a_n, és a maximum felvétetik olyan helyen (is), ahol a₁=0 vagy a_n=0, ezt beírva az eredeti feladatot kapjuk meg csak n tag helyett (n-1) taggal. Azaz leszállhatunk, egészen n=k-ig, ami a triviális eset, hiszen ez éppen a számtani-mértani egyenlőtlenség.

Egyenlőség viszont sokféleképpen lehet, például k=1-nél mindig egyenlőség van. n=3,k=2-nél pontosan akkor, ha a₁-a₂+a₃=0

Előzmény: [2630] Gyöngyő, 2008-04-26 22:06:26

[2630] Gyöngyő

2008-04-26 22:06:26

Szisztok!

Legyen k és n pozitiv egészek és k=<n, és legyen a₁,a₂,...a_n nemnegativ valós számok. Bizonyítsuk be,hogy

$a_1a_2...a_k + a_2a_3....a_{k+1} + ... + a_{n-k+1}a_{n-k+2}...a_{n} \leq \left(\frac{a_1 + a_2 + ... +a_n}{k}\right)^k$

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?